黃土力學參數的相關性對生土窯居可靠度的影響

郭平功，童麗萍

(1.鄭州大學土木工程學院，河南鄭州450001;2.河南城建學院土木工程系，河南平頂山467036)

0 引言

生土窯居是指在原始土中經人工挖鑿而形成的穴居居住形式，其支撐體系完全由挖鑿成型的純原狀土拱體系作為窯居的自支撐結構，沒有棟梁支撐，也沒有其他支護，但卻能夠居而不衰、屹立百年甚至數百年而不坍塌。即使在地震多發區(中國在役窯居大多分布于地震多發地帶，45%的窯居區地震烈度在7 度以上)，建造年代百年以上的窯居也很普遍，這充分說明了生土窯居存在之合理、構筑之巧妙，蘊涵著結構和力學奧秘。為全面探討生土窯居民居的結構性能，充分挖掘生土窯居存在合理性、科學性，對在役生土窯居的可靠度進行分析是非常有效的方法，研究成果將為該類居住結構的安全性評價和壽命估計提供依據。這正是本文的研究意義。

民間在營造生土窯居時，為保證可靠性，十分注意選址。通常選擇穩定性較高的離石黃土層，避開黃土的節理面，土層應干燥，排水條件好［1］。其實選址是為了保證黃土材料的強度。黃土的強度由黏聚力c 和內摩擦角φ 提供，兩者具有負相關性，通常認為其相關因數的范圍為－0.3 ～－0.7［2］。本文討論c 和φ 的相關性對生土窯居可靠度的影響。

對于含有相關隨機變量的結構可靠度問題，早期的一些研究采用正交變換的方法，首先，將相關的隨機變量變換為不相關的隨機變量，然后用JC 法進行計算。從原理上講，這種方法是正確的，但計算過于繁瑣，特別是需要求矩陣的特征值，不便于應用。近年的一些研究則直接在廣義空間(仿射坐標系)內建立求解可靠指標的迭代公式，不需要過多的準備工作，應用簡單，是對現有可靠度計算方法的推廣［3－4］。

可靠度的計算方法有響應面法、一次二階矩法、蒙特卡羅法等，生土窯居的功能函數是未知的，適合用響應面法［5］來求解可靠度。響應面法的關鍵是確定結構的極限狀態，本文結合有限元強度折減法［6］，提出“富裕安全因數”(FE)作為生土窯居承載能力極限狀態的判別標準。

1 基于有限元強度折減法的FE

1.1 有限元模型

生土窯居的幾何參數主要包括窯跨、窯腿寬度、側墻等，如圖1 所示，圖1 中A 點為中間窯室的頂點。在營造的過程中，根據窯室使用功能、重要性的不同，窯室分為主窯、角窯、側窯等，主要的窯跨較大、高度較高，使用空間更大。課題組在河南三門峽陜縣進行了實地測量、試驗，建立了生土窯居幾何參數、黃土力學參數的數據庫，其平均值分布如表1、表2 所示。

圖1 生土窯居各部位示意圖

表1 生土窯居幾何參數平均值

表2 黃土力學參數平均值

由文獻［7］可知:特征點A 點的豎向位移在按二維和三維分析時很接近，生土窯居可按二維問題研究。為簡化問題，窯室幾何參數均取平均值，如圖1 所示。在建立有限元模型的過程中，需考慮生土窯居的營造過程的獨特性，它是在黃土塬或黃土崖上經掏鑿而成，并且各窯室的開挖不是同步的。首先，建立窯室未開挖時的有限元模型，只需把有限元模型取得足夠大，以忽略邊界條件的影響;為減少計算時間，在模型的右邊加上對稱約束，即只建立對稱的一半模型，如圖2a 所示，施加重力荷載并平衡初始地應力。然后，開挖中間的窯室，如圖2b 所示。最后，開挖兩側的窯室，如圖2c 所示。生土窯居中的地坑窯頂面經常有車輛行駛或停留，偏于安全，本文生土窯居的有限元模型均考慮該部分荷載，窯室開挖完成后，在地面施加均布荷載4 kN/m2×1.4 =5.6 kN/m2，其中，1.4 為可變荷載分項因數，標準值取4 kN/m2是參考荷載規范中樓面作為汽車通道及停車庫的荷載取值。靠近窯室的部分網格劃分的較密，離得越遠網格劃分越粗。模型底部固定豎向約束，左側固定水平約束，右側為對稱約束。

本文主要考慮黃土的黏聚力和內摩擦角的相關性的對生土窯居可靠度影響，有限元模型根據計算要求需重復建立多輪。有限元模型的幾何尺寸在每輪計算中不需改變，但需改變力學參數。黏聚力c和內摩擦角φ 均為正態隨機變量，其標準差分別為5.18 kPa 和2.81°。

圖2 有限元分析模型

1.2 基于強度折減法的FE

作為生土窯居承載能力極限狀態的判別標準，FE等同于生土窯居的功能函數值，應滿足下式:

本文偏于安全地規定“富裕安全因數”與安全因數(以FS表示)關系為:

安全因數為結構或構件的抗破壞強度與設計荷載效應組合的比值，目前，并沒有相關的規程或規范對生土窯居的安全因數進行定義。求生土窯居的安全因數是對其穩定性進行分析，穩定性分析是巖土工程中的重要研究領域，有限元強度折減法是研究該問題的有力工具。對于生土窯居的安全因數，實質是黃土的強度儲備安全因數。由摩爾－庫倫理論，土的抗剪強度由黏聚力和內摩擦角提供，強度折減法即對黏聚力和內摩擦角進行折減，如式(1)所示。

其中，F 為強度折減因數;c、φ 和c'、φ'分別為折減前后的黏聚力和內摩擦角;結構處于承載能力極限狀態時，黃土的抗剪強度發揮到最大，此時的折減因數即為安全因數FS［8］。

對于圖2 的有限元模型，選取主窯拱圈的中點作為特征點［7］(點A)，當土體的力學參數均取表2 所示的平均值時，特征點豎向位移與F 的關系如表3 所示，位移以向下為正。強度折減因數F 從1.00 逐漸增大，最初每次增大0.10，當豎向位移較大、有可能接近極限狀態時，F 每次增大0.01;F 由1.58 增大為1.59 時，向下位移由48 mm 增大為98 mm，發生突變，說明F 為1.58 時窯居處于極限狀態，安全因數FS為1.58，FE為0.48。

2 廣義隨機空間中的響應面法

表3 折減因數與特征點豎向位移關系表

2.1 廣義隨機空間

隨機變量的相關性對結構的可靠度有著明顯的影響，通常將相關的隨機變量轉化為獨立的隨機變量，如Rosenblatt 變換、正交變換等，但轉換過程繁瑣，本文直接在廣義隨機空間內建立可靠指標的迭代公式。廣義隨機空間和直角坐標系隨機變量空間不同之處是，前者坐標軸間的夾角不是直角，而是由隨機變量的相關系數確定。求可靠指標與驗算點的方法仍采用改進的一次二階矩法，只需把相關的公式做改變即可。

2.2 響應面方法

生土窯居的功能函數是隱式的，需用響應面函數代表真實的功能函數，然后用改進的一次二階矩法求其可靠指標與驗算點，響應面函數的輸入為隨機變量c 和φ，輸出為FE。通常采用不含交叉項的二次多項式作為響應面函數，該函數具有較高的精度、較少的計算量。分別用X1、X2表示隨機變量c、φ 時，響應面函數的形式如式(4)所示。

式中，a、b1、b2、c1、c2為待定系數。響應面方法是一種迭代方法，不是求一次響應面函數就可以得到可靠指標與驗算點，需經過多輪有限元計算、建立一系列的響應面函數;每輪有限元計算、建立響應面函數后，使用改進的一次二階矩法求出該輪的驗算點與可靠指標，以得到的驗算點為基礎，利用式(5)求得下一輪有限元計算的試驗中心點。

式中，x(k)、x(k-1)表示第k、k -1 輪的試驗中心點;x*(k-1)為第k -1 輪所得出的驗算點;第1 輪的試驗中心點選為c、φ 的平均值。當前后兩輪所得驗算點的模滿足式(6)時，不再進行有限元計算。

3 生土窯居的可靠度

按照前述方法建立廣義空間中的響應面方程，根據式(7)、式(8)和式(9)編制Matlab 程序，求得第k 輪可靠指標β(k)和驗算點x*(k)，計算收斂后的可靠指標以β 表示。以c 和φ 的相關系數ρc，φ為－0.3 為例，列出其可靠指標與驗算點的求解過程，如表4 所示。文后附第1 輪計算時的Matlab 代碼。

由表4 可知:經第1 輪計算，所得驗算點為(26.192 6，32.402 2)，對應的富裕安全因數FE為0.02，已接近生土窯居的承載能力極限狀態，說明在廣義隨機空間中，不含交叉項的二次多項式響應面非常準確和高效。用式(5)線性插值得第2 輪計算的中心點(26.109 7，31.558 8)，對應的富裕安全因數FE為0，說明經線性插值后，所得試驗點更接近驗算點。經兩輪計算后，已滿足式(6)的要求，不再繼續計算。可得c 和φ 的相關系數為－0.3 時，生土窯居的可靠指標為4.375 5，驗算點為(26.401 1，31.325 7)。

相關系數ρc，φ分別為－0.7、－0.5、－0.3 和0(即c 和φ 相互獨立)時，其可靠指標β、驗算點如表5所示。由表5 可知:c 和φ 的負相關程度越大，可靠指標越高。當不考慮兩者間的負相關性時，所得可靠指標是保守的。

表4 可靠指標與驗算點的求解

當c 和φ 的相關系數不同時，驗算點也是不同的，如表5 所示。把表5 中的4 個驗算點代入有限元模型中，其對應的FE均為0，說明4 個驗算點均正確，生土窯居在不同的γ(φ，c)時均可能處于承載能力極限狀態。ρc，φ為－0.7時，驗算點與均值點的距離比ρc，φ為其他值時遠，驗證了負的相關性越大，可靠指標越高的規律。

表5 相關系數對可靠指標與驗算點的影響

4 結論

本文提出FE作為生土窯居承載能力極限狀態的標準，在廣義隨機空間中使用響應面法，分析了黃土的黏聚力和內摩擦角的負相關性對生土窯居可靠度的影響。所得結論如下:

(1)基于強度折減法的FE，從整體上描述了生土窯居的安全性，可認為生土窯居是一構件，避免了把生土窯居這一復雜系統劃分為串聯、并聯構件的問題，使求其隨機可靠度這一問題變為可能。

(2)即使不考慮黃土力學參數的負相關性，河南三門峽陜縣的生土窯居的可靠指標也很高，該區域的黃土是營造生土窯居的天然有利條件。

(3)不考慮黃土力學參數間的負相關性時，所得可靠指標是保守的。

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