裸眼井和套管井中偶極聲場的輻射和接收

唐曉明,曹景記,魏周拓

(中國石油大學地球科學與技術學院,COSL-UPC聲學測井聯合實驗室,山東青島 266580）

裸眼井和套管井中偶極聲場的輻射和接收

唐曉明,曹景記,魏周拓

(中國石油大學地球科學與技術學院,COSL-UPC聲學測井聯合實驗室,山東青島 266580）

運用彈性波互易原理,指出并驗證井中聲場輻射和接收存在的互易性,使得井的接收響應可以由井的輻射因子計算得到,并結合輻射聲場的遠場漸近解,使得遠探測聲場的計算效率顯著提高;模擬結果與三維有限差分數值模擬結果吻合。由于井對聲場輻射和接收的調制作用,偶極橫波遠探測測井數據SH型橫波的貢獻遠大于SV型橫波的貢獻,這一結果為數據的處理和解釋提供了理論基礎;模擬數據及其成像處理結果還證明了橫波遠探測技術在套管井中的可行性。所提的理論和方法可以快速模擬偶極橫波遠探測聲場。

橫波反射成像;偶極聲源;井中輻射;井中接收;彈性波互易原理;套管井

近年來,偶極橫波遠探測成像測井已成為探測井外地質構造的一種有效的測井技術[1-5]。遠探測聲場數據的數值模擬十分重要,它可以分析地層彈性性質的變化、井對聲場的調制、測井儀器中聲源和接收器的位置以及聲源頻率等因素對聲場的影響,為儀器的設計、數據處理和解釋提供依據。通常采用的三維有限差分模擬技術[3,6-7]能夠精確模擬聲場,但速度較慢。低頻近似的方法[1]模擬結果與實際結果存在誤差(偶極儀器的工作頻率為數千赫茲）。筆者運用彈性波互易原理和聲場的遠場近似,提出快速模擬偶極SH和SV橫波遠探測聲場的方法,并研究這兩種橫波分量在遠探測測井中的貢獻。另外,還模擬套管井中的偶極遠探測測井數據,并對其進行成像處理。

1 井中的偶極遠探測反射聲場

遠探測聲場的模擬是一個復雜的理論問題,因為井中接收到的聲場受多種因素的影響,包括井中聲源向井外地層的輻射、聲場在地層中的反射,以及井對反射波的響應等。考慮這些影響因素以及波在傳播路徑上的傳播效應,給出井中的遠探測聲波在頻率域內的表達形式如下[1]：

式中,V為井中接收到的遠探測聲波頻譜;S為聲源頻譜;DR為聲場輻射因子,CR為井對反射聲場的接收因子(即接收響應）,FR為波在地層反射體處的反射系數,這些因子都可以隨圓頻率ω變化;D為從聲源到反射體,再從反射體到井中接收器的總傳播距離;Qβ和β分別為橫波的品質因子和波速。除以上因素外,波場還受傳播效應的影響。影響之一為波在傳播路徑上的幾何擴散1/D,其二是波在傳播路徑上的非彈性衰減exp(-ωD/2Qββ）。

事實上,在研究井中聲源的輻射問題時,人們已經使用過互易原理。例如,對井中的單極子聲源, White[8]利用互易原理得到了低頻條件下的輻射指向性。但偶極聲源條件下的應用尚未有報道。特別地是,遠探測聲波要經歷聲場輻射和接收的過程。聲場輻射與接收之間的互易性,除了對井孔聲場的研究具有理論意義外,還可以將式(1）的計算量減少近一半。為了將互易原理應用于井中的偶極聲源,首先利用輻射聲場的遠場漸近解來計算聲場的遠場輻射因子;對于輻射距離大于波長的聲場計算,該結果對任意頻率都是適用的。將輻射的橫波分解為SH型和SV型橫波分量,通過理論分析和數值計算,可以證明偶極聲源向井外的橫波輻射與偶極接收的遠場橫波對井的入射事實上是等同的。這樣,在理論模擬中,只需利用遠場漸近解計算聲源的輻射因子,并由其得到井的接收響應。基于遠場漸近解的精確性和聲場輻射與接收之間的互易性,可以準確而便捷地模擬偶極橫波的遠探測測井聲場。

2 充液裸眼井和套管井中的偶極聲源輻射

圖1給出了井中偶極聲源輻射所用的坐標系統。充液井孔可以是裸眼井,也可以是套管井。井外是彈性地層(井與地層的模型參數見表1）,井中的偶極聲源位于坐標原點,其振動方向與x軸重合。

圖1 充液井孔中的偶極聲源輻射采用的坐標系統Fig.1 Rectangular coordinate system used to analyze far-field radiation of dipole source in a fluid-filled borehole

表1 模型計算參數Table 1 Model calculation parameters

為討論橫波遠探測問題,僅考慮偶極的橫波輻射,彈性地層中的橫波位移矢量由以下兩個位移勢函數給出：

式中,r和z為徑向和軸向距離;φ為源和場點所在豎直平面與偶極振動方向的夾角的余角,K1和s的定義見下。對于裸眼井的情況,SH和SV波的振幅函數E和F由以下矩陣方程給出[9]：

式中,A為井中偶極聲波的振幅系數,B為井輻射縱波的振幅系數,這兩者不在本文考慮之內;和

分別為井中偶極聲源在井壁上產生的徑向位移和徑

向正應力。上述矩陣和右邊源向量各元素的數學表達式如下：式中,In、Kn(n=0,1,2）分別為n階第一和第二類修正貝塞爾函數;a為井孔半徑;k為軸向波數;f為井中流體聲波的徑向波數;p為地層縱波的徑向波數;s為地層橫波的徑向波數;ρf為流體密度;ρ為地層密度;ω為圓頻率;α為地層縱波速度;β為地層橫波速度。

式(5）中的矩陣元素Mij以及方程右邊的各變量與方程(4）相同,G矩陣的元素Gij可以由不同層內的T矩陣求出,T矩陣的元素表達式如下：

其中,d為同心圓柱某一層介質的半徑(d=di或d= do）。

通過求解式(4）和(5）得到振幅系數E和F,再代入式(3）,用實軸積分的離散波數法[10-11]求解勢函數,解出后代入式(2）便可得到分別在φ和θ方向偏振的SH型與SV型橫波位移譜。對于給定的源函數S(ω）,將位移譜函數作傅里葉變換,便可得到空間任一點(r,z,θ）上輻射的SH和SV波形。該計算過程與Meredith[11]對單極輻射的計算過程相似。

對遠探測而言,井中聲源輻射的聲波深入到地層內部,與地層中的反射體作用產生反射。在輻射距離遠大于波長的條件下,可以用最速下降法[12]求解式(3）,得到橫波位移勢的遠場漸近解[1]：

式中,ρ和μ分別為地層的密度和剪切模量。式(7）中括號里的表達式為一無量綱組合,它們分別定義了SH和SV橫波的遠場輻射指向性：

令k=k0,求解矩陣方程(4）和(5）,得到裸眼井(方程(4））與套管井(方程(5））條件下SH及SV橫波的振幅系數E和F,由此便得到任意頻率下SH和SV波的偶極輻射指向性。值得一提的是,在波長遠大于井徑的低頻條件下,Tang和Patterson[1]得到了式(7）在裸眼井條件下的解析表達式。該結果與無限大彈性介質中單力源的橫波輻射相同,說明在低頻條件下井中偶極輻射與井無關。但當頻率增加,波長變短時,井中聲源的輻射會受到井的調制作用,而這種調制在裸眼井和套管井的情況是不一樣的。

采用輻射聲場的遠場漸近解式(6）,將漸近解的結果與實軸積分法的精確解結果進行比較,以驗證其精確性。計算采用的源函數為3 kHz的Kelly源[7],偶極聲源位于z=0的平面;接收陣列距井5 m,沿z軸上方延伸,接收間距為1 m,模擬參數見表1。以SH橫波為例,圖2(a）和圖2(b）分別是在裸眼井與套管井條件下,利用漸近解與精確解計算的SH反射波波形,兩者幾乎完全重合,證明了漸近解的精確性,同時還說明偶極聲源輻射的遠場橫波是幾何擴散因子為1/R的球面波。圖3給出了裸眼井與套管井下的遠場輻射指向性。

圖2 裸眼井與套管井中由精確解和遠場漸近解計算的SH波的對比Fig.2 Comparison of SH waves calculated using exact and asymptotic solution methods in an open hole and a cased hole

圖3 裸眼井和套管井中SH和SV波的輻射指向性對比Fig.3 Comparison of SH-and SV-wave radiation patterns in an open hole and a cased hole

輻射指向性因子由式(8）取模得到,指向角的變化范圍為0～360°。計算SH指向性時,取φ=0°,場點位于yoz平面內;計算SV指向性時,取φ=90°,場點位于xoz平面內。在這兩個參考平面之外的SH和SV的輻射指向性則分別以cos φ和sin φ的形式呈規律性的變化,如式(8）所示。因此,只考慮這兩個參考平面中的SH或SV的輻射指向性。由于套管和水泥環的存在,套管井對聲場輻射的調制作用不同于裸眼井,圖3所示的裸眼井與套管井下的遠場輻射指向性之間的差異說明了這一點。由圖可見,相對于裸眼井,套管井的偶極聲場輻射在垂直于井軸方向大為壓縮。

3 井中偶極探測器對入射彈性波的接收響應

為了模擬充液體井中接收到的遠探測聲場,還須知道式(1）中井的接收響應CR。CR的定義是：對(入射角度和波長一定的）彈性平面波入射,井中接收器測量到的流體位移。CR反映了接收信號隨入射角的變化,稱為接收因子。Schoenberg(1986）和Peng(1993）對此問題作了詳盡的理論分析[13-14];分析井的響應函數的計算相當復雜。本文中根據井中聲源輻射和聲場接收的互易性,用計算輻射因子的方法來計算接收響應。

直井中水平放置的偶極子聲源在井內流體中產生一水平向位移,而井中偶極接收器測量的是接收指向上入射波產生的水平位移[10,15]。對于這種偶極發射和接收的情形,彈性波的互易原理可以表述為：井中單位幅度的水平向位移沿某一方向輻射產生的井外遠場橫波位移等于沿同一方向向井入射的單位振幅的平面橫波在井中原水平方向產生的位移。根據以上互易原理,井對SH或SV波入射的響應函數CR即為式(8）表示的SH或SV波的輻射因子。值得指出的是,上述結論對裸眼井和套管井的情況都是適用的,因為彈性波的互易性原理對均勻介質(對應于裸眼井外的均勻彈性地層）和非均勻介質(對應于套管井時的分層情況）都是成立的。下面用裸眼井的計算實例來證明井中聲源輻射和聲場接收的等同性。

圖4比較了聲源頻率分別為0.2和4.0 kHz時聲場接收(曲線）與聲場輻射(標識符）因子。計算所用的是表1所列的裸眼井的模型參數。輻射指向因子由式(8）取模得到。計算SH波因子時,取φ= 0,使入射波的偏振與聲源指向平行;計算SV波因子時,取φ=π/2,使入射波的偏振與聲源指向共面。接收因子由Peng(1993）的公式計算得到(也可以參考Schoenberg(1986）的公式）[13-14]。計算結果表明：井中聲源輻射與聲場接收的等效性在由低到高的不同頻率都是成立的。圖4中SH與SV的輻射圖樣(標識符）和相應的接收圖樣(曲線）吻合得相當好。除證明了輻射和接收的互易性外,這些方向因子圖樣還表明了井對聲源輻射/聲場接收的頻率調制作用。低頻時,方向因子幾乎不受井的影響,且與無限大介質中單力源的輻射因子[1]相同。但是,隨著頻率增加,波長相對于井徑的比例縮小,井對聲場的輻射和接收的調制作用變得十分明顯。如圖4(b）所示,SH和SV方向因子的幅度向水平方向明顯增強。圖4(b）表明,要真實地模擬數千赫茲工作頻率聲源產生的遠探測聲場,必須考慮井對聲場輻射和接收的調制作用。

圖4 聲場輻射指向因子與接收響應的對比Fig.4 Comparison of SH and SV radiation and reception patterns

4 應用舉例

運用偶極聲場的遠場漸近解和聲場輻射與接收的等效性,便可以用式(1）快捷、有效地模擬偶極橫波的遠探測聲場。圖5給出了位于井旁地層中的一個簡單反射體模型。其中,偶極聲源位于井中T處,偶極接收器R位于聲源上方距離H處,指向與聲源相同。反射體為一傾斜的地層界面,界面兩邊的彈性參數由表1給出,接收器到界面與井交接處的距離為Z,界面與井的交角為θ。對于圖6所示的模型,計算式(1）所需的幾何參數[16]由下式得出：

式中,ψ為波對反射界面的入射(或反射）角;θt為波從井中的出射角;θi為經反射后波向井的入射角。

對圖5所示的同一幾何模型,式(1）可以用來模擬SH和SV的遠探測聲場。一般而言,測井時偶極聲源的指向是可以任意的,這時接收到的遠探測聲場是SH和SV波的線性組合[1]。所以,這里只考慮SH和SV波的模擬計算。運用式(8）中的SH和SV波的輻射因子和輻射與接收的等效性,得到SH波和SV波的輻射與接收因子。

圖5 模擬井中在井中測量井外地層界面反射聲場的幾何模型Fig.5 Geometric model for simulating a borehole reflection survey with a formation reflector outside borehole

式(1）中SH和SV波在反射體處的反射系數FR可以用Zoeppritz公式[12]計算得到。將計算結果與聲源函數S(ω）褶積,得到井中SH和SV遠探測聲場的波譜,對該波譜做傅里葉變換,便可得到聲場的模擬波形數據。

為了驗證上述理論和方法的可靠性與精確性,將模擬結果與三維有限差分的精確模擬結果進行比較。圖6是在裸眼井的情況下,對圖5的反射體模型分別采用本文方法(紅色）和三維有限差分(黑色）方法模擬的SH反射波的對比。聲源的中心頻率為3 kHz。差分方法是全波模擬方法,其結果包括了首先到達的鉆井彎曲波和后續的SH反射波;而式(1）的方法只模擬了全波中的反射波部分。為了使對比結果更加清晰,圖6僅顯示了5～12 ms內,接收距離為0.8～4 m的反射波波形。兩方法的結果吻合得相當好,表明本文所述模擬方法是正確和有效的。然而,這兩種方法的計算效率差別巨大,利用三維有限差分模擬圖6中的反射波需要耗費數小時,而本文方法耗時僅數秒。因此,本文所述理論為模擬橫波遠探測的反射波數據提供了一種快速有效的方法。

圖6 用有限差分方法和快速模擬方法計算的SH反射波的結果對比Fig.6 Comparison of SH reflection data calculation finite difference and the fast simulation

為了研究SH和SV型橫波的遠探測聲場,對圖5的反射體模型還模擬了SV波的遠探測測井數據,與圖6的SH波形重疊在一起進行比較,如圖7所示。模擬過程所用的聲源是一樣的,但圖7中顯示二者在井中的接收波形振幅有很大的差別,這從井對聲場輻射和接收的調制作用可以得到很好的解釋。根據圖2～4所示的SH和SV波的輻射因子圖樣(同時又是接收因子圖樣）,在輻射角偏離井軸情況下的SH圖樣的幅度要比SV圖樣的大許多,而遠探測聲場在輻射和接收過程中要受到兩次這樣的調制,這就使得SV的波幅比SH的大為降低。由于其對輻射方向的良好覆蓋性和對遠探測聲場的主要貢獻,SH波構成了偶極橫波遠探測測井的重要依據。這一結果為橫波遠探測測井數據的處理和解釋提供了理論基礎。

圖7 模擬計算的SH和SV反射波的陣列波形數據Fig.7 Calculated SH and SV reflection waves for an array of receivers along borehole

作為本文理論和方法的一個重要應用,本文模擬了套管井中的遠探測測井數據。圖8右圖給出了過井的多反射界面模型,井段深度區間約為100 m;模型中部有三個虛線繪出的反射界面。自上而下,反射界面與井軸的交角分別為60°、30°和45°;間距分別為10和15 m。對此模型模擬由偶極陣列測井儀采集的SH橫波的遠探測全波數據。陣列中有8個間距為0.152 4 m的接收器,偶極聲源位于陣列下方3 m處。測井聲場的深度和時間采樣間隔分別為0.1524 m和36 μs。模擬的聲源的中心頻率為3 kHz,地層為無衰減(Qβ=∞）的彈性介質。所用的套管、水泥環和地層的參數見表1。

圖8的左圖是模擬得到第一接收器上的遠探測測井數據的變密度圖。其中,變密度圖顏色的深淺反映了波幅的強弱。從圖中看到,井中彎曲波的幅度遠遠大于來自井外地層界面的反射波的幅度;另外,隨著記錄時間(即波在地層中的雙程傳播時間）的增加,反射波波幅逐漸減小;但波幅的變化除式(1）所示的球面波擴散外,還受井孔的調制。對不同傾角的反射界面,波輻射的出射角以及反射后回井的入射角有所不同,故井對波調制作用的大小也不同。對左圖的數據進行反射波成像處理,成像結果由右圖的變密度圖給出。地層反射界面與模型中界面位置完全吻合;界面與井的交角越小,成像的徑向深度越深,符合單井反射的成像原理[17],說明模擬結果的正確有效。圖8的例子從理論上證明了在套管井中的遠探測成像測井的可行性,這在實際測井數據處理中也得到了證實[2]。

圖8 對過井多反射界面模型模擬的套管井SH橫波遠探測數據以及由該數據處理得到的反射界面成像Fig.8 Multiple reflector model,calculated SH full wave data in borehole,and resulting reflector images

5 結束語

對裸眼和套管井中的偶極遠探測聲場模擬需要考慮在聲源的工作頻帶內井對聲場輻射和接收的調制作用。輻射因子的計算可以采用遠場漸近解,這在輻射距離大于波長的條件下足夠精確。聲場的接收響應可以利用聲場輻射和接收的互易原理從輻射場計算得到。對充液井中與井軸垂直指向的偶極接收器,其SH和SV橫波的接收響應可以分別由SH和SV橫波的輻射因子計算得到。遠場漸近解和互易原理的運用提供了一種快速而精確的計算偶極橫波遠探測聲場的方法,可以用來便捷有效地模擬和分析井和地層參數對聲場的影響。模擬結果表明：偶極橫波遠探測聲場中SH波的貢獻占了主要的成分,為遠探測數據的處理和解釋提供了理論依據。對套管井遠探測測井數據的模擬和成像處理證明了該技術應用于套管井中的可行性。

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(編輯 修榮榮）

Radiation and reception of elastic waves from a dipole source in open and cased boreholes

TANG Xiao-ming,CAO Jing-ji,WEI Zhou-tuo
(COSL-UPC Allied Borehole Acoustic Laboratory,School of Geosciences in China University of Petroleum, Qingdao 266580,China）

According to elastic reciprocity theorem,the shear-wave radiation from a borehole dipole source is reciprocal to the reception in the source orientation of the borehole fluid displacement caused by the incidence of plane shear waves upon the borehole.Consequently,the borehole radiation pattern can be utilized to compute the borehole reception directivity.The results show that the radiation away from borehole can be accurately computed using an asymptotic solution in the far-field of the borehole.The use of the reciprocity theorem and the asymptotic solution greatly reduces the computational effort in the reflection survey simulation.The simulation results agree well with those from a 3D finite difference elastic wave simulation. The modeling results also show that the SH-wave component from the dipole source is a dominate component for the dipole shear-wave imaging.Simulation and processing results of cased-hole dipole reflection survey data also demonstrate the feasibility of applying the borehole shear-wave imaging technology in cased boreholes.The results of this work provide a fast and accurate algorithm for simulating the dipole-shear wave reflection survey along a borehole.

borehole shear-wave reflection imaging;dipole source;borehole radiation;borehole reception;elastic reciprocity theorem;cased borehole

P 631.8

A

1673-5005(2013）05-0057-08

10.3969/j.issn.1673-5005.2013.05.008

2013-06-30

唐曉明(1955-）,男,教授,博士生導師,多年來一直致力于地球物理(特別是聲波）測井、巖石物理學、地震波傳播及測量等方面的研究和技術開發工作。E-mail：tangxiam@aliyun.com。