平面度誤差的遍歷搜索算法

涂鮮萍，李 飛，雷賢卿，王海洋，崔靜偉

(河南科技大學機電工程學院，河南洛陽471003)

0 引言

平面是構成機械零件的重要幾何要素之一，常作為機械零件檢測和使用的基準。平面度誤差是包容實際平面或實際平面任何一個指定范圍，且距離為最小的兩理想平行平面之間的距離。平面度誤差的大小對機械產品的質量和使用壽命有著至關重要的作用，因此，對平面度誤差進行快速、精確的評定具有重要的實際意義。

平面度誤差評定的主要方法有最小二乘法、對角線平面法、三遠點平面法和最小區域法等，其中，最小區域法評定平面度誤差的結果最接近理想誤差值，且符合國家標準。目前，關于平面度誤差的最小區域評定算法還沒有國家標準，不同廠家生產的同一類型的測量儀器得出的誤差評定結果也有差異，有時還會出現較大的差別，亦即現有的評定算法不能滿足新型測量設備對計算軟件的要求［1］。國內外許多學者對平面度誤差評定的算法進行了大量的研究，比較有代表性的算法有:蜂群算法［2］、遺傳算法［3－4］、粒子群算法［5］、增量算法［6］、測點分類法［7］、區域搜索法［8］、計算幾何法［9－10］和凸包法［11］等，這些成果都有一定的實用價值，對平面度誤差評定算法的研究起到了積極的推動作用，但這些優化算法較難被實際操作人員所掌握，因此，研究一種簡單直觀、易于被廣大質檢計量人員掌握的平面度評定算法是十分必要的。

本文結合幾何形狀誤差的定義及平面度誤差的幾何特征，提出了一種新的平面度誤差評定算法——遍歷搜索算法，可以實現平面度誤差的快速準確評定。

1 遍歷搜索算法的原理

首先，在被測平面的測量數據中選取3 個相距較遠測量點為參考點，以3 個參考點為基準，在測量平面垂直的方向上上下等距擴展長度為f/2 的區域。將擴展后的區域f 做n 等分，構造出(n +1)個輔助點;根據3 點確定一個平面的原理，3 個擴展區域上的等分點依次連接，則可構造出(n+1)3個輔助平面。依次以輔助平面作為被測平面的假定理想平面，計算所有測量點與假設理想平面之間的距離的極差，可以得到(n+1)3個極差值;根據平面度誤差的定義可知，極差值中的最小者就是被測平面的最小區域平面度誤差。

2 平面度誤差遍歷搜索算法的步驟

設被測平面上的測量點坐標為Pi(xi，yi，zi)，(i=1，2，…，N)。

2.1 構造輔助點

為確保平面度誤差評定的準確性，一般選取被測平面上的邊緣點作為參考點來構造輔助點。

設Pa(xa，ya，za)、Pb(xb，yb，zb)和Pc(xc，yc，zc)是被測平面上的3 個邊緣點(見圖1)。分別以點Pa、Pb和Pc為參考點，在平行于Z 軸(垂直于被測平面)方向上上下等距擴展長度為f/2 的區域(f 的值取最小二乘平面度誤差值或依據加工精度估計)，然后將擴展區域n 等分，可以得到(n + 1)個等分點，從而得到了輔助點Pk(xa，ya，zk)(k = 1，2，…，n)、Pm(xb，yb，zm)(m = 1，2，…，n)和Pt(xc，yc，zt)(t = 1，2，…，n)。所構造輔助點的Zk、Zm、Zt的坐標值計算由式(1)確定。

圖1 平面度誤差遍歷搜索評定原理

2.2 構造假定理想平面

由3 點可以確定一個平面原理可知:所構造的輔助點Pk(xa，ya，zk)、Pm(xb，yb，zm)和Pt(xc，yc，zt)的組合可構成(n +1)3個假設理想平面。假設理想平面方程通式為Ax +By +Cz +D = 0，通過線性方程組可以得到(n +1)3個平面方程的系數Akmt、Bkmt、Ckmt和Dkmt:

其中，k，m，t=1，2，…，n。

2.3 計算所有測量點與假設理想平面之間的距離極差值

利用式(3)計算所有測量點Pi(xi，yi，zi)與每一個假設理想平面之間的距離，并計算出所有測量點與每一個假設理想平面之間的距離的極差值。有(n +1)3個假設的理想平面，就可以得到(n +1)3個距離極差值。根據平面度誤差的定義可以知道，(n +1)3個距離的極差值中的最小者就是最小區域平面度誤差，用F 表示。

3 實例驗證

測量數據來源于文獻［11］，通過本文所提算法與其他算法對同一組數據處理結果的比較，驗證平面度遍歷搜索算法的正確性。

文獻［1－2，10］對文獻［11］中的測量數據(見表1)進行了處理，其評定結果如表2 所示。

采用本算法時，擴展區域取f=0.15 mm(f 的值依據文獻［1］中的最小二乘平面度誤差值來選取)，初始參考點的選取分兩種情況:一種取被測平面的邊緣點P1(0.2，0.2，－0.064 50)、P15(0.6，1.0，－0.019 97)、P25(1.0，1.0，－0.021 21);另一種取邊緣點P1(0.2，0.2，－0.064 50)、P21(1.0，0.2，0.057 73)、P25(1.0，1.0，－0.021 21)。在擴展區域上等分點數不同的情況下，算法的評定結果分別如表3 和表4 所示。

表1 測量數據

表2 不同算法的處理結果

表3 初始參考點為P1、P15、P25時的計算結果

表4 初始參考點為P1、P21、P25時的計算結果

對比表2、表3 和表4 可以看出:對同一組數據，本文提出的平面度誤差遍歷算法結果與其他文獻的計算結果相一致。

從表3 和表4 可以看出:初始點及擴展區域確定后，區域的等分點數越多，算法得到的誤差值越小，但當等分點數達到一定程度后，有局部的反差(如表3 中等分點數20 和30，40 與50，60 與70 以及表4中等分點數80 與90)，是由于等分方法不同、等分點不重合導致評定結果的局部發散，但隨著等分點數的增加，得到的誤差值越來越小的規律不會改變。

為使算法更具實用性，作者做了大量的試驗，如在參考點不同、擴展區域不同、等分點數不同的情況下評定結果的比對等，表明在應用該算法時，擴展區域過大，需增加等分點數導致計算量增加，擴展區域過小會錯失最優輔助平面而導致評定不準確。一般情況下，擴展區域取最小二乘平面度誤差值或者與之相近的數值，等分點之間的距離(區域除以等分點數)取5 μm 左右，即可實現被測平面的納米級評定。

4 結束語

結合平面度誤差的幾何特性，研究了平面度誤差的遍歷算法。該算法不要求測樣點均勻選取，其原理簡單，易于編程。實例驗證表明:該算法具有較好的穩定性和準確性，為平面度誤差的精確評定提供了一種新的評定方法。

［1］ 溫秀蘭，趙茜.基于進化策略的平面度誤差評定［J］.儀器儀表學報，2007，28(5):832－836.

［2］ 羅均，王強，付麗，等.改進蜂群算法在平面度誤差評定中的應用［J］.光學精密工程，2012，20(2):422－430.

［3］ 溫秀蘭，宋愛國.基于實數編碼的改進遺傳算法在平面度誤差評定中的應用［J］.計量學報，2003，24(2):88－91.

［4］ 崔長彩，車仁生，羅小川，等.基于實數編碼遺傳算法的平面度誤差評定［J］.光學精密工程，2002，10(1):36－40.

［5］ 崔長彩，張耕培，傅師偉，等.利用粒子群優化算法的平面度誤差評定［J］.華僑大學學報，2008，29(4):507－509.

［6］ 岳武陵，吳勇.平面度和直線度誤差的快速評定—增量算法［J］.計量學報，2008，29(2):120－123.

［7］ 岳武陵，吳勇，蘇俊.平面度誤差的快速評定法—測點分類法［J］.計量學報，2007，28(1):29－33.

［8］ 田樹耀，黃富貴，張彬.一種基于區域搜索的平面度誤差評定算法［J］.華僑大學學報，2009，30(5):506－508.

［9］ Wen X L，Zhu X C，Zhao Y B.Flatness Error Evaluation and Verification Based on New Generation Geometrical Product Specification［J］.Precision Engineering，2012，36(1):70－76.

［10］ Samuel G L，Shunmugan M S. Evaluation of Straightness and Flatness Error Using Computional Geometric Techniques［J］.Computer-Aided Design，1999，31(3):829－843.

［11］ Traband M T，Joshi S，Wysk R A，et al.Evaluation of Straightness and Flatness Tolerances Using the Minimum Zone［J］.Manufacturing Review，1989，2(3):189－95.