一類高階方程的性質(zhì)

李文娟

（赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

一類高階方程的性質(zhì)

李文娟

（赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

主要研究了一類具有偏差變元的高階方程的解的有界性與漸近性.并對兩類積分不等式做了研究.關鍵詞：有界性；積分不等式；漸近性

1 引言

x(s),x'(s))ds]的解的漸近性.文[2]研究了Ln(t,x)=f[t,x,x',…,x(n-1),ds]的解的漸近性.文[3]研究了(r(t)x')'+f[t,x的解的有界性.

本文將推廣一類Bihari不等式利用推廣的Bihari不等式研究系統(tǒng)

Ln(t,x)=f[t,x(t),x'(t),…,x(n-1)(t),x(φ(t)),x'(φ(t))s,x(φ(s)),…,x(n-1)(φ(s)))ds(1)

本文假設方程（1）滿足初值問題的解是局部存在的.

2 積分不等式

引理1[4]設

10u(t),a(t)是I=[a,∞)→R+[0,∞)(a≥0)連續(xù)函數(shù)；

20fi(t,s)(i=1,2,…,m)是I×I→R+連續(xù)函數(shù)，且對固定的s關于t單調(diào)不減；

30如果

引理2設

10u(t),a(t)是R+=[0,∞)→R+[0,∞)的連續(xù)函數(shù).φ(t)是連續(xù)可微函數(shù)且滿足φ(t)≤t,φ'(t)＞0,φ(t)最終為正；

20fi(t,s)(i=1,2,…,m),gi(t,s)(i=1,2,…,n),ki(t,s)(i=1,2,…,l)是

{（t,s)：0≤s≤t<∞}→R+連續(xù)函數(shù)，且對固定的s關于t單調(diào)不減；

30 如果

h(t,s)[u(s)]qid

s.由（2.1）及上式知，對充分大的t,有

所以由以上三式,得

進而有

引理3設

10u(t),a(t)是I=[0,∞)→R+[0,∞)連續(xù)函數(shù).φ(t)是連續(xù)可微函數(shù)且滿足φ(t)≤t,φ'(t)＞0,φ(t)最終為正；

20fi(t,s)(i=1,2,…,m),gi(t,s)(i=1,2,…,n),ki(t,s)(i=1,2,…,l),是{ (t,s):0≤s≤t<∞}→R+連續(xù)函數(shù)，且對固定的s關于t單調(diào)不減；

30如果

t∈R+成立，式中ri∈(0,1](i=1,2,…m),pi∈(0,1](i=1,2,…n), qi∈(0,1](i=1,2,…l)是常數(shù)，則有:

對任意的常數(shù)k＞0成立，其中

由（2.2）及上式知，對充分大的t,有

所以由以上三式,得

對函數(shù)u(φ(t)應用引理1,得

進而有

注記2：由于F(t)≤F(t)

3 主要結果

方程（1）的齊次方程

設{x1(t),x2(t),…,xn(t)}是方程（2）的一組線性無關解，且滿足條件：

W[x1(0),x2(0),…,xn(0)]=E，其中W(t)≡W[x1(t),x2(t),…,xn(t)]是由x1(t),x2(t),…,xn(t)定義的Wronskian行列式，E為n×n單位陣.Φni是W(t)中第n行第i列的元素的代數(shù)余子式.

定理1假設方程（1）滿足：

（1）φ(t)是連續(xù)可微函數(shù)且滿足φ(t)≤t,φ'(t)＞0,φ(t)最終為正.

（2）對t∈R+,vi∈R(i=1,2,…,n),ui∈R(i=1,2,…,n+1)有

|f(t,v1,v2,…,vn,u1,u2,…,un,un+1|≤(t)|un+1|+e1(t)其中e1(t),bi(t),ρi(t),bn+1:R+→R+(i=1,2,…,m)是連續(xù)函數(shù).ri∈(0,1],pi∈(0,1](i=1,2,…,n)是常數(shù).

（3）對t,s∈R+,t≥s,vi∈R(i=1,2,…,n)有

其中e2,e3:R+→R+是連續(xù)函數(shù)，ki(t,s):R+×R+→R+(i=1,2,…,)是連續(xù)函數(shù),且對固定s∈R+關于t非減的，qi∈(0,1](i=1, 2,…,n)是常數(shù).

（4）Ai,B,Ne1,Ci∈L1(0,∞),i=1,2,…,n，下面兩式

dmds有界當t→∞時，其中

則對方程（1）的滿足任意初始函數(shù)θ(t),t∈[γ,0]的解x(t),t∈[γ,0]∪R+，存在其中ci(t):R+→R+的連續(xù)函數(shù)且ci(t)的極限存在當t→∞,即滿足

證明設x(t)是方程（1）的任一解，x(t)最大的存在區(qū)間為[γ,0]∪[0,d),0

令

上式中x'(t)(i=1,2,…,n-1)由（3.3）定義，由（3.2），（3.4）解的C'i(t),i=1,2,…,n,從0→t積分得

由條件（2），（3）因為|x(i)(t)|≤ψi+1(t)Q(t),i=0,1,…,n-1，我們得到

由引理3得

由局部存在性易知d=∞成立.ci(t),i=1,2,…,n在t∈R+上有界，從而可得當t→∞時ci(t)的極限存在.

上述結論與系統(tǒng)（2）的無關解x1(t),x2(t),…,xn(t)的選擇無關.

(y1(t),y2(t),…,yn(t))T=A(x1(t),x2(t),…,xn(t))T,t∈R+令c=1≤∑i,j≤n|aij|,則由yi(t),i=1,2,…,n定義的Wronskian行列式是常數(shù)，因此容易得出當ψi(t),W(t)分別被代替條件（4）仍成立，證畢.

推論1如果系統(tǒng)（1）中a1(t)=0，且定理1的條件全部成立，則方程（1）的解滿足

證明因為{1,t,…,tn-1}是系統(tǒng)的齊次方程Ln(t,s)=0的線性無關解，所以方程（1）的解可被寫成

x(t)=c1(t)+c2(t)t+…+cn(t)tn-1.由定理1知，ci(t)(i=1,2,…,n)有界在t∈R+，因此存在正數(shù)M使得|ci(t)|≤M,I=1,2,…,n.綜上可得

〔1〕MengFanwei,TangQiujing,Asymptoticbehaviorand oscillationsofsencondorderintegro-differentialequationswithdeviatingargument[J],Ann.ofDiff.Eqs, 20:4(2004),385-395.

〔2〕TangManchun,YanEanhao,Asymptoticbehaviorofsolutionstosomeintegro-differentialequationsofarbitrary order[J].Ann.ofDiff.Eqs,18:3(2002),278-285.

〔3〕劉建康.一類二階積分-微分方程解的有界性[J].數(shù)理醫(yī)藥學雜志,2011,24(1).

〔4〕許志宏,孟凡偉.一類具有偏差變元的二階非線性積分微分方程解的有界性[J].聊城大學學報（自然科學版）, 2005,18(1):16-19.

〔5〕紀德紅，孟凡偉.一類高階非線性具有偏差變元的微分方程解的有界性[J].工程數(shù)學學報，2006，23(6):1064-1067.

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〔7〕MengFangwei,Asymptoticbehaviorofsolutionsof higherordernonlineardifferentialequationswithdeviatingarguments[J],ActaMathApplicateSinica,13:4 (1997).

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O175.7

A

1673-260X（2013）02-0006-04