關(guān)于環(huán)上長(zhǎng)方矩陣的加權(quán)群可逆性

章勁鷗

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江寧波 315211)

關(guān)于環(huán)上長(zhǎng)方矩陣的加權(quán)群可逆性

章勁鷗

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江寧波 315211)

研究任意環(huán)上長(zhǎng)方矩陣的加權(quán)群逆和加權(quán){1,5}-逆。利用矩陣分解,得到了長(zhǎng)方矩陣積的加權(quán)群逆存在的一些等價(jià)條件和計(jì)算方法及任意環(huán)上長(zhǎng)方矩陣的加權(quán){1,5}-逆的刻畫表達(dá)式。得到的定理推廣了有關(guān)方陣群逆和{1,5}-逆的相關(guān)結(jié)果。結(jié)果還可適合應(yīng)用于加法范疇中的態(tài)射。

環(huán);長(zhǎng)方矩陣;von Neumann正則;加權(quán)群逆

1 預(yù)備知識(shí)和引理

設(shè)R是具有單位元1的環(huán),Mm,n(R)為R上的n階矩陣環(huán).Mn(R)表示環(huán)R上的所有m×n矩陣組成的集合.給定環(huán)R上的m×n矩陣A,如果存在一個(gè)n×m矩陣A-,使得AA-A=A,那么稱矩陣A是von Neumann正則的,且矩陣A-稱為A的von Neumann 逆.

給定W∈Mn,m(R).對(duì)于環(huán)R上一個(gè)m×n矩陣T,如果存在矩陣G∈Mn,m(R)滿足

在文獻(xiàn)[3]中,討論了任意帶有單位元環(huán)上的正則方陣矩陣T的群逆T?的性質(zhì).對(duì)于T=PAQ,如果A是正則的,PA與A生成相同的左理想,且AQ與A生成相同的右理想,則T?存在,當(dāng)且僅當(dāng)

在本文中,想把這些結(jié)果從方陣推廣到m×n矩陣,將給出長(zhǎng)方矩陣積PAQ的加權(quán)群可逆的一些等價(jià)條件,這里A∈Mk,l(R)是正則的,且P∈Mm,k(R),Q∈Ml,n(R),且存在P′∈Mk,m(R)和Q′∈Mn,l(R)滿足P′PA=A=AQQ′.而且,還給出了任意環(huán)上長(zhǎng)方矩陣的加權(quán)群逆和加權(quán){1,5}-逆的刻畫表達(dá)式.得到的結(jié)果推廣了有關(guān)方陣群逆的結(jié)果.結(jié)果還可適用于加法范疇中的態(tài)射.

2 加權(quán)群逆

設(shè)A∈Mk,l(R)是正則的.給出矩陣T=PAQ有加W-權(quán)群逆的充要條件.下面給出兩個(gè)矩陣:

因此,(ii)得證.

(ii)=?(i):因?yàn)?/p>

若m=n=l=k且W=In,則定理2.2的結(jié)果就變成了文獻(xiàn)[3]定理2的結(jié)果.

注2請(qǐng)注意由于在定理2.1中的第二個(gè)條件,不涉及A-,結(jié)果與A-的選擇無(wú)關(guān).換句話說(shuō),如果U對(duì)于特殊A-是可逆的,那么對(duì)于任何A-都是可逆的.

3 加權(quán){1,5}-群逆

值得注意的是,上述結(jié)果同樣適用于加法范疇中的態(tài)射.如果m=n且W=In,則定理3.1和定理3.2的結(jié)果恰好是文獻(xiàn)[4]中的定理1和定理6的結(jié)果.

[1]Cline R E,Greville T N E.A Drazin inverse for rectangular matrices[J].Linear Algebra Appl,1980,29:53-62.

[2]Gouveia M C,Puystjens R.About the group inverse and Moore-Penrose inverse of a product[J].Linear Algebra Appl,1991,150:361-369.

[3]Hartwig R E,Puystjens R.The group inverse of a companion matrix[J].Linear and Multilinear Algebra, 1997,43:137-150.

[4]Cao Yongzhi,Zhu Ping.On Generalized Inverses of Morphisms with Universal Factorization[J].Acta Mathematica Sinica,2001,44(3):559-566.

[5]尹幼奇,岑建苗.環(huán)上矩陣的加權(quán)Moore-Penrose逆[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,25(7):37-41.

[6]張仕光,劉曉冀.環(huán)上矩陣的加權(quán)Moore-Penrose逆[J].廣西民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,12(1):90-92.

On weighted group invertibility for rectangular matrices over an arbitrary ring

Zhang Jinou
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo315211,China)

The weighted group inverses of rectangular matrices and the weighted{1,5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring are studied.Using Matrix decomposition method,First,the weighted group inverse of a rectangular matrix product PAQ for which there exist P′and Q′such that P′PA=A=AQQ′can be characterized and computed.Moreover,the expressions are given for the weighted{1,5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring.This generalizes recent results obtained for the group inverse of square matricesand the weighted{1,5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring.The results also apply to morphisms in(additive)categories.

ring,rectangular matrix,von Neumann regular,weighted group inverse

O153.3,O151.21

A

1008-5513(2013)02-0146-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.006

2012-12-27.

寧波市自然科學(xué)基金(2012A610034).

章勁鷗(1974-),碩士,講師,研究方向：矩陣論.

2010 MSC:15A09