極小樣本下高速列車軸承的可靠性評估

朱德馨，劉宏昭

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，陜西 西安，710048)

作為高速鐵路客車行走支承的重要部件，軸承的精度、壽命、可靠性等指標對高速鐵路客車的性能和安全性起著至關重要的作用。因此，為分析和評價新研發(fā)的高速列車軸承產(chǎn)品是否滿足規(guī)定的可靠性要求，就需要對可靠性試驗進行評估。對于可靠性試驗，一般是通過定數(shù)或定時截尾來獲得試驗數(shù)據(jù)。在定數(shù)截尾試驗中，由于受到實際試驗條件的限制，要讓一些長壽命的試驗樣品進行到第n個樣品失效，需要花費很長的試驗時間。但在定時截尾試驗中，又往往會遇到在停止試驗之前沒有樣品失效的情況。隨著科學技術的進步，人們對產(chǎn)品質量的要求越來越高，產(chǎn)品的可靠性也越來越高，所以在可靠性壽命試驗中，這種“無失效數(shù)據(jù)”的現(xiàn)象也越來越多，特別是在高可靠性、小樣本問題中，更容易產(chǎn)生無失效數(shù)據(jù)。由于高速列車軸承造價昂貴、精度和可靠性要求極高等問題，在進行可靠性壽命試驗時，不可能做樣品的完全失效試驗，也不可能利用大樣本數(shù)據(jù)來進行試驗，只能做小樣本甚至是極小樣本、短時間內(nèi)的定時截尾試驗。在這種情況下，如若再采用建立在大樣本之下的經(jīng)典概率統(tǒng)計方法來評估其可靠性，很難獲得較為準確的結果。因此，如何充分利用有限的信息來尋求一套適合于高速列車軸承可靠性評估的小樣本方法成為目前急需解決的一個重要問題。在小樣本條件下，為提高可靠性的評估精度，最有效的途徑就是設法增加信息量。目前，Bootstrap方法、修正極大似然估計法、Bayes法等已被用于對小樣本產(chǎn)品可靠性的評估[1-6]。其中Bayes方法由于能充分利用現(xiàn)存的所有信息，不但可減少因樣本少而帶來的統(tǒng)計誤差，而且在無失效數(shù)據(jù)樣本的條件下也可對被測量進行估計，因此，近年來該方法在可靠性研究中得到了越來越多的關注和應用[7-12]。陳文華等[10]利用 Gamma分布作為先驗分布，以失效率為驗證指標，討論了 Weibull分布下產(chǎn)品可靠性的Bayes驗證試驗設計方法；Lou等[11]采用無信息先驗分布的Bayes方法提出了小樣本下滾動軸承壽命參數(shù)的點估計和區(qū)間估計方法；樓洪梁等[12]根據(jù)Bayes方法，給出了小樣本少失效的情況下滾動軸承可靠性的定量評價方法。在此基礎上，本文作者將Bayes方法應用到高速列車軸承的可靠性評估中，采用定時截尾試驗數(shù)據(jù)，以累積失效概率為指標、Beta分布為先驗分布，將先驗信息與仿真試驗信息進行融合，建立起累積失效概率模型，并依據(jù)最小二乘法估計出Weibull分布的2個未知參數(shù)，得出極小樣本無失效情況下的高速列車軸承的可靠性數(shù)學模型。在給定的可靠度要求下，求解出軸承的可靠性壽命，從而為評估高速列車軸承的可靠性和運行安全性提供了一定的指導依據(jù)。

1 高速列車軸承的可靠性模型

在各種分布理論中，由于 Weibull分布更接近壽命試驗結果，因此，假定高速列車所采用的雙列圓錐滾子軸承壽命服從二參數(shù)Weibull分布，

即

其中：F(L)為軸承的累積失效概率；L為軸承的壽命隨機變量；η為尺度參數(shù)或軸承的特征壽命；β為形狀參數(shù)。

其可靠度函數(shù)為

其中：LR為可靠度為R時的壽命。

由式(1)可知，欲確定高速列車軸承的可靠性壽命，必先確定參數(shù)β和η。通常需要經(jīng)大量的疲勞壽命試驗獲得其估計值。然而，由于缺少高速列車軸承現(xiàn)場數(shù)據(jù)及試驗數(shù)據(jù)，難以確定其準確值，因此，需借助于小樣本情況下的Bayes可靠性評估方法。

2 Bayes可靠性評估方法

Bayes可靠性評估[13]是一種綜合經(jīng)驗信息進行可靠性評估的方法。其最基本的觀點就是假設任一未知量θ都可看作是一個隨機變量，應該用一個概率分布描述對θ的未知狀況。而這個概率分布在抽樣前就有關于θ的先驗信息的概率陳述，因此，這一概率分布被稱為先驗分布。有了這個先驗分布，從而不需要很大的樣本就可以得到較好的估計，這正是Bayes統(tǒng)計方法的優(yōu)點所在。

2.1 極小樣本定時截尾下的無失效數(shù)據(jù)

從產(chǎn)品中隨機選取一組用來試驗的 n(n≤2)個樣本，對該組樣本進行k次定時截尾壽命試驗，截尾時間依次為t1，t2，…, tk，在第i次截尾之前仍未失效的樣本數(shù)記為ni，則n1=n。若試驗結束時樣本都沒有發(fā)生失效，則得到如下數(shù)據(jù)：

全部樣本的無失效數(shù)據(jù)可表示為：

2.2 累積失效概率pi的多層Bayes分析

由于在做定時截尾壽命試驗時可獲得一組數(shù)據(jù)(t1,n1)，(t2, n2)，…，(tk, nk)，因此，對應于每個截尾時刻t1，t2，…，tk下的累積失效概率可分別記為p1，p2，…，pk。

在已知ti時刻的累積失效概率pi的條件下，由二項式分布定理可知，si件樣本中有ri件失效的概率為：

考慮到在利用貝葉斯統(tǒng)計方法處理數(shù)據(jù)時，不但要利用樣本自身所包含的信息，而且還要利用由歷史經(jīng)驗所得到的未知參數(shù)的先驗信息。因此，使用Bayes方法的關鍵在于如何利用先驗信息來確定先驗分布。對于高速列車軸承試驗的總體，其試驗結果僅分為失效和未失效，符合成敗型試驗的總體，故選取二項分布的共軛分布 B eta( a, b)作為累積失效概率 pi的先驗分布[13]。

根據(jù)參數(shù)a和b可得Beta分布在[0,1]上的概率密度曲線如圖1所示。

圖1 Beta分布概率密度函數(shù)曲線Fig.1 Probability density functional curve of Beta distribution

結合以往軸承的使用情況和試驗分析，在[0, ti]時間內(nèi)，由于試驗樣本無一失效，故軸承在此時間段內(nèi)的失效概率pi一般會明顯偏小。也就是說，如果pi在某個區(qū)間內(nèi)取值，失效概率pi取值較大的可能性小，pi取值較小的可能性大。從圖1可以看出：當a≤1，b＞1時，Beta分布的概率密度函數(shù)是單調(diào)遞減的，這符合各累積失效概率pi較大的可能性小，而pi較小的可能性大的先驗信息。因此，為計算方便，不妨暫取a=1，b＞1，但由于樣本信息及其歷史經(jīng)驗信息不足難以確定 b，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計方法，在先驗分布中所含的未知參數(shù)稱為超參數(shù)，故在此取超參數(shù)b為服從(1,u)上的均勻分布。上限u可由專家經(jīng)驗給定，也可由無失效數(shù)據(jù)的有關信息給定。

2.2.1 累積失效概率p1的估計

取 Beta(0,1,1,b)分布做為累積失效概率p1在區(qū)間(0,1)上的先驗分布，在超參數(shù)b服從(1,u)上均勻分布的條件下，可得累積失效概率p1的多層先驗分布為：

由Bayes定理，p1的后驗分布為：

由于Bayes點估計是相對于所選損失函數(shù)風險最小的估計，而常用的損失函數(shù)為 L ( p?, p ) = ( p ? - p)2。L( p?, p)表示對參數(shù)p采取決策p?時所帶來的損失。在該損失函數(shù)下，參數(shù)p的Bayes估計就是它的驗后均值。因此，在平方損失下，以式(3)為似然函數(shù)、式(6)為先驗分布的累積失效概率p1的Bayes估計為：

2.2.2 累積失效概率pi(i＞1)的估計

由于 p?1≤ p?2≤ … ≤ p?k，因此仍取超參數(shù)b為(1,u)上的均勻分布，取不完全Beta分布Beta( p?1,1,1,b)作為累積失效概率p2在區(qū)間( p?1,1)上的先驗分布。于是，累積失效概率p2的多層先驗分布為：

由Bayes定理，p2的后驗分布則為：

根據(jù)Bayes估計方法，計算得累積失效概率p2為：

綜合歸納可得，超參數(shù)b仍取為(1, u)上的均勻分布，不完全分布為累積失效概率pi在區(qū)間上的先驗分布，則累積失效概率pi的多層先驗分布為：

同理，pi的后驗分布則為：

根據(jù)Bayes方法計算得累積失效概率pi的通用公式為：

計算的累積失效概率?ip是對1?ip-的改進，它的計算結果不僅和1?ip-有關，而且還和樣本n1，n2，…，ni及上限u有密切的聯(lián)系，因此，此方法可以充分利用樣本信息和歷史經(jīng)驗信息，計算結果更加準確。

3 二參數(shù)Weibull分布的參數(shù)估計

在根據(jù)Bayes法得到各截尾時刻ti的累積失效概率pi的估計 p?i后，利用最小二乘法來綜合討論二參數(shù)Weibull分布在無失效情況下的參數(shù)估計。

通過計算，使得(15)式取得最小值的β和η的點估計β?和η?分別為：

將形狀參數(shù)β?及尺度參數(shù)η?的計算值代入式(2)，可得在任意時刻t的可靠度為：

4 仿真試驗

針對高速列車擬采用的某改進型雙列圓錐滾子軸承，隨機選取其中2套為1組，進行10次定時截尾壽命仿真試驗。其中軸承轉速為2 063 r/min(即模擬列車時速為350 km/h)。根據(jù)列車行駛80萬km的檢修期要求，擬對軸承試驗進行的最終截止時間為2 300 h。

由于高速列車軸承屬高可靠性產(chǎn)品，故假定在試驗過程中，第10次定時截尾結束后軸承試驗時間已達2 300 h，但并未出現(xiàn)失效數(shù)據(jù)。因此，根據(jù)依次定時截尾試驗時間得到無失效的仿真試驗數(shù)據(jù)見表1。

表1 仿真試驗數(shù)據(jù)Table 1 Simulation testing data

當處理軸承的仿真試驗數(shù)據(jù)時，由于參數(shù)u的確定具有一定主觀性，因此要求計算方法必須具有較好的穩(wěn)健性[10]，以保證在參數(shù)u發(fā)生擾動時，計算結果不會發(fā)生大的改變。根據(jù)項目的指標要求，列車運行到60萬km(即列車軸承工作1 700 h)的故障率最大值應在[0.005，0.015]之間，結合仿真截尾試驗數(shù)據(jù)，也即第5次截尾時的累積失效概率應不高于0.015。由式(6)～(14)，可計算得第5次截尾時的累積失效概率5?p與上限參數(shù)u的關系(見圖2)。

圖2 累積失效概率p?5與參數(shù)u的關系Fig.2 Relationship between cumulative failure probability p?5 and parameter u

根據(jù)圖2，參數(shù)u可在1 150～1 200之間取值。為說明u的選取對統(tǒng)計結果的影響，分別取u為1 150，1 175，1 200，1 225，1 250，1 275，1 300，1 325，將各截尾時刻的累積失效概率以及Weibull分布中的2個參數(shù)和可靠度的估計結果分別見表2和表3。

表2 各截尾時刻的累積失效概率估計值Table 2 Accumulation failure probability estimated value in every chopped time 10-2

表3 Weibull分布中的參數(shù)和可靠度估計值Table 3 Estimated value of parameter and reliability in Weibull distribution

從表2和表3可以看出：參數(shù)u的變化對累積失效概率、Weibull分布中的2個參數(shù)β和η的估計，以及對軸承的可靠性指標的估計影響均不大，說明所采用的方法具有較好的穩(wěn)健性。且軸承在工作到1 700 h時的可靠度估計也與先驗信息較相符。如表2 所示，與第5次累積失效概率應不高于0.015的先驗信息最接近的u為1 175，故確定超參數(shù)b的均勻分布上限u取值為1 175，則高速列車軸承在任意時刻的可靠度表達式為：

當可靠度為95%時，可計算得軸承的可靠性壽命為3 163.9 h。此時，列車所行駛里程為1.11×106km。

由此可知，計算結果符合 SKF對運營速度高于200 km/h的鐵路軸承臺架試驗必須運轉80萬km當量里程，裝車試驗必須達到100萬km的要求[15]。因此，如果高速列車軸承的可靠性試驗中經(jīng)過定時截尾試驗(表1)后，樣本無一失效，則可認為該雙列圓錐滾子軸承的設計已基本達到使用壽命的要求。

5 結論

(1) 利用 Bayes可靠性數(shù)據(jù)處理方法，得出極小樣本零失效下的高速列車軸承可靠性數(shù)學模型，計算結果滿足實際要求，從而為評估高速列車軸承的可靠性提供了一定的指導方法。

(2) 在利用 Bayes方法的估計過程中，不僅包含了樣本數(shù)據(jù)本身的信息，還加入了分布函數(shù)的特點，信息量增加了，評估結果也更加準確。

(3) 要保證在極少量的試驗數(shù)據(jù)情況下能得到更準確和更加可信的可靠性評估結果，在今后的工作中還應多注意對先驗信息的不斷累積、收集和加工，使其數(shù)量化，形成先驗分布，應用于Bayes統(tǒng)計推斷中。

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