基于單層小波變換的壓縮感知圖像重構技術

曹曉勇 屈靜軍

一、引言

信息技術的發展使得需要處理的信息劇增。在傳統的信號采集過程中，為了避免信號失真及碼間干擾，一般都會遵循奈奎斯特采樣定理（又稱香農采樣定理）。它指出，要想精確的重構信號，采樣速率必須達到信號帶寬的2倍以上。隨著獲取數據能力的不斷增強，需要處理的數據量的不斷增多，這對信號的處理能力有了更高的要求，在實際A/D轉化過程中往往需要很高的采樣率，同時又需要對采集來的大量的原始數據進行壓縮和傳輸，這對存儲、傳輸和計算都造成了很大程度的浪費。近年來，提出了一種新的理論—壓縮感知（Compressed Sensing）[1，2]，它通過開發信號的稀疏特性，將信號在某種空間下表示出來，在保證信息不丟失的前提下，用遠小于奈奎斯特采樣率的隨機采樣獲取信號的離散樣本，然后通過非線性重建算法完美的重建信號。這樣極大的降低了信號采樣速率、處理時間以及傳輸和存儲成本。

目前，壓縮感知在實際中的應用有了一定得研究。國內也有很多這方面的研究，但主要是壓縮感知理論的介紹[3]。因此還需要進行更深入的研究。

二、壓縮感知理論簡介

設一離散信號x長度為n，如果x包含r個非零元素，且r<

xy=Ψ （1）

其中y=yr+w。yr是y中的零元素，w是y中值很小的元素。在一定得精度要求下，w也可近似為0。

對于信號x，若將其投影到一組測量向量Φ（Φ∈Rm*n）上，則可以得到關于x的m個線性方程，即：

sx=Φ （2）

其中m<

syyφψ

參考文獻：

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[2] CANDES E. Compressive sampling[A]. Proceedings of the International Congress of Mathematicians[C]. Madrid，Panin，2006.33-1452.

[3] 石光明，劉丹華，高大化等，壓縮感知理論及其研究進展[J]. 電子學報，2009，37（5）：1070-1081

[4] E. Cand`es and J. Romberg，Sparsity and incoherence in compressive sampling [J]. Inverse Problems，2007： 969–985

[5] CANDES E，ROMBERG J，TAO T，Robust uncertainty principles： Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：489-509.

[6] FIGUEIREDO M A T，NOWAK R D，WRIGHT S J. Gradient projection for sparse reconstruction： Application to compressed sensing and other inverse problem[J]. Journal of Selected Topics in Signal Processing：Special Issue on Convex Optimization Methods for Signal Processing，2007，1（4）： 586-598.

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