基于產(chǎn)形齒條端面齒廓的相交軸漸開(kāi)線變厚斜齒輪建模*

陳辰嘉，劉 文，林騰蛟，呂和生

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044;2.重慶齒輪箱有限責(zé)任公司，重慶 402263)

1 引言

漸開(kāi)線變厚齒輪在外形上沿軸線呈現(xiàn)一定的錐角，可廣泛應(yīng)用于平行軸、相交軸以及交錯(cuò)軸的空間傳動(dòng)中。變厚齒輪的主要特點(diǎn)是在不同的軸向截面上齒形具有不同的變位系數(shù)，通常沿軸向線性變化。

對(duì)于漸開(kāi)線變厚齒輪，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了較多的研究。Jesper Brauer針對(duì)直齒變厚齒輪從參數(shù)方程的角度分析了其幾何特征［1］;林超、魏沛堂推導(dǎo)了變厚斜齒輪漸開(kāi)線螺旋面、過(guò)渡曲面及齒根面齒面方程，建立了精確實(shí)體模型［2］;朱才朝、宋朝省等提出了變厚齒輪直接設(shè)計(jì)法和間接設(shè)計(jì)法，分析了設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)嚙合主方向角的影響［3］，并研究了其嚙合動(dòng)態(tài)特性［4］，舒長(zhǎng)生針對(duì)變厚斜齒輪輪齒左右兩側(cè)螺旋角的變化規(guī)律提出了附加螺旋角的概念［5］。研究人員在建立變厚斜齒輪齒面方程時(shí)都是從產(chǎn)形齒條法面方程著手進(jìn)行推導(dǎo)，未能直接通過(guò)設(shè)定齒輪參數(shù)得到斜齒輪端面方程，建模過(guò)程相對(duì)繁瑣。

筆者根據(jù)齒輪嚙合原理，以產(chǎn)形齒條法面齒廓為基礎(chǔ)，建立其端面齒廓方程，推導(dǎo)產(chǎn)形齒條與變厚齒輪間的坐標(biāo)變換關(guān)系，求解兩齒面相對(duì)滑移速度及產(chǎn)形齒條上的單位法矢構(gòu)建嚙合方程，得到漸開(kāi)線變厚斜齒輪齒面表達(dá)式，而后利用UG軟件建立相交軸漸開(kāi)線變厚斜齒輪副的實(shí)體模型。

2 產(chǎn)形斜齒條端面方程的推導(dǎo)

在推導(dǎo)漸開(kāi)線變厚斜齒輪齒面方程時(shí)，以假想產(chǎn)形齒條作為刀具加工變厚斜齒輪，產(chǎn)形齒條與被加工齒輪相對(duì)位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 產(chǎn)形齒條和齒坯相對(duì)位置關(guān)系

圖1中，半徑為r′的節(jié)圓柱與產(chǎn)形齒條節(jié)平面相切，節(jié)圓柱上的切點(diǎn)線速度r′ω等于齒條平移的速度，假想分度平面與節(jié)平面之間呈夾角δ'。

2.1 產(chǎn)形斜齒條法面方程

如圖2所示，Sn(Xn，Yn，Zn)是空間固定坐標(biāo)系，YnZn平面為產(chǎn)形齒條的分度平面，XnZn平面為產(chǎn)形齒條法向?qū)ΨQ(chēng)平面。在法向截面上，產(chǎn)形齒條的左側(cè)齒廓分為AB和BC兩部分，其中AB段為圓弧，包絡(luò)出變厚齒輪齒根過(guò)渡曲線;BC段為直線，包絡(luò)出變厚齒輪的漸開(kāi)線齒面。

圖2 產(chǎn)形齒條法向截面齒廓

BC上任一點(diǎn)在法向截面上方程為:

式中:Rzn為BC段中任意一點(diǎn)在坐標(biāo)系Sn中的矢徑;αn為法面壓力角;mn為法面模數(shù);h*an為齒頂高系數(shù);l為BC中任意一點(diǎn)到點(diǎn)B的距離;下標(biāo)n為刀具法面;–，+分別表示產(chǎn)形齒條左、右側(cè)齒廓。

AB上任一點(diǎn)在法向截面上方程為:

式中:Rjn為AB段中任意一點(diǎn)在坐標(biāo)系Sn中的矢徑;θ為圓弧上任一點(diǎn)與起始點(diǎn)A間的圓心角;ρ為產(chǎn)形齒條齒頂圓角半徑。

2.2 產(chǎn)形斜齒條端面方程

將坐標(biāo)系Sn繞Xn旋轉(zhuǎn)β，得坐標(biāo)系St(Xt，Yt，Zt)，再將坐標(biāo)系St繞Yt旋轉(zhuǎn)δ，得坐標(biāo)系Sd(Xd，Yd，Zd)，如圖2所示。

由式(1)、(2)可推導(dǎo)出產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段在坐標(biāo)系St中XtOtYt平面上的表達(dá)式如下。

由式(3)、(4)可推導(dǎo)出產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段在坐標(biāo)系Sd中XdOdYd平面上的表達(dá)式如下。

3 漸開(kāi)線變厚齒輪齒面方程的推導(dǎo)

3.1 產(chǎn)形齒條的坐標(biāo)變換

建立如圖3所示的坐標(biāo)系，Sd(Xd，Yd，Zd)坐標(biāo)系與產(chǎn)形齒條固聯(lián)，將坐標(biāo)系Sd沿Zd負(fù)向移動(dòng)距離u，然后繞Xd旋轉(zhuǎn)β角得到坐標(biāo)系Sp(Xp，Yp，Zp)，將坐標(biāo)系Sp繞Yp旋轉(zhuǎn)δ角得到坐標(biāo)系Sc(Xc，Yc，Zc)。

圖3 坐標(biāo)系S d、S p、S c之間的位置關(guān)系

在坐標(biāo)系Sc中，產(chǎn)形齒條齒面方程可通過(guò)如下坐標(biāo)變換得到。

式中:Rc和Rd分別表示產(chǎn)形齒條齒面上各點(diǎn)在坐標(biāo)系Sc和Sd下的矢徑，Mpd為坐標(biāo)系Sd到Sp的坐標(biāo)變換矩陣，Mcp為坐標(biāo)系Sp到Sc的坐標(biāo)變換矩陣。

將式(5)、(6)、(8)代入式(7)，可得坐標(biāo)系Sc下產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段各點(diǎn)的矢徑。

3.2 產(chǎn)形齒條齒面的單位法矢

坐標(biāo)系Sc下產(chǎn)形齒條直線段(圓弧段)各點(diǎn)的位置表達(dá)式為l/u(θ/u)的函數(shù)，所以產(chǎn)形齒條齒面的單位法矢可以表示為下式。

3.3 嚙合方程

產(chǎn)形齒條加工齒坯的過(guò)程，也是產(chǎn)形齒條齒面包絡(luò)齒坯創(chuàng)成齒面的過(guò)程。圖4所示為產(chǎn)形齒條與齒輪嚙合時(shí)的相對(duì)位置關(guān)系。

圖4 產(chǎn)形齒條與與齒輪嚙合時(shí)相對(duì)位置關(guān)系

設(shè)Sb(Xb，Yb，Zb)為空間固定坐標(biāo)系，Sj(Xj，Yj，Zj)為與被加工齒輪固聯(lián)的坐標(biāo)系。在初始位置，Sj與Sb重合，與產(chǎn)形齒條固聯(lián)的坐標(biāo)系Sc的原點(diǎn)Oc位于Xb軸上，與Ob的距離為r'。產(chǎn)形齒條1以線速度ω1r′向左移動(dòng)，帶動(dòng)被加工齒輪2以角速度ω1繞Zj軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。若產(chǎn)形齒條由初始位置向左移動(dòng)r′φ1，則坐標(biāo)系Sj繞Zj旋轉(zhuǎn)角度φ1。

被加工齒輪繞Zj軸轉(zhuǎn)速矢量可表示為:

設(shè)產(chǎn)形齒條上某點(diǎn)K的位置矢量為:

可得:

由式(13)、(15)可得，在K點(diǎn)處齒輪相對(duì)齒條的速度矢量為:

根據(jù)嚙合原理，兩齒面能在K點(diǎn)正確嚙合的條件是K點(diǎn)的相對(duì)速度矢量垂直于過(guò)K點(diǎn)的兩齒面的公法線矢量，即:

其中:nK表示刀具齒面單位法向矢量

將式(16)、(18)代入式(19)解得:

3.4 漸開(kāi)線變厚齒輪齒面方程

將式(9)、(10)和(11)、(12)分別代入式(19)，解得產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段的轉(zhuǎn)角φ1。

變厚齒輪齒面部分在Sj中的齒面方程為:

式中:Mjc為坐標(biāo)系Sc到Sj的變換矩陣。

同理，變厚齒輪過(guò)渡圓弧在Sj中的參數(shù)方程為:

4 變厚斜齒輪副實(shí)體模型的建立

相交軸漸開(kāi)線變厚斜齒輪副的參數(shù)如表1所列。

表1 漸開(kāi)線變厚斜齒輪的參數(shù)

4.1 漸開(kāi)線變?cè)饼X輪齒面點(diǎn)云生成［6-8］

以輸入齒輪為例，在Matlab中根據(jù)變厚斜齒輪的齒面方程編寫(xiě)程序，可生成圖5所示的齒面點(diǎn)云。圖中5(a)為基于產(chǎn)形齒條端面齒廓方程得出的齒面點(diǎn)云，圖5(b)為基于產(chǎn)形齒條法面齒廓方程得出的齒面點(diǎn)云。

兩者對(duì)比分析可見(jiàn)，無(wú)論是從產(chǎn)形齒條端面方程還是法面方程出發(fā)，都能獲得準(zhǔn)確的齒面點(diǎn)云;不同的是圖5(a)中每層點(diǎn)云都與齒輪端面平行，可通過(guò)設(shè)定齒輪大端和小端的變位系數(shù)，從而方便地建立滿足齒寬要求的實(shí)體模型，而由圖5(b)點(diǎn)云擬合得到曲面后，還需依據(jù)齒輪大、小端的變位系數(shù)計(jì)算軸向切面位置，通過(guò)曲面剪切形成變厚斜齒輪齒面，建模過(guò)程相對(duì)較為繁瑣。

圖5 輸入軸漸開(kāi)線變厚齒輪齒面點(diǎn)云

4.2 漸開(kāi)線變厚斜齒輪建模及裝配

相交軸漸開(kāi)線變厚斜齒輪副的嚙合模型，如圖6所示。

交軸漸開(kāi)線變厚斜齒輪副的嚙合模型

將基于產(chǎn)形齒條端面齒廓方程得出的齒面點(diǎn)云輸入Imageware擬合成變厚斜齒輪齒面，而后在UG中編輯曲面，通過(guò)縫合、陣列等操作得到變厚斜齒輪的實(shí)體模型。計(jì)算齒輪副裝配位置，在UG中進(jìn)行虛擬裝配及干涉檢驗(yàn)，即可得到圖6所示的模型。

5 結(jié)論

采用空間嚙合原理，基于產(chǎn)形齒條端面方程推導(dǎo)了漸開(kāi)線變厚斜齒輪的齒面方程，建立了相交軸漸開(kāi)線變厚斜齒輪副的裝配模型，得出以下結(jié)論:①基于產(chǎn)形齒條法面齒廓的參數(shù)方程，經(jīng)兩次坐標(biāo)變換可推導(dǎo)出包含螺旋角β和錐角δ兩個(gè)基本參數(shù)的產(chǎn)形齒條端面方程;②從產(chǎn)形齒條端面齒廓方程入手，經(jīng)坐標(biāo)變換建立嚙合方程，得出了漸開(kāi)線變厚斜齒輪的齒面方程;③借助Matlab、Imageware、UG等軟件建立了漸開(kāi)線變厚斜齒輪副的實(shí)體模型和裝配模型，結(jié)果顯示該相交軸變厚斜齒輪副嚙合狀況良好。

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