MIMO雷達目標數量估計

吳躍波，楊景曙，劉世春

解放軍電子工程學院，合肥 230037

MIMO雷達目標數量估計

吳躍波，楊景曙，劉世春

解放軍電子工程學院，合肥 230037

1 引言

現有的單（雙）基地MIMO雷達定位方法都需要假設目標的數量已知，例如發射平滑技術[1]、最大似然法[2]、多項式求根法[3]、MUSIC-ESPRIT法[4-6]、投影矩陣法[7]和降維法[8]等。然而，實際情況中目標的數量通常是未知的，如果實際的目標數量和定位算法中使用的目標數量不相等，將會帶來很大的定位誤差以及虛警或漏警。因此，在使用現有的定位算法之前，必須首先正確獲取目標的數量。本文的目的在于對目標的數量進行估計，從而為現有的各類目標定位方法提供前提保障。

對于MIMO雷達目標數量估計的研究尚未見有文獻報道。在陣列信號處理中，信源數估計的主流方法有信息論準則、蓋式圓準則、平滑秩序列法和正則相關技術等[9]。信息論準則基于白噪聲推導而來，常見的有AIC準則和MDL準則，色噪聲情況下其信源數估計效果較差。蓋式圓準則基于蓋式圓盤定理而來，白噪聲和色噪聲情況下均能適用。平滑秩序列法是處理相干源信號的，而對于MIMO雷達而言，由于各發射天線發射的信號相互正交，故無需使用平滑秩序列法。正則相關技術需要兩個空間分離的接收陣列，故并不適用于單（雙）基地MIMO雷達。因此，本文主要研究信息論準則和蓋式圓準則在MIMO雷達目標數量估計中的應用。

2 信號模型

一般實際中，接收機的信號經過一系列距離-多普勒2維濾波器組，因此信號分析是在各個距離-多普勒2維分辨單元上逐個獨立進行的[1]。對于脈沖雷達信號，由于多普勒頻率可通過多脈沖回波提取，因而接收機可只需距離1維濾波器組，信號分析也只在各個距離1維分辨單元上逐個進行。這兩種處理方式的不同，在參數估計上體現為先驗信息的不同，前者在各個距離-多普勒2維分辨單元上進行信號檢測，檢測出有信號的同時就已獲得了目標的時延和多普勒頻率，而后者只獲得了目標的時延。前者進行參數估計時可補償信號的時延和多普勒頻率，而后者只可補償信號的時延。文獻[1-3]的信號模型補償了信號的時延和多普勒頻率，文獻[4-8]則只補償了信號的時延。本文對這兩種處理方式的目標數量估計方法都進行了研究。

如圖1所示，MIMO雷達發射陣列和接收陣列均采用等距均勻線陣，共有M個發射陣元，N個接收陣元，發射陣元間距和接收陣元間距分別為dt，dr。目標的發射角和接收角分別記為φ和θ。對于單基地MIMO雷達，收發站的位置一致，因此有φ=-θ。

圖1 MIMO示意圖

2.1 距離-多普勒2維分辨單元處理的信號模型

在某已知的距離-多普勒2維分辨單元上，假設目標的個數為P，它是未知的，第 p個目標的發射角、接收角及多普勒頻率分別記為，它們也是未知的。各發射陣元同時發射相互正交的脈沖串信號，第m個發射陣元發射的第l個脈沖為：

式中t和t′分別對應慢時間和快時間，T表示脈沖重復周期。sm(t)表示第m個發射陣元的基帶信號。則第n個接收陣元接收到的第l個脈沖回波為：

式中，時延τ和多普勒頻率 fD對應到該距離-多普勒2維分辨單元，為已知量；wn，l(t)為噪聲；αlp為第 p個目標在第l個脈沖的散射系數，假設目標是慢起伏的，即各脈沖的散射系數相同，αlp=αp；λ為載波波長。補償時延和多普勒頻率后可得：

則接收陣列接收的第l個脈沖回波為：

其中：

wl(t)為零均值復高斯噪聲，其相關函數設為E[wl(t)wHl(t-τ)]= Σδ(τ)，即認為各脈沖的噪聲相關函數相同。另外假設不同脈沖的噪聲相互獨立，即E[wl1(t)wHl2(t)]=0，l1≠l2。

對接收的第l個脈沖回波進行匹配濾波的結果為：

假設各發射信號的能量相等且歸一化認為是1，則式（5）可寫為：

其中Nl為N×M的噪聲矩陣，它的第m列記為nl，m，則：

式（6）為距離-多普勒2維分辨單元處理的信號模型。可見，距離-多普勒2維分辨單元處理后，接收的每個脈沖中的信號部分是一樣的。

2.2 距離1維分辨單元處理的信號模型

在某已知的距離1維分辨單元上，假設目標的個數為P，它是未知的，第 p個目標的發射角、接收角及多普勒頻率分別記為φp，θp，，它們也是未知的。注意，其中加入了目標的多普勒頻率參數，這和距離-多普勒2維分辨單元處理不一樣。距離1維分辨單元處理無法獲知目標的多普勒頻率。發射信號同2.1節，則第n個接收陣元接收到的第l個脈沖回波為：

其中時延τ對應到該距離單元，補償時延后可得：

則接收陣列接收的第l個脈沖回波為：

對接收信號進行匹配濾波的結果為：

假設信號的正交性對多普勒頻率不敏感，即

需要指出的是，為了避免多普勒頻率的測量模糊，應假設 ||fDp＜0.5。

式（13）為距離1維分辨單元處理的信號模型。可見，與距離-多普勒2維分辨單元處理不同，它接收的每個脈沖中的信號部分并不一樣，受到了目標多普勒頻率的調制。

3 目標數量估計

本章將根據式（6）和式（13）的信號模型，分別針對距離-多普勒2維分辨單元處理和距離1維分辨單元處理的情況，討論信息論準則和蓋式圓準則在MIMO雷達目標數量估計中的應用。

3.1 距離-多普勒2維分辨單元處理的目標數量估計

式（6）可進一步寫為：

其中：

定義接收信號的相關矩陣為：

當脈沖數L較大時，結合式（7），式（15）可近似為：

可見，若P≤min(M，N)，則式（16）等式右邊第一項的秩為P，因此可對式（16）采用常規的信息論準則或蓋氏圓準則求解目標的數量。Σ的非對角元素為零則表示白噪聲，反之為色噪聲。

（1）信息論準則法

對式（15）定義的R進行特征值分解，得到N個從大到小排列的特征值λ1，λ2，…，λN，則基于信息論準則的目標數量估計為：

其中：

目標函數中 p的取值應小于min(M，N)。C(L)分別取1和(lnL)/2時，可具體對應到AIC和MDL準則，即

需要指出的是信息論準則是基于白噪聲推導的，對于色噪聲的情況，其目標數量估計的錯誤概率將顯著增大，甚至完全失效。

（2）蓋氏圓準則法

對式（15）定義的對R進行分塊如下：

其中R′的維數為(N-1)×(N-1)。對R′進行特征值分解，特征矩陣記為U，即

其中V的對角元素沿對角線方向由大到小排列。構造一個酉變換矩陣T：

對R進行如下的酉變換：

記ρ的第i個元素為 ρi，i=1，2，…，N-1，那么蓋氏圓準則的目標函數為：

其中D(L)是一個與快拍數有關的調整因子，取值在0到1之間，當快拍數趨近于無窮時取0。 p的取值范圍為[1，min(M，N)-1]。當 p從小到大變化時，假設GDE(p)第一次出現負數時 p的值為p0，則目標數量的估計為PGDE= p0-1。

可見，信息論準則和蓋式圓準則可成功運用于距離-多普勒2維分辨單元處理時的目標數量估計。由二者方法的具體過程可知，信息論準則法最多能估計的目標數量為min(M，N)-1，蓋式圓準則法最多能估計的目標數量為min(M，N)-2。

3.2 距離1維分辨單元處理的目標數量估計

由式（13）可知，距離1維分辨單元處理時的目標數量估計可直接采用3.1節提供的方法。然而需要指出的是，3.1節的方法最多能識別的目標數目小于min(M，N)，這對于距離-多普勒2維分辨單元處理來說，一般是可行的，因為落在某個距離-多普勒2維分辨單元上的目標數量不會太多。但是對于距離1維分辨單元處理，落在某個距離1維分辨單元上的目標數目顯然會更多，很有可能超過min(M，N)個，從而導致無法直接采用3.1節的方法。下面針對距離1維分辨單元處理時的信號特點，研究可估計更多目標數量的方法。

將式（13）Zl的各列豎著連接起來構成一個MN×1維的列向量zl，可得：

其中：

?表示Kronecker積。

定義zl的相關矩陣為：

當脈沖數L較大時，

其中：

可寫為：式中 c(fDp)=[ej2πfDp，ej4πfDp，…，ejL2πfDp]T。可見，當各目標的多普勒頻率互不相等時，[c (fD1)，c(fD2)，…，c(fDP)]T為行滿秩矩陣，即X為行滿秩矩陣，因而Rx是滿秩矩陣。

可見，若P≤MN且各目標的多普勒頻率互不相等，則式（27）等式右邊第一項的秩為P。因此，根據式（26），類似于3.1節，目標數量的估計可采用信息論準則或者蓋式圓準則，此處不再詳述。注意式（26）中的R為MN×MN的矩陣，因而信息論準則法最多能估計的目標數量為MN-1，蓋式圓準則法最多能估計的目標數量為MN-2。

4 仿真實驗

本章將通過仿真實驗，分析信息論準則和蓋式圓準則在距離-多普勒2維分辨單元處理和距離1維分辨單元處理時的目標數量估計性能。

4.1 距離-多普勒2維分辨單元處理

發射陣元數目為M=10，接收陣元數目為N=8，收發陣列的間距均設為λ 2。在已知的距離-多普勒2維分辨單元內存在3個目標，它們的發射角和接收角分別為φ1=50°, φ2=10°，φ3=-30°，θ1=30°，θ2=-40°，θ3=0°，目標的散射系數為α1=α2=α3=1。接收的脈沖數為200。

噪聲協方差矩陣Σ的模型采用文獻[10]中的模型，Σ的第n1行第n2列元素為σ2·ρ ||n1-n2ej(n1-n2)π/2，其中 ρ為相關因子，當ρ=0則噪聲為白噪聲。蓋式圓準則中D(L)=0.5。每個σ2下均做100次實驗，正確估計目標數量的次數比上100記為成功概率。圖2顯示了ρ=0時AIC準則、MDL準則和蓋式圓準則對目標數量估計的成功概率隨lnσ2的關系，圖3顯示了ρ=0.5時目標數量估計的成功概率隨lnσ2的關系。

由于目標數量為3，小于min(M，N)-2，所以理論上信息論準則和蓋式圓準則均可行，仿真實驗也驗證了其可行性。由圖2和圖3可見：在白噪聲的情況下，lnσ2＜0時，信息論準則和蓋式圓準則均可有效地估計出目標的數量，成功概率均為1；lnσ2=0.5時，AIC和蓋式圓準則的成功概率仍為1，而MDL完全失敗；lnσ2＞0時全部失敗。在色噪聲的情況下，lnσ2＜0時，蓋式圓準則仍可有效地估計出目標的數量；而信息論準則不論噪聲方差多大，都無法估計出目標的數量。因此，白噪聲時對目標數量的估計可采用信息論準則或蓋式圓準則，而色噪聲時應采用蓋式圓準則。需要注意的是，噪聲方差應小于一定值才能確保有效地估計出目標的數量。

4.2 距離1維分辨單元處理

發射陣元數目為M=4，接收陣元數目為N=5，收發陣列的間距均設為λ 2。在已知的距離1維分辨單元內存在4個目標，它們的發射角和接收角分別為φ1=35°，φ2=20°，φ3=0°，φ4=-25°，θ1=-20°，θ2=40°，θ3=20°，θ3=35°，多普勒頻率為 fD1=0.11，fD2=-0.21，fD3=0.38，fD4=0.23。目標的散射系數為α1=α2=α3=α4=1。接收的脈沖數為200。噪聲協方差矩陣Σ的模型同4.1節。每次的實驗次數均為100。圖4顯示了 ρ=0時AIC準則、MDL準則和蓋式圓準則對目標數量估計的成功概率隨lnσ2的關系，圖5顯示了 ρ=0.5時目標數量估計的成功概率隨lnσ2的關系。

由圖4和圖5可見，與4.1節的結論類似：在白噪聲的情況下，lnσ2＜0時，信息論準則和蓋式圓準則均可有效地估計出目標的數量，MDL和蓋式圓準則的成功概率均為1，AIC的成功概率0.9以上；lnσ2=0.5時，蓋式圓準則性能迅速惡化，而信息論準則勉強仍具備一定的有效性；lnσ2＞0時幾乎全部失敗。在色噪聲的情況下，lnσ2＜0時，蓋式圓準則可有效地估計出目標的數量；而信息論準則不論噪聲方差多大，都基本無法估計出目標的數量。因此，白噪聲時對目標數量的估計可采用信息論準則或蓋式圓準則，而色噪聲時應采用蓋式圓準則。

圖2 ρ=0時目標數量估計成功概率隨σ2的關系

圖3 ρ=0.5時目標數量估計成功概率隨σ2的關系

圖4 ρ=0時目標數量估計成功概率隨σ2的關系

圖5 ρ=0.5時目標數量估計成功概率隨σ2的關系

5 結論

本文研究了MIMO雷達在距離-多普勒2維分辨單元處理和距離1維分辨單元處理情況下的目標數量估計方法，討論了信息論準則和蓋式圓準則在MIMO目標數量估計中的應用。針對2維分辨單元處理和1為分辨單元處理，分別構造相關矩陣，給出方法的具體過程，并指出了最多能估計的目標數量上限。仿真結果表明，在噪聲方差小于一定值時，本文方法可有效地估計出目標的數量。在白噪聲情況下，信息論和蓋式圓準則均可有效地估計出目標的數量，2維分辨單元處理時AIC和蓋式圓準則性能比MDL要略好，1維分辨單元處理時MDL和蓋式圓準則性能比AIC要略好；在色噪聲情況下，信息論準則無法估計出目標的數量，而蓋式圓準則可有效地估計出目標的數量。

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WU Yuebo,YANG Jingshu,LIU Shichun

PLA Electronic Engineering Institute,Hefei 230037,China

The signal models of MIMO radar are described in both range-Doppler two dimensions processing and range one dimension processing situations.The correlation matrixes are constructed based on the characters of the signal models,and then the information theory and Gerschgorin disks criteria are used in the target number estimation for MIMO radar.Simulation results suggest that the information theory and Gerschgorin disks criteria are available in white noise,and the Gerschgorin disks criterion is effective in colored noise.

information theory;Gerschgorin disks;MIMO radar;target number estimation

給出MIMO雷達在距離-多普勒2維分辨單元處理和距離1維分辨單元處理情況下的信號模型。根據這兩個信號模型各自的特點，分別構造信號的相關矩陣，將信息論準則和蓋式圓準則應用于MIMO目標數量估計之中。仿真結果表明在白噪聲情況下，信息論和蓋式圓準則均可有效估計目標數量；在色噪聲情況下，蓋式圓準則可有效估計目標數量。

信息論；蓋式圓；MIMO雷達；目標數量估計

A

TN958

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0516

WU Yuebo,YANG Jingshu,LIU Shichun.Target number estimation for MIMO radar.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：200-204.

吳躍波（1984—），男，博士研究生，主要研究領域為MIMO雷達、陣列信號處理；楊景曙（1950—），男，博士生導師，教授；劉世春（1973—），男，工程師。E-mail：yuebowu@163.com

2011-07-25

2011-09-26

1002-8331（2013）05-0200-05

CNKI出版日期：2011-11-14 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20111114.0939.021.html