正弦信號幅值和初相位估計的問題研究

張曉威，孟凡明

哈爾濱工程大學 理學院，哈爾濱 150001

正弦信號幅值和初相位估計的問題研究

張曉威，孟凡明

哈爾濱工程大學 理學院，哈爾濱 150001

1 引言

正弦信號參數估計在雷達、聲吶、電子對抗、通信、生物及振動信號處理等領域中有著重要的應用價值[1]。由于在傳感器接收信號的同時往往混有較高噪聲，因此在低信噪比情況下，如何進行高精度正弦參數的估計就成為研究的重要內容，文獻[2-3]的估計方法都是基于傅里葉算法給出的，由于傅里葉自身的精度問題以及算法不能有效地控制估計精度，并且非等間隔采樣將無法采用這些方法進行參數估計，因此當頻率要求特別嚴格或者采樣間隔不等時，傅里葉方法不適用。雖然最大似然估計（ML）[4]可使均方誤差達到最小，但ML算法復雜、速度慢，不利于實時處理，一般很少直接采用ML估計[5]。由于自相關函數法在統計意義下能很好地抑制噪聲，因此可以有效地估計幅值[6-7]，但估計幅值的同時丟失相位信息。本文使用互相關函數法估計正弦信號幅值與初相位，解決了使用自相關函數法估計幅值丟失相位信息問題。上述方法在實際應用中，對信噪比均有一定要求[8-9]，在信噪比較高的情況下，能夠以高精度估計信號的幅值和初相位，而在低信噪比的情況下，估計效果不是很理想。因此需要提高觀測信號的信噪比。

本文利用信號周期性和噪聲隨機性特點[10]，使用疊加方法在未損失源信號能量情況下提高了觀測信號信噪比，利用互相關函數法估計正弦信號幅值與初相位。仿真實驗結果表明在較低信噪比情況下，可以較高精度估計幅值與初相位。

2 互相關函數

假設觀測過程具備各態歷經性，則可以利用樣本函數的互相關函數來代替隨機過程的互相關函數：

假定兩個信號為x(t)與 y(t)，設信號采樣時間為T′，y(t+τ)為y(t)時移樣本，x(t)與y(t)的互相關函數可表示為：

下面在已知頻率基礎上，利用互相關函數進行幅值與初相位估計。設觀測信號為：

其中s(ti)=asin(2πf0ti+φ0)為源信號，a為幅值，f0為固有頻率，φ0為初相位，G(ti)為零均值，方差為σ2的加性高斯白噪聲。

即

令

3 估計精度的提高

在信噪比較高的情況下，采用上述方法能夠以較高精度估計信號的幅值與初相位。但是在低信噪比的情況下，估計效果不是很理想[8-9]。下面利用疊加方法提高信噪比，從而提高估計精度。

定義1若算子Lb滿足Lb(f(t))=f(t+b)，則稱Lb為平移算子，當b＜0時，表示對f(t)向右平移|b|個單位，b＞0時，表示對f(t)向左平移|b|個單位。

定義2若算子τc滿足：

疊加過程具體步驟如下：

（5）由式（5）與式（7）有：

（6）s5(t)與s(t)疊加得到：

源信號s(t)經過一次疊加記為：

觀測信號x(t)經過一次疊加的結果記為：

疊加n次，記為：其中Pn(t)為Pn-1(t)經過一次疊加得到結果，幅值記為an，（其中 an=2an-1=…=2n-1a1=2na），Pn(t)=ansin(2πf0t+ φ0)=2nasin(2πf0t+φ0)。

令

由式（9）得到觀測信號x(t)變換后的信號x′(t)，由于高斯噪聲的隨機特性，噪聲不會被放大成2的指數倍，有Gn(t)＜2nG(t)。因此由式（9）與式（1）知x′(t)噪聲大小低于x(t)噪聲大小。

上述推導可以看出，觀測信號x(t)經過變換后的信號x′(t)，其源信號s(t)并未改變，噪聲值變小，即疊加法在不損失源信號能量的情況下提高了觀測信號x(t)的信噪比。因此采用上述互相關函數法對變換后的信號x′(t)進行幅值與初相位估計，精度得到提高。

4 仿真實驗

采用Monte Carlo方法對本文提出的互相關函數估計法進行仿真分析。

觀測信號 x(ti)=s(ti)+G(ti)，i=1，2，…，N。其中s(ti)為式（1）定義的正弦信號，G(ti)為零均值，方差為σ2的加性高斯白噪聲。仿真參數如下：

頻率 f=10 Hz，初相位

，幅值a=1。雖然采樣頻率、采樣點數越高估計效果越好，但是估計時間也隨之增加，不利于實時處理，選取采樣頻率 fs=640 Hz、采樣點數為N1=4 096是最合適的，既可以用較少的估計時間又可以保證估計精度，信噪比（單位：dB）定義為：

幅值與初相位均方誤差定義分別為：

其中ai′、φ0i′分別為第i次幅值估計與初相位估計，N2為模擬次數。

（1）首先研究了信噪比對互相關函數估計法精度影響。表1詳細列出了在不同信噪比情況下，利用Monte Carlo方法模擬N2=500次直接互相關法實驗所得幅值估計值與初相位估計值，均方誤差（Matlab6.5，CPU：C2.9 GHz，512 MB RAM）。

表1 直接互相關函數法估計結果

表1說明在信噪比較高情況下即：信噪比高于－24 dB時，互相關函數法估計精度較高，信噪比低于－24 dB時，互相關函數法估計精度下降。說明了互相關函數估計法對信噪比有一定的要求。

（2）其次研究了疊加次數對估計精度的影響。利用最小二乘方法分別對疊加次數與幅值均方誤差、初相位均方誤差進行曲線擬合（其中SNR=-22 dB），利用Monte Carlo方法模擬N2=500次基于疊加的互相關函數法實驗得到圖1、圖2。

圖1 幅值均方誤差與疊加次數擬合曲線

圖2 初相位均方誤差與疊加次數擬合曲線

由圖1、圖2可見，選取n=10時是最合適的。這樣可使兩者均方誤差同時最小，保證了估計精度。

（3）表2詳細列出了在不同信噪比情況下，利用Monte Carlo方法模擬N2=500次基于疊加（這里對觀測信號進行疊加10次，即式（8）n=10）的互相關法實驗所得幅值與初相位估計值，均方誤差。

圖3 疊加互相關函數法幅值估計

表2 基于疊加的互相關函數法估計結果

相對于表1而言，基于疊加的互相關函數法估計精度有所提高，及均方誤差有所降低。說明了疊加法的有效性。但在信噪比低至－25 dB以下時，估計效果下降，說明疊加法也只是在一定程度上提高了觀測信號的信噪比（符號含義同表1）。

5 結論

對于低信噪比情況下正弦信號的幅值與初相位估計，本文提出了一種在不損失源信號能量的基礎上提高信噪比的新算法，再利用互相關函數法估計幅值與初相位。在一定范圍內提高了精度，同時解決了自相關函數估計法無法同時估計幅值與初相位問題。實驗中發現，基于疊加的互相關函數估計法不足之處是，不能解決混有諧波的信號，這也是今后努力的一個方向。

圖4 疊加互相關函數法初相位估計

[1]張明友，呂明.信號檢測與估計[M].北京：電子工業出版社，2005.

[2]李春宇，張曉林，張展，等.基于DFT的正弦波初相估計算法及誤差分析[J].北京航空航天大學學報，2007，33（5）：580-584.

[3]祝俊，唐斌，杜正聰，等.基于高階近似核和傅里葉系數內插的快速頻率估計算法[J].數據采集與處理，2009，24（6）：797-801.

[4]Rife D C，Boorstyn R R.Single tone parameter estimation from discrete-time observations[J].IEEE Transactions on Information Theory，1974，IT-20（5）：591-598.

[5]鄧振淼，劉渝.正弦波頻率估計的牛頓迭代方法初始值研究[J].電子學報，2007，35（1）：104-107.

[6]Li T F，Xiong J，Wang J，et al.A new testing method for high-frequency power wave trapper measurement based on correlation theory[C]//International Conference on Industrial Mechatronics and Automation.Chengdu：[s.n.]，2009：340-342.

[7]陳明奎，劉正平.用多重自相關法檢測微弱正弦信號[J].噪聲與振動控制，2006，26（5）：28-30.

[8]王黨衛，粟毅，馬興義.一種基于互相關處理的極點提取新算法[J].電子學報，2005，33（6）：1015-1018.

[9]齊國清，呂健.基于自相關函數相位的頻率估計方法方差分析[J].大連海事大學學報：自然科學版，2007，33（4）：5-9.

[10]王永德，王軍.隨機信號分析基礎[M].北京：電子工業出版社，2009.

ZHANG Xiaowei,MENG Fanming

College of Science,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China

In the case of the known frequency,an algorithm based on cross-correlation function for estimating amplitude and initial phase is proposed,solving the problem of losing initial phase by using the autocorrelation function.SNR is improved using superposition without losing the source signal energy.Hence,the estimation accuracy is improved in the application.Simulation experimental results show that this method works well under the condition of the low SNR.

sine signal;cross-correlation function;amplitude;initial phase;low Signal Noise Ratio（SNR）

在已知頻率的情況下，提出了利用互相關函數估計正弦信號幅值與初相位算法，解決了使用自相關函數法估計幅值丟失相位信息問題。并利用疊加法在不損失源信號能量的情況下，提高了觀測信號信噪比，從而提高了正弦信號估計精度。仿真實驗結果表明，基于疊加的互相關函數法可在較低信噪比情況下以較高精度估計正弦信號的幅值和初相位。

正弦信號；互相關函數；幅值；初相位；低信噪比

A

TN911.6

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0389

ZHANG Xiaowei,MENG Fanming.Research on estimation of sine signal amplitude and initial phase.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：216-219.

國家自然科學基金（No.10771043）；中央高校基本科研業務費專項資金（No.HEUCF20111122）。

張曉威（1965—），男，碩士生導師，教授，研究領域：不確定系統與信息處理；孟凡明（1986—），男，碩士，研究領域：不確性系統與信息處理。E-mail：zhangxiaowei@hrbeu.edu.cn

2011-07-18

2011-12-26

1002-8331（2013）05-0216-04

CNKI出版日期：2012-05-24 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120524.1030.001.html