平衡損失函數(shù)下具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)

李新鵬，吳黎軍

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

1 預(yù)備知識

在保險(xiǎn)實(shí)際應(yīng)用中，精算師的一個(gè)重要任務(wù)之一就是對給定的風(fēng)險(xiǎn)制定一個(gè)合適的保費(fèi)?，F(xiàn)代信度理論起源于Bühlmann［1］得到了任意分布下的凈保費(fèi)信度估計(jì)。信度理論是基于過去的索賠經(jīng)歷來制定保費(fèi)的一種定量方法。信度保費(fèi)為樣本均值和聚合保費(fèi)的加權(quán)和，其中權(quán)重因子又被稱為信度因子。

令Xi表示保單持有人在第i個(gè)保單時(shí)期的索賠額，Xi的分布依賴于風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ。由于風(fēng)險(xiǎn)的非其次性，一般假設(shè)Θ是隨機(jī)變量，具有先驗(yàn)分布為 π(θ)，若給定 Θ =θ，Xi(i=1，2…n)相互獨(dú)立，且有相同的分布函數(shù)F(x，θ)。信度理論的目的是在給定保單持有人的前n個(gè)時(shí)期根據(jù)索賠經(jīng)歷來計(jì)算第n+1個(gè)時(shí)期的保費(fèi)。如果將估計(jì)限定在索賠額的線性函數(shù)中，則得到著名的信度公式:

其中:z=n/(n+k)為信度因子;k為條件方差的期望值與條件期望的方差值的比值;為樣本均值;μ為聚合保費(fèi)。

經(jīng)典的信度理論中假定不同年份的索賠序列有共同的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)，在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定時(shí)，各年的索賠相互獨(dú)立，且具有相同的分布，沒有考慮不同年份之間風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)間效應(yīng)。溫利民等［2］在均方損失函數(shù)下研究了各年索賠風(fēng)險(xiǎn)間具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度模型，得到了相應(yīng)的信度保費(fèi)?？紤]時(shí)間方面相依性的信度模型與實(shí)際情況更為符合。溫利民等在2009年研究了各年索賠風(fēng)險(xiǎn)間具有等相關(guān)的信度模型，得到了相應(yīng)的信度保費(fèi)。Bolancé等［3］建立了索賠頻率風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了時(shí)間效應(yīng)為自相關(guān)時(shí)間序列時(shí)的信度保費(fèi)。Purcaru與Denuit［4］在 Poisson索賠頻率風(fēng)險(xiǎn)模型中討論了相依結(jié)構(gòu)對信度估計(jì)的影響。Frees等［5］研究了時(shí)間效應(yīng)為Student-t copula時(shí)的信度保費(fèi)。

經(jīng)典的決策論中，損失函數(shù)的選擇通常取決于估計(jì)的精確性，然而，擬合的好壞也是一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn)。Zellner［6］引入了平衡損失函數(shù)的概念，它既反映了好的擬合度又反映了估計(jì)的精確性，函數(shù)如下:

其中:ρ為距離函數(shù);δ0為目標(biāo)估計(jì)，它通常由極大似然估計(jì)、最小二乘法或者無偏性條件獲得;δ為θ的估計(jì)值;距離函數(shù)通常選為均方誤差損失函數(shù)。

本文在平衡損失函數(shù)下考慮了具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度模型，并且得到了相應(yīng)的信度保費(fèi)［7-10］。

2 模型假設(shè)與準(zhǔn)備

在信度理論中，假設(shè)保單組合的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θ，且有n年的索賠額，由于風(fēng)險(xiǎn)的非齊次性，風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ假定為隨機(jī)變量。本文的目標(biāo)為預(yù)測保單在未來1年的索賠Xn+1。但與經(jīng)典的信度理論不同，本文假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定的條件下，索賠隨機(jī)變量 X1，X2，…，Xn有各自的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù) Θ1，Θ2，…，Θn，且這些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)具有某種相依結(jié)構(gòu)。模型的基本假設(shè)如下:

假設(shè)1 給定時(shí)間變化效應(yīng)Θi=θi時(shí)，索賠額 Xi，i=1，…，n 互相獨(dú)立且同分布 E(Xi|Θi)=μ(Θi)，Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)，i=1，2，…，n。

假設(shè)2 風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θi的分布函數(shù)為πi(θ)，且 E［μ(Θi)］=μ，E［σ2(Θi)］=和協(xié)方差Cov［μ(Θi)，μ(Θj)］= τiτj.i，j=1，…n。

假設(shè)3 本文中平衡損失函數(shù)為:

其中 δ0(X)為目標(biāo)估計(jì)，X=(X1，…，Xn)'且E［δ0(X)］= μδ，Cov［δ0(X)，Xi］=di，i=1，2，…，n，w為權(quán)重因子。

本文目標(biāo)為求解下面最優(yōu)化問題:

為求解最優(yōu)化問題(4)，記L(X，1)={a0+

引理1～3［2］表明了相依結(jié)構(gòu)的一些簡單但重要的性質(zhì)。

引理1 在假設(shè)1和假設(shè)2下，有:

①Xi的均值為

②過去索賠和未來索賠的協(xié)方差為

③X的協(xié)方差矩陣為

其中diag［…］為對角矩陣。

④X的協(xié)方差矩陣的逆為

引理2 假設(shè)(X'1×p，Y'1×q)'為一隨機(jī)向量，期望和協(xié)方差矩陣分別為(μ'X，μ'Y)和則當(dāng)時(shí)，期望損失E(Y-A-BX)'(Y-A-BX)達(dá)到最小。

引理3 風(fēng)險(xiǎn)Xn+1的非齊次信度估計(jì)為Xn+1在L(X，1)上的正交投影，即

3 平衡損失函數(shù)下的信度估計(jì)

定理1為最優(yōu)化問題(4)的解，即未來索賠Xn+1的信度保費(fèi)。

定理1 在假設(shè)1～3下，運(yùn)用平衡損失函數(shù)，Xn+1的最優(yōu)線性非齊次估計(jì)為

其中:

證明引入一隨機(jī)變量Y=Iδ0(X)+(1-I)Xn+1，其中I為0-1隨機(jī)變量，它獨(dú)立于其他的隨機(jī)變量，并且P(I=1)=1-P(I=0)=w，w為式(4)中的權(quán)重因子。因此，最優(yōu)化問題(4)等價(jià)于

由引理2和引理3知，下一年保費(fèi)的最優(yōu)估計(jì)為

根據(jù)Y的定義，均值μY為:

又因?yàn)镋(XI)=E(X)為一常數(shù)，所以

定理得證。

注1 當(dāng)w=0時(shí)，此定理給出的保費(fèi)與溫利民等在2012年提出的具有時(shí)間變化效應(yīng)信度模型的保費(fèi)一致。

4 Bühlmann-Straub模型的信度估計(jì)

本節(jié)將給出在平衡損失函數(shù)下具有時(shí)間變化效應(yīng)的Bühlmann-Straub信度模型的保費(fèi)。將假設(shè)1中的Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)改為 Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)/mi，i=1，2，…，n，mi為 Xi自然權(quán)重因子，其他假設(shè)不變。

引理4 在本文第3節(jié)的假設(shè)和上面的假設(shè)下，有以下結(jié)果:

①Xi的均值為

②過去索賠和未來索賠的協(xié)方差為

③X的協(xié)方差矩陣為

其中diag［…］為對角矩陣。

④X的協(xié)方差矩陣的逆為

定理2 在本文第3節(jié)假設(shè)和本節(jié)假設(shè)下，運(yùn)用平衡損失函數(shù)，Xn+1的最優(yōu)線性非齊次估計(jì)為

其中:

定理2的證明與定理1的證明類似，所以只給出粗略的證明。

證明引入一隨機(jī)變量Y=Iδ0(X)+(1-I)·Xn+1，其中I為0～1隨機(jī)變量，它獨(dú)立于其他的隨機(jī)變量，并且P(I=1)=1-P(I=0)=w，w為式(4)中的權(quán)重因子。因此，最優(yōu)化問題(4)等價(jià)于

由引理2和引理3知:下一年保費(fèi)的最優(yōu)估計(jì)為

其中

所以，下一年最優(yōu)非齊次信度保費(fèi)為

5 結(jié)束語

本文運(yùn)用平衡損失函數(shù)，研究了具有時(shí)間變化效應(yīng)的Bühlmann和Bühlmann-Straub信度模型的保費(fèi)估計(jì)問題，并且推導(dǎo)出相應(yīng)的信度保費(fèi)，但是對于參數(shù)的估計(jì)還需今后深入研究。

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