實(shí)物期權(quán)評估模型中波動率的計算及其敏感性分析

■ 劉小峰

存在不確定性的資產(chǎn)評估一直是評估理論與實(shí)務(wù)的難點(diǎn)，比如正在申請階段的專利、處于研制階段的藥品或技術(shù)、創(chuàng)作階段的文化作品和建設(shè)初期的在建工程等。對于這些不確定性程度較高的資產(chǎn)，傳統(tǒng)評估方法（成本法、市場法和收益法）遭遇到了極大挑戰(zhàn)，而期權(quán)理論，特別是實(shí)物期權(quán)理論，則為這類資產(chǎn)價值的評估提供了一種新的視角。實(shí)物期權(quán)是指附著于企業(yè)整體資產(chǎn)或者單項資產(chǎn)上的非人為設(shè)計的選擇權(quán)，即是現(xiàn)實(shí)中存在的發(fā)展或者增長機(jī)會、收縮或者退出機(jī)會等。擁有或控制相應(yīng)企業(yè)或資產(chǎn)的個人或組織在未來可以執(zhí)行這種選擇權(quán)，并且預(yù)期通過執(zhí)行這種選擇權(quán)能帶來經(jīng)濟(jì)利益①該定義引自2011年12月31日中國資產(chǎn)評估協(xié)會發(fā)布的《實(shí)物期權(quán)評估指導(dǎo)意見（試行）》。。近年來，實(shí)物期權(quán)理論在資產(chǎn)評估中的應(yīng)用得到了快速的發(fā)展，同時，實(shí)物期權(quán)理論在資產(chǎn)評估中的應(yīng)用也逐步得到規(guī)范，2011年12月31日，中國資產(chǎn)評估協(xié)會發(fā)布《實(shí)物期權(quán)評估指導(dǎo)意見（試行）》，更是極大地推動了實(shí)物期權(quán)理論在資產(chǎn)評估中的應(yīng)用與發(fā)展。

實(shí)物期權(quán)理論在應(yīng)對不確定性資產(chǎn)價值的評估上具備優(yōu)勢，但模型中的參數(shù)取值通常是采取經(jīng)驗判斷、隨機(jī)模擬等方法得到，這使不少人對實(shí)物期權(quán)方法評估資產(chǎn)價值持謹(jǐn)慎甚至懷疑的態(tài)度。為此，本文以常用的B-S模型為例，探討實(shí)物期權(quán)模型中的波動率參數(shù)的計算與敏感性問題，試圖發(fā)現(xiàn)波動率取值的一些特點(diǎn)，為實(shí)物期權(quán)理論在資產(chǎn)評估中的運(yùn)用提供借鑒。

一、波動率的內(nèi)涵與特點(diǎn)分析

針對無紅利流量情況下歐式期權(quán)的價值評估情況，依據(jù)B-S模型，共有5個參數(shù)需要確定，包括標(biāo)的資產(chǎn)評估基準(zhǔn)日的價值（s）及其波動率（σ）、期權(quán)行權(quán)價格（x）、行權(quán)期限（T）以及無風(fēng)險收益率（r）。模型形式為：

其中，C和P分別代表歐式買方期權(quán)和賣方期權(quán)的價值，e-rT代表連續(xù)復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)，N(d1)和N(d2)分別代表在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下變量小于d1和d2時的累積概率，其函數(shù)表達(dá)式為：

選擇B-S模型估算實(shí)物期權(quán)價值的步驟為：（1）估計有關(guān)參數(shù)數(shù)據(jù)，核心是前文提及的5個參數(shù)s、σ、X、T和r；（2）計算d1和d2；（3）求解N(d1)和N(d2)；（4）計算買方期權(quán)或者賣方期權(quán)的價值。

在采用實(shí)物期權(quán)估算價值的過程中，估算有關(guān)參數(shù)是最為重要的步驟之一，其中，波動率是實(shí)物期權(quán)評估模型中非常重要卻又很難確定的一個參數(shù)。波動率表征的是標(biāo)的資產(chǎn)對擁有或者控制相應(yīng)企業(yè)或資產(chǎn)的個人或者組織所帶來的收益的不確定性。一般而言，對于金融期權(quán)評估模型，波動率可以直接根據(jù)股票的歷史價格數(shù)據(jù)，通過計算其歷史收益率的標(biāo)準(zhǔn)差求得，計算方法相對成熟。但對實(shí)物期權(quán)評估模型來說，其標(biāo)的物大多為不確定非商業(yè)化的無形資產(chǎn)或其他投資項目等，既不存在期權(quán)的市場價格，也不存在歷史價格。此外，金融期權(quán)的波動率主要受市場變化的影響，而實(shí)物資產(chǎn)價值的變動不但受到市場變化和資產(chǎn)自身特性的影響，還受到相關(guān)主體（擁有者或控制者、競爭對手與供應(yīng)鏈成員等）行為變化的影響，相關(guān)主體對于實(shí)物資產(chǎn)的態(tài)度、策略和判斷都會影響到標(biāo)的資產(chǎn)價值的變化。這些特點(diǎn)使得波動率的估算成為實(shí)物期權(quán)評估模型的難點(diǎn)，也在某種程度上影響了實(shí)物期權(quán)理論在資產(chǎn)評估中的應(yīng)用。

二、波動率的計算方法

波動率的內(nèi)涵與特性使得實(shí)物期權(quán)評估模型中對于波動率的確定更多地采用假設(shè)、隨機(jī)模擬或經(jīng)驗估值的方式。依據(jù)《實(shí)物期權(quán)評估指導(dǎo)意見（試行）》，波動率可以通過類比風(fēng)險相近資產(chǎn)的波動率確定，也可以根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)以往價格相對變動情況估計出歷史波動率，再根據(jù)未來風(fēng)險變化情況進(jìn)行調(diào)整確定。目前采用比較多的方法主要有以下三種：

1. 近似資產(chǎn)收益率法。主要是采用金融期權(quán)求波動率的方法，通過相關(guān)股票價格數(shù)據(jù)估算得到。即利用具有相同或類似項目的上市公司的歷史數(shù)據(jù)來近似得到評估標(biāo)的物價值的標(biāo)準(zhǔn)差。由于證券市場數(shù)據(jù)較為容易獲得，此方法在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用較為廣泛。但這種計算方法存在一個重要問題，即是相關(guān)股票的價格運(yùn)動規(guī)律能否代表標(biāo)的物價格的運(yùn)動規(guī)律，即相關(guān)股票價格波動與其標(biāo)的資產(chǎn)本身的價值波動的相關(guān)性問題。更重要的是，期權(quán)模型的波動率是指期權(quán)價格變化的波動率，而非對應(yīng)資產(chǎn)價格的波動率。除了利用證券市場數(shù)據(jù)之外，還有學(xué)者提出采用相關(guān)產(chǎn)品價格變化來估算波動率。

2. 專家估算法，又稱Delphi法。Delphi法是對不確定性問題求解的一種重要方法，也是估算波動率的重要方法，其主要思路是依據(jù)專家對標(biāo)的物的認(rèn)識給出波動率的大小，然后取中間值或者加權(quán)平均值作為波動率。該方法較為方便，但主觀性較大，受專家專業(yè)能力和判斷態(tài)度的影響較大。

3. Monte Carlo模擬法。Monte Carlo一般被稱為概率統(tǒng)計技術(shù)，Monte Carlo模擬是一種通過設(shè)定隨機(jī)過程，反復(fù)生成時間序列，計算參數(shù)估計量和統(tǒng)計量，進(jìn)而研究其分布特征的方法。該方法首先根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)預(yù)期的現(xiàn)金流量表，分析影響標(biāo)的資產(chǎn)價值的各個不確定性因素，再根據(jù)各個不確定性因素的概率分布，用Monte Carlo模擬得到標(biāo)的資產(chǎn)在不同情景下的凈現(xiàn)值，最后計算其波動率。隨著計算機(jī)技術(shù)的普遍應(yīng)用，Monte Carlo模擬法在一些無形資產(chǎn)評估方面的使用頻率越來越高。

三、敏感性分析

實(shí)物期權(quán)價值評估較為復(fù)雜，為確保評估結(jié)果的合理性，有必要對評估結(jié)果進(jìn)行合理性檢驗，防止出現(xiàn)方向性的錯誤。敏感性分析可以判斷參數(shù)取值對期權(quán)價值的關(guān)系，是合理性判斷的重要工具。以買方期權(quán)為例，對公式（1）進(jìn)行關(guān)于波動率σ的偏導(dǎo)數(shù)，得出：

同理可得，這說明波動率σ與買方期權(quán)價值C和賣方期權(quán)價值P都是正相關(guān)的，即在其他因素不變的情況下，波動率σ越大，期權(quán)價值越高，反之亦然，這也反映了因為不確定性而存在的期權(quán)價值所在。進(jìn)一步分析，由公式（5）知，波動率對期權(quán)價值的影響是非線性的，具有復(fù)雜性。如果值越大，則期權(quán)價值對于波動率很小的變化就會很敏感，反之，如果值很小，則波動率的變化不會對期權(quán)價值產(chǎn)生太大影響。

下面以買方期權(quán)為例，數(shù)值模擬說明這一點(diǎn)，各參數(shù)取值分別為S=1000，X=800，T=6 ，r=0.02，σ的取值空間為[0.1, 3]，步長取0.01，由MATLAB軟件編程計算得到結(jié)果，見圖1和圖2。其中，圖1反映了波動率σ與參數(shù)d1及的非線性關(guān)系；圖2的左邊反映了波動率σ與期權(quán)價值C的變化是同向的，波動率σ越大，期權(quán)價值C越大，圖的右邊則刻畫了其波動率變化與期權(quán)價值C變化的關(guān)系，反映了波動率處在某一刻（σ=0.36）時，期權(quán)價值C的變化幅度最大（Diff(C)=6.4569），而當(dāng)波動率值很小或者較大時，其在取值附近波動則對期權(quán)價值影響較小。因此，在對期權(quán)價值進(jìn)行評估時，需要把握好這些規(guī)律，在敏感區(qū)域需要做適當(dāng)?shù)拿舾行苑治觯η笫乖u估結(jié)果更加合理可靠。

圖1 波動率σ與參數(shù)d1及的關(guān)系

圖2 波動率σ與期權(quán)價值C之間的關(guān)系

四、結(jié)論

由上述分析可知，實(shí)物期權(quán)評估中的參數(shù)取值有較大的不確定性，如何正確認(rèn)識這些不確定因素對實(shí)物期權(quán)價值評估非常重要。筆者闡述了B-S實(shí)物期權(quán)評估模型中波動率的特點(diǎn)及其計算方法，并對其取值敏感性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)了波動率取值對期權(quán)價值的影響規(guī)律，希望對實(shí)物期權(quán)評估提供一些借鑒。

[1]張志強(qiáng).期權(quán)理論與公司理財[M].華夏出版社,2001.

[2]彭若弘.實(shí)物期權(quán)波動率及價值對電信投資的影響研究[D].北京郵電大學(xué),2011.

[3]李明順,陳濤,藤敏.交通基礎(chǔ)設(shè)施PPP項目實(shí)物期權(quán)定價及敏感性分析[J].系統(tǒng)工程,2011,29(3):67-73.

[4]Miller L T, Park C S. Decision making under uncertainty-Real options to the rescue [J]. The Engineering Economist, 2002,47(2):105-150.

[5]Razgaitis R. Dealmaking using Monte Carlo and real options analysis[M]. Wiley, 2004.