高速列車車內照度舒適性數學模型的研究

蘇燕辰，張瑞萍，林菲菲

（西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031）

0 引 言

當前，在照明技術中國際上已提出一些照度指標，僅是涉及光的物理指標，從生理、心理方面研究照明質量，即照度舒適性方面的研究幾乎為零。

本文通過考察京津線、武廣線等客運專線的高速動車組試驗車的車內照明情況，并對其進行大量的科學試驗和專項試驗，研究不同時間段和不同功能區車內照明需求關系。以廣義舒適度模擬試驗平臺為基礎，輔以大量人群的問卷調查研究，從人的主觀評價角度研究車內照明與舒適性的關系。

1 統計分析原理

1.1 離散隨機變量及其概率分布

離散隨機變量Y是一個定義在樣本空間上的數值函數，樣本空間中的每個簡單事件都被指派一個具體的值y，且變量的個數是可數的。

離散隨機變量Y的概率分布是給出Y的每個可能取值Y=y以及相應概率p（y）的表、圖或公式。離散隨機變量的概率分布p（y）必須滿足兩個性質：（1）由于 p（y）是一個概率值，所以必須滿足 0≤p（y）≤1；（2）Y的所有可能取值所對應的p（y）的和是1。

Y的均值或期望值表達式如下：

1.2 回歸分析與模型構建

統計學有一個很重要的應用就是根據一組有聯系的自變量x1，x2，…，xk估計相應變量y的均值或者預測y的某個未來值。在統計學里，被預測（或者被建模）的變量y被稱為因變量或者響應變量；用來預測（或者建模）y的變量成為自變量；用于聯系因變量與自變量的模型成為回歸模型。構造一個回歸模型的第一步便是概率模型確定性分量的假設形式。模型的建立或構造是回歸分析成敗的關鍵步驟。若假設的模型不能反映或者至少不能近似地反映平均響應 E（y）和自變量 x1，x2，…，xk之間關系的真實情況，模型構建這一步便沒有意義。建模就是要構造的模型能為一組數據提供很好的擬合，對因變量y的均值給出好的估計，并且對于給定的自變量，給出未來y值得好的預測。

模型構建中，對于一元定量自變量的多項式有以下3種：

其中，一階模型也就是常說的直線模型，β0是直線的斜率，β1是直線的截距。

二元定量自變量的多項式常用的有以下兩種模型：

一元一階模型的回歸分析稱為簡單線性回歸模型，如式（8）。

對給定的x值，y的均值可以繪制成一條直線，并且數據點偏離均值線是一個隨機量（或正或負）ε。為了選擇對一個數據集的“最佳擬合”直線，必須對簡單線性回歸模型的未知參數β0和β1的值進行估計，最簡單的估計方法就是最小二乘法。每一個數據點偏離均值線的距離成為離差（或誤差）。最小二乘法的宗旨就是在圍繞數據散點圖滑動的所有直線中，有且僅有一條直線使離差等于0并且使離差平方和最小。這條直線就是最小二乘直線或回歸直線，統計學中將離差平方和記為SSE。

求解上述聯立方程組后得到下面的公式：

最小二乘估計的斜率：

一般多重回歸分析即含有多個自變量的函數，其回歸模型的形式如下：

式中，符號 x1，x2，…，xk這些自變量可能表示定量預測值的高階項或者表示定性預測值的項。對多重回歸模型的擬合同樣采用最小二乘法，通過極小化離差平方和的值來選擇 β0，β1，…，βk的估計值。即使離差平方和關于 β0，β1，…，βk的偏導數等于零，于是得到k+1個最小二乘線性方程組成的方程組：

求解上述方程組的方法是利用矩陣代數，所以，上述方程組對應的矩陣形式為

求解 β0，β1，…，βk的估計值即是求解最小二乘矩陣方程（XTX）=XTY。

上述矩陣方程中（XTY）是最小二乘估計…的系數矩陣，XTY是等式右邊的常數矩陣。其最小二乘解為

2 照明度舒適性數學模型研究

2.1 廣義的韋伯-費昔勒定律

最早的韋伯-費昔勒…定律…其 微…分…形 式和…積分形式分別如下：

式中：S——物理刺激量R的感覺量；

S0——物理刺激量R0的感覺量；

k——系數。

經過大量學者的研究，這個定律成功地計算了很多物理量與感覺量之間的關系，并逐步演化出廣義的韋伯-費昔勒定律，表示形式如下：

式中：dS——感覺量S的增量；

f（S）——感覺量S的函數，隨著感覺量的不同而不同；

R——產生感覺量的物理刺激量；

m——隨著感覺量不同而不同的指數常數。

基于廣義的韋伯-費昔勒定律，國外的專家學者已經研究出了房間清晰度、光照清晰度等數學函數形式。此后，在大量實驗研究的基礎上，運用韋伯-費昔勒定律建立了評價住宅、博物館等室內場所中處于不同活動狀態下的光環境舒適度方程，為室內場所的照明舒適性設計提供依據和參考。

2.2 照度與視覺舒適度的數學關系

由于視覺舒適度是定性的量，所以要研究照度與人眼舒適度之間的數學關系。首先需要將照度舒適性程度進行量化，轉換為定量的值，再運用統計學原理進行分析，才能用數學語言描述照度與舒適程度之間的關系，從而得到照度舒適性的數學關系模型。

通過廣義舒適度模擬試驗臺上照明子系統模擬實車不同照度和不同照度變化率下的照明環境，選取不同年齡、性別的被測試人員進行問卷調查。將試驗數據中表達舒適程度的5級量表：很舒適、較舒適、一般舒適、較不舒適、很不舒適，相應賦值分別為：1，0.8，0.6，0.4，0.2。再根據測試結果得到各個照度值及照度變化率下的舒適程度和相應評價的人數百分比，利用式（1）得到滿意程度的數值。各照度值的舒適程度如表1所示，照度增加的變化率的舒適程度和照度減小的變化率的舒適程度如表2和表3所示。

由表中舒適度的數據大致可以看出，照度值舒適性關系并不是簡單的照度值逐漸增加舒適性越強或者越弱，而是存在某個照度限值，大于這個限值或者小于這個限值就會導致不舒適感的產生。

照度變化率的數值為正數表示照度逐漸增大的變化，由上表可以大致看出變化率越大，舒適性越差，即照度變化越快，人眼會越不舒適。

表1 照度舒適度

表2 照度增加變化率的舒適度

表3 照度減小的變化率的舒適度

照度變化率的數值為負數表示照度逐漸減小的變化，由表3可以大致看出變化率的絕對值越大，舒適性越差，也即照度變化越快，人眼會越不舒適。

已有研究人員以韋伯-費昔勒定律為基礎研究了居住場所中的照明與視覺舒適度的數學關系，并證實了模型的正確性以及實際意義，故可借助前人的研究對高速列車客室內照度舒適性關系建模，在式（23）廣義的韋伯-費昔勒定律公式中，物理刺激量R不直接采用照度值本身，而是要用其對數值lnE來代替。所以，高速列車車內照度與舒適度的數學關系式可表達成為

利用最小二乘法參照式（17）、式（18）、式（20）和式（23），分析計算表2中的試驗數據。得到照度舒適性數學關系的五次多項式為

經回歸分析后，五次多項式的回歸模型其決定系數為r2=0.9794。

得到照度舒適性數學關系的四次多項式為

經回歸分析后，四次多項式的回歸模型其決定系數為r2=0.9712。

所以，五次多項式是對數據的最佳擬合，最終的照度舒適性數學模型采用五次多項式。

利用最小二乘法參照式（9）～式（16）的計算公式，分析計算表2和表3中的試驗數據。得到照度增加的變化率舒適性的數學關系式為

經回歸分析后，照度增加的照度變化率舒適性數據的回歸模型其決定系數為r2=0.9266。

得到照度減小的變化率舒適性的數學關系式為

經回歸分析后，照度減小的照度變化率舒適性數據的回歸模型其決定系數為r2=0.9282。

所以，照度增加的變化率舒適性模型是對數據的最佳擬合，最終的照度變化率舒適性數學模型采用照度減小的變化率數學模型。

3 結束語

通過廣義舒適度模擬試驗臺上照明子系統模擬實車不同照度和不同照度變化率下的照明環境，對被測試人員進行問卷調查。對問卷調查結果利用統計學原理進行回歸分析，得到照度舒適性數學模型以及照度變化率舒適性數學模型，為建立高速動車組車內照度綜合舒適性指標以及照度舒適性評價方法奠定重要基礎。?

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