帶有時變時滯的非線性系統的指數穩定

楊鳳偉，董亞麗

（天津工業大學理學院，天津 300387）

帶有時變時滯的非線性系統的指數穩定

楊鳳偉，董亞麗

（天津工業大學理學院，天津 300387）

研究一類帶有時變時滯的非線性系統的指數穩定性問題.通過構造適當的Lyapunov-Krasovskii泛函，并結合使用Newton-Leibniz公式和自由權方法，對這類系統建立了以線性矩陣不等式表達的依時滯的指數穩定的新的充分條件；對于帶有常時滯的一類非線性系統，給出了系統指數穩定的判據，并以數值例說明所獲結果的有效性.

非線性系統；指數穩定；時變時滯；Lyapunov-Krasovskii泛函；線性矩陣不等式（LMI）

時滯經常出現在人口模型、化學過程、生物及經濟系統等眾多實際系統中.眾所周知時滯的存在常引起系統的不穩定和差的性能，因此對時滯系統穩定性的研究引起了研究者的關注，并成為重要的研究主題[1-7].近年來，人們對于帶有時變時滯的線性系統的指數穩定性已經作了深入的研究，并獲得了一些指數穩定性判據[1-4].然而，對于帶有時變時滯的非線性系統的指數穩定性研究卻很少.本文研究一類帶有時變時滯的非線性系統的指數穩定性問題.首先通過構造適當的Lyapunov-Krasovskii泛函，結合使用Newton-Leibniz公式和自由權方法，獲得了該類系統指數穩定的充分條件.然后針對帶有常數時滯的非線性系統進行了研究，并給出了這類系統指數穩定的充分條件.

1 問題描述及預備知識

本文的符號說明如下：R+表示所有非負實數的全體；Rn表示n維向量空間，且有向量內積xTy及向量范數||·||；Rn×r表示所有以n×r維矩陣構成的空間；AT表示矩陣A的轉置；I表示單位矩陣；λmax（·）和λmin（·）分別表示給定方陣的最大和最小特征值；A＞0表示A是正定的，A＞B表示A-B＞0.

考慮如下帶有時變時滯的非線性系統

式中：x（t）∈Rn是狀態；A，D∈Rn×n；初值φ（t）是定義在［-h1，0］上的連續可微函數，且有范數||φ||=

定義1[8]給定α＞0.系統（1）的零解稱為是α指數穩定的，如果存在正數N＞0使得對任意解x（t，φ）有

引理1[9]對于任意正定對稱矩陣M∈Rn×n，標量γ＞0和向量函數ω∶[0，γ]→Rn使得所論積分有定義，則下述不等式

2 主要結果

定理1給定α＞0.系統（1）的零解是α指數穩定的，如果存在正定對稱陣P、R（ii=1，2，3，4）以及矩陣W（ii=1，2，3，4，5）和正數η＞0，使得下述LMI成立：

定理2給定α＞0.系統（12）的零解是α指數穩定的，如果存在正定對稱陣P（i=1，2）以及矩陣，（i=1，2）和正數η＞0，使得下述LMI成立:

通過類似于定理1的證明可得系統（12）的零解是α指數穩定的.

3 數值例

考慮如下帶有常數時滯的非線性系統[10]

極易驗證非線性函數f（t，x（t），x（t-h1））滿足（2）式且

對α取不同的值，應用定理2，表1給出關于α時滯h1允許的上界.將本文結果與文獻[10-12]的結果進行了比較.

表1 時滯允許的上界Tab.1 Allowable upper bound of delay h1

由表1可以看出，本文結果比文獻[10-12]的結果具有更弱的保守性.

4 結束語

本文研究一類帶有時變時滯的非線性系統的指數穩定性問題.通過構造適當的Lyapunov-Krasovskii泛函，并結合使用Newton-Leibniz公式和自由權技術，獲得了系統指數穩定的新的充分條件，該條件以線性矩陣不等式表達.然后，對于帶有常時滯的一類非線性系統，建立了系統指數穩定的新的充分條件.并給出數值例，與相關文獻結果作對比，驗證了本文所獲結果的有效性.

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Exponential stability of nonlinear systems with time-varying delays

YANG Feng-wei，DONG Ya-li
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The problem of exponential stability of a class of nonlinear systems with time-varying delays is investigated.By constructing the appropriate Lyapunov-Krasovskii functional and combined with Newton-Leibniz formula and free weighting matrix method，a new delay-dependent exponential stability sufficient condition for the class of systems is established in terms of linear matrix inequality（LMI）.Then，the exponential stability criterion for a class of nonlinear systems with constant delay is presented.Finally，a numerical example is provided to illustrate the effectiveness of the results obtained.

nonlinear system；exponential stability；time-varying delay；Lyapunov-Krasovskii functional；linear matrix inequality（LMI）

O17

A

1671-024X（2013）04-0085-04

2012-10-19

天津市自然科學基金資助項目（11JCYBJC06800）

楊鳳偉（1989—），男，碩士研究生

董亞麗（1963—），女，博士，教授，碩士生導師.E-mail：dongyl@vip.sina.com