雙極值模糊（反）軟子群

殷霞，廖祖華，章里程，朱曉英

江南大學理學院，江蘇無錫 214122

雙極值模糊（反）軟子群

殷霞，廖祖華，章里程，朱曉英

江南大學理學院，江蘇無錫 214122

1 引言

軟集是由俄羅斯學者Molodtsov[1]在1999年提出的一種處理不確定性問題的數學工具，它克服了模糊集[2]等理論在參數工具上的不足。2001年，Maji[3-5]等將軟集理論進行了推廣，分別將軟集與模糊集和直覺模糊集相結合，給出了模糊軟集和直覺模糊軟集的概念。如今，軟集理論已被成功應用到眾多領域[6-9]。近些年來，關于軟集理論與代數結構的融合研究也取得了很多的重要成果。2007年，Akta?和?a?man[10]提出了軟群的定義，并討論了它的一些基本性質。2010年，Acar[11]等給出了軟環的概念，并對其進行了相關研究；付文清等[12]研究了軟BCK代數及其運算。2011年，楊成福[13]給出了模糊軟半群的概念并討論了它們的代數性質；Zhou[14]等將直覺模糊軟集運用到半群上提出了半群上的直覺模糊軟理想的概念。2012年，Inan[15]等研究了模糊軟環和模糊軟理想的相關性質。廖祖華[16-17]等分別提出了軟坡的軟理想及二型軟子群等新概念，并討論了它們相關的代數性質。這些工作極大地豐富了軟集理論的代數結構。

Zhang[18]給出了模糊集的一種推廣即雙極值模糊集；Lee[19]進一步探討了雙極值模糊集及它們的基本運算。雙極值模糊集與直覺模糊集很相似，但它們卻是兩個不同的概念[20]。2011年，Kim[21]等研究了半群上的雙極值模糊理想。2012年，Majumder[22]討論了Γ-半群上的雙極值模糊子半群的性質及其等價刻畫。2012年，楊文華[23]等將軟集與雙極值模糊集相結合提出了雙極值模糊軟集的概念，推廣了雙極值模糊集理論。本文將雙極值模糊軟集的概念運用到群上，提出了雙極值模糊（反）軟子群的概念，并討論了它們的代數性質。

2 預備知識

本章給出雙極值模糊集、模糊軟集、雙極值模糊軟集的定義和雙極值模糊軟集的一些運算及基本性質。

3 雙極值模糊（反）軟子群

本章中取初始論域為群G，給出雙極值模糊（反）軟子群的概念，討論它們的相關代數性質。

定義3.1設(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，稱(F，A)是G的雙極值模糊軟子群，如果?ε∈A， ?x，y∈G有：

則(F，?)是?上的雙極值模糊軟子群。

定義3.2設(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集，稱(F,A)是G的雙極值模糊反軟子群，如果?ε∈A，?x，y∈G有：

是G的雙極值模糊軟子群。

類似地，有下面的定理。

所以(F，A)是G的雙極值模糊軟子群。

4 雙極值模糊（反）軟子群的同態像與原像

本章先給出雙極值模糊軟集在雙極值模糊軟映射下的像與原像的概念，接著討論雙極值模糊（反）軟子群在雙極值模糊軟同態下的像與原像的性質。

類似可證雙極值模糊反軟子群的情形。

5 結束語

軟集理論是近些年來眾多學者關注的研究課題。本文嘗試將雙極值模糊軟集的基本運算與子群的概念相結合，提出了雙極值模糊（反）軟子群的概念，證明了它們的一些基本性質。基于這一些結論，將進一步探討雙極值模糊軟正規子群的問題。

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[2]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computers& Mathematics with Applications，1999，37（4/5）：19-31.

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[4]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft set theory[J].Computers &Mathematics with Applications，2003，45（4/5）：555-562.

[5]Maji P K，Roy A R，Biswas R.On intuitionistic fuzzy soft sets[J].Journal of Fuzzy Mathematics，2004，12（3）：669-683.

[6]Feng Feng，Li Yongming，Leoreanu-Fotea V.Application of level soft sets in decision making based on interval-valued fuzzy soft sets[J].Computers&Mathematics with Applications，2010，60（6）：1756-1767.

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[13]Yang Chengfu.Fuzzy soft semigroups and fuzzy soft ideals[J]. Computers&Mathematics with Applications，2011，61（2）：255-261.

[14]Zhou Jiehua，Li Yuewu，Yin Yunqiang，et al.Intuitionistic fuzzy soft semigroups[J].Mathematica Aeterna，2011（3）：173-183.

[15]Inan E，?ztürk M A.Fuzzy soft rings and fuzzy soft ideals[J]. Neural Computing&Applications，2012，21（1）：s1-s8.

[16]廖祖華，芮明力.軟坡[J].計算機工程與應用，2012，48（2）：30-32.

[17]殷霞，廖祖華，朱曉英，等.軟集與新型軟子群[J].計算機工程與應用，2012，48（33）：40-43.

[18]Zhang Wenran.Bipolar fuzzy sets and relations：a computational frameworkfor cognitive modelingandmultiagent decision analysis[C]//Proceedings of IEEE Conference，1994：305-309.

[19]Lee K M.Bipolar-valued fuzzy sets and their basic operations[C]//Proceeding of the International Conference，Bangkok Tailand，2000：307-317.

[20]Lee K M.Bipolar-valued fuzzy sets，intuitionistic fuzzy sets and bipolar-valued fuzzy sets[J].Journal of Fuzzy Logic Intelligent Systems，2004，14：125-129.

[21]Kim C S，Kang J G，Kang J M.Ideal theory of semigroups based on the bipolar valued fuzzy set theory[J].Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics，2011，2（2）：193-206.

[22]Majumder S K.Bipolar valued fuzzy sets in Γ-semigroups[J]. Mathematica Aeterna，2012，2（3）：203-213.

[23]楊文華，李生剛.雙極值模糊軟集[J].計算機工程與應用，2012，48（35）：15-18.

YIN Xia,LIAO Zuhua,ZHANG Licheng,ZHU Xiaoying

School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

The notions of bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroups based on the theory of bipolar-value fuzzy soft sets are given and several related properties and equivalent characterizations are discussed.Furthermore,the definitions of image and preimage of a bipolar-value fuzzy soft set are introduced and some preliminary properties of the image and preimage of a bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroup under a bipolar-value fuzzy soft homomorphism are investigated.

bipolar-value fuzzy soft set;fuzzy soft set;bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroup;bipolar-value fuzzy soft homomorphism

在雙極值模糊軟集理論的基礎上，給出了雙極值模糊（反）軟子群的概念，討論了它們的一些相關性質及等價刻畫。提出了雙極值模糊軟映射下雙極值模糊軟集的像與原像的概念，并研究了雙極值模糊軟同態下雙極值模糊（反）軟子群的同態像與原像的初等性質。

雙極值模糊集；模糊軟集；雙極值模糊（反）軟子群；雙極值模糊軟同態

A

O153；O15

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0425

YIN Xia,LIAO Zuhua,ZHANG Licheng,et al.Bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroups.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：58-62.

國家自然科學基金（No.11001109）。

殷霞（1975—），女，講師，主要研究領域為有限群理論，模糊與粗糙代數；廖祖華（1957—），男，教授，主要研究領域為模糊與粗糙代數，廣義逆理論及應用，人工智能等；章里程（1972—），男，副教授；朱曉英（1964—），女，副教授。E-mail：yin-xia1975@yahoo.com.cn

2013-04-25

2013-06-24

1002-8331（2013）19-0058-05

◎網絡、通信、安全◎