高職微積分概念教學方法淺析

張 穎孫旭春

（1.山東水利職業學院山東日照276826；2.曲阜師范大學日照校區山東日照276826)

高職微積分概念教學方法淺析

張 穎1孫旭春2

（1.山東水利職業學院山東日照276826；2.曲阜師范大學日照校區山東日照276826)

微積分概念的掌握對高職學生后續數學知識和相關專業課程的理解起著重要作用。對如何做好微積分概念的教學進行了不同教學方法的探討，旨在提高學生的學習興趣，加強概念的理解。

高職；微積分概念；教學方法

微積分是高職院校公共基礎課《高等數學》的核心內容之一，是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。在微積分的學習中概念是學生認知的基礎，是掌握基本理論和運用基本方法解決實際問題的關鍵。然而高職學生的數學基礎薄弱、抽象思維能力差、學習積極性不高等特點成為了理解抽象數學概念的障礙。筆者根據高職生學習的特點，在微積分主要概念的教學中運用了不同的教學方法。

案例導入復習函數概念

函數是微積分研究的主要對象。這個概念學生在中學數學學習時已經非常熟悉，若依然按照傳統的定義介紹，學生必然沒有積極性。為了提高學生的學習興趣，并讓學生看到數學在各領域中的廣泛應用，函數的回顧復習中采用案例教學法。案例教學法是指在教師的指導下，根據教學目標和內容的需要，采用案例來組織學生進行學習、分析、研究，以提高能力的方法。

案例1:灌溉渠道問題

農田灌溉中渠道的橫斷面一般為等腰梯形，已知渠坡長l=3m，傾斜角α=45°，渠底寬b=2m，如圖1所示。ABCD叫做過水斷面（即垂至于水流的斷面），X=AB+BC+CD叫做濕周。試建立梯形渠道過水斷面面積A、濕周X分別與水深h的函數關系式，并指出其定義域。

案例2:出租車費問題

圖1 農田灌溉渠道的橫斷面示意圖

早5∶00～晚10∶59，起步價為7元（3km以內），超出（含）3～15km以內的千米數每千米按1.2元計費，超出（含）15km以外的千米數（每千米加收50%空駛費）按1.8元計費，每客運車次加收1元燃油附加稅。

晚11∶00～早4∶59，起步價為7元（3km以內）其他計費方式同上，但每千米另加收20%的夜間費用（不含起步價7元），每客運車次加收1元燃油附加稅。按此標準，求出租車費與行駛公里數之間的函數關系。

兩個案例分別選取了高職生的相關專業和日常生活中的常見問題。利用函數知識加以解決，使學生既掌握了函數概念，又培養了學生解決專業問題和生活中數學的思維習慣及能力，讓學生充分認識到數學知識來源于實際又是解決實際問題的基本工具。

幾何直觀理解極限定義

微積分的學習中，極限方法貫穿始終，微積分基本問題的解決及主要概念的建立都依賴于此。對高職極限的教學，以必需、夠用為度的原則，掌握函數極限的描述性定義，一些簡單的初等函數的極限能做到“看圖說話”即可，教學方法上采取幾何直觀教學法。幾何直觀教學法借助見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知，培養學生的數學直覺，達到理解概念的目的。

圖2～圖4為x→∞時函數的極限討論示意圖。

圖2

圖3

圖4

圖5～圖9為x→x0時函數極限的討論示意圖。

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

借助函數圖像引導學生觀察分析函數的極限，可以更為形象和直觀地理解函數極限的定義，符合高職學生的認知過程，教學效果明顯。直觀教學法對高職學生觀察能力的培養，學習興趣與學習能力的提高，數學學習信心的增強起著重要作用。

探究發現函數連續性質

函數的連續性是在學生學習了函數、極限的概念、性質以及計算的基礎上，對函數性質的進一步討論。對高職學生的要求不應太高，主要是要求學生正確理解函數在一點連續的定義，從而能討論初等函數、分段函數的連續性。教學中采用發現式教學法。

先引導學生分析“連續”一詞的中文含義，在對連續感性認識的基礎上，借助給定的幾何圖形啟發學生考慮函數的連續性，并利用剛學習過的極限工具觀察討論。

圖10～圖14為介紹函數連續性定義所用引例圖。

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

討論問題:

1.哪些函數圖像在x0點斷開？

2.在x0點斷開的表現是什么？

3.斷開的函數圖像在x0點的極限情況是什么？

4.對比在x0點斷開和連續的函數圖像，極限又有什么不同？

5.綜合以上問題要保證函數圖像在x0點連續，在x0點的極限有什么要求？

在層層深入的問題的啟發下，引導學生自主探究，發表自己的觀點并不斷相互補充。最后教師就討論結果作一定總結，高職學生即可比較輕松的歸納出函數在點連續的定義式:

發現式教學結合問題展開，在教師的啟發下從學生已經掌握的極限知識入手，由淺入深循序漸進展開發現連續的定義，使每個學生都參與到過程中，經過個人的思索和努力獲得收獲，如同自己發現了知識一樣。這些知識在探索中被發現，提高了學生探索的技巧、解決問題的能力，發現學習的結果，也更有利于學生記憶的保持。

數形結合展現微分思想

高職微積分教材中微分的內容普遍較少，但微分“以直代曲”或者“微元法”的思想不但貫穿微積分始終，更在高職生眾多的專業學習中應用廣泛。由于微分的計算與導數密切相連，使得許多學生對微分的認識很模糊，僅僅停留在微分計算的表面，更談不上理解微分的思想。教學中為了加深微元思想，強調應用性，在概念的引入上采用數形結合法。借助圖形，把函數的微分直接描述為“當自變量發生微小變化時，函數的圖形中相應點處切線上的縱坐標的增量”。

圖15 微分定義的幾何直觀圖

圖15直觀地告訴學生，當Δx很小時，曲線y=f（x）在自變量由x變到x+Δx時所對應的因變量y的改變量Δy，可近似看作dy=f'（x）Δx，其依據是“以直線代替曲線”，即自變量變化很小時，函數y的相應曲線段P0P可近似看作是相應點處所對應的切線線段P0T。若曲線y=f（x）變成直線y=x，其中任一點的切線仍是直線y=x，故其切線上的增量dy=dx=x'·Δx=Δx，也就是dx=Δx，從而又得到微分是導數和自變量的微分的乘積dy=f'（x）dx。

通過數形結合，給微分概念賦予圖形信息，使學生對概念不僅僅流于表面公式的理解、記憶，更重要的是加深了對微分“以直代曲”的本質認識，對后繼定積分內容及相關的專業學習打好基礎，也體現了高職教學的時效性原則，學生可接受程度高一些。

多媒體演示豐富定積分教學

定積分概念是微積分教學中的一個重點，同時也是一個難點。概念抽象、內容多、信息量大、圖表復雜，常規教學中需要在黑板上進行大量的文字書寫和簡易的圖形演示，既費時費力，又不宜激發高職學生的學習興趣，教學效果不好。利用多媒體教學可在課前將大部分的教學內容事先精心設計并制作于課件之中，配以動態圖形，將文字、圖片、聲音、色彩、動畫充分結合，給學生留下深刻印象。

例如求曲邊梯形面積時的“分割、取近似、求和、取極限”這四個過程，可以借助動畫，讓學生清楚地看到每增加若干個點，小矩形的面積和就與曲線下的曲邊梯形面積越來越接近，為學生理解以直代曲的思想提供了直觀印象，明確曲邊梯形面積通過極限如何達到無限細分、無限求和的過程。這就使定積分這個生疏的名詞、抽象的符號變得具體而又生動。教育心理學家研究指出:多種感官并用時學習效率最高，視聽并用的理解記憶率遠遠大于只看、只聽的記憶率。多媒體教學給學生以視覺、聽覺上的多重認識，學習內容記憶深刻。

總之，微積分概念的教學方法有很多，教師要根據高職生學習的特點，創立一套符合實際的教學方法，以激發高職生學習微積分概念的興趣，提高教學質量。

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[5]程友元.高職數學微分教學新方案的探討[J].黃岡師范學院學報，2006（8).

湖北職業教育發展研究院在湖北工業大學成立

湖北職業教育發展研究院日前在湖北工業大學掛牌成立，研究院第一屆學術委員會第一次會議同時舉行。

據該研究院院長李夢卿介紹，研究院將根據國家和湖北省職業教育改革發展的現實需要，瞄準職業教育學術前沿和重大理論與現實問題，積極開展調研與理論創新研究，尋找解決問題的對策，努力使研究院成為湖北省職業教育科學發展的助推器，成為服務經濟社會發展和職業教育研究領域的“思想庫”、“信息庫”、“人才庫”。研究院聘請了石偉平等13位國內職業教育領域專家組成學術委員會，負責研究院學術研究的重大決策。

《中國教育報》

G712

A

1672-5727（2013）09-0112-03

張穎（1981—)，女，山東濰坊人，碩士，山東水利職業學院講師，研究方向為高等數學教學、隨機過程。

孫旭春（1978—)，男，山東萊州人，碩士，曲阜師范大學輔導員，研究方向為大學生思想政治教育。