數學問題表征與數學問題圖式

羅 奇，唐劍嵐

（1．桂林師范高等專科學校 數學與計算機科學系，廣西 桂林 541002；2．廣西師范大學 數學科學學院，廣西 桂林 541004）

有關數學問題解決國內外已有了大量的研究[1～4]．最初對數學問題解決的研究主要集中在數學問題解決過程及模式的建構和應用中，近年來越來越多的學者關注于數學問題解決內在機制的研究，尤其側重于問題理解階段的表征、圖式理論在解題中的應用、問題解決各階段的策略以及解題過程的元認知分析等．實踐領域中也出現了應用性研究，如解題策略的訓練，元認知能力的培養等．可見，對數學問題解決的心理學研究已比較全面和豐富，很多理論得以繼承和發展．

但如何將問題表征、圖式構建與個體思維形成的主要途徑——數學解題聯系起來，在數學解題教與學中提高解題能力的研究還需進一步驗證和探討．因為，一方面表征是問題解決的一個中心環節，要想使問題得以解決，主體必須合理地表征問題，其對問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度[5]．另一方面數學問題求解又具有內容的抽象性、結構的嚴謹性、推理的邏輯性等特點，這與圖式理論表現出極大的相容性．有鑒于此，這里對數學問題表征和數學問題圖式及其關系進行了探討．不斷試誤，主體會不斷修正自己對問題的表征，使之更為準確適宜，而問題解決過程中頓悟現象的出現是由于主體找到了適宜的問題表征[10]．

下面通過對師范數學專業二年級學生解題過程與解題時教師詢問窺視表征對學生數學解題作用進行個案分析．（以下學生成績以高考數學成績為評定標準）

例1t為何值時，不等式恰好有一個解．

被試 A（成績差）：我將不等式變形為x2+9≥tx≥x2+1后就不知道怎樣入手求解了．

1 數學問題表征

的圖像，注意到問題可以看成：t取何值時，函數只有一個值落在[-3, 5]區間內．因為該函數圖像是開口向下的拋物線，如果此拋物線的頂點在直線y=-3上方，則函數取值有無窮多個落在區間[-3, 5]中；如果此拋物線頂點在直線y=-3下方，則函數值都小于-3，函數值全部不落在區間[-3, 5]中；當且僅當此拋物線的頂點落在直線y=-3上時，函數取值只有一個落在[-3, 5]．即有一個函數值等于-3，其余的函數值均小于-3．從而得出

1.1 數學問題表征及對問題解決的作用

問題表征指形成問題空間，包括明確問題的初始狀態、目標狀態及允許的操作[6]．問題表征形式上可以分成兩種[7]：一種是外在表征，即將問題以文字、數式、圖表、模型和實驗等具體的東西表示出來；另一種是內在表征，即問題在人腦中的思考．兩者相互關聯，內在表征是外在表征的基礎，外在表征是內在表征的具體化和外顯化．

在數學問題解決中，表征問題是解決問題的前提條件，主體若要理解某個數學結構，就必須在這個數學結構與一個更易理解的數學結構之間建立一個映射，而表征就是這個映射過程[8]．如何對問題情境進行準確、有效地表征往往是順利解決問題的關鍵，因為問題難度上的差異一方面源于問題自身結構，另一方面源于主體在表征問題方式上的不同．有研究表明問題的適當表征與問題的成功解決之間存在正相關[9]，不當表征與解題成績呈負相關[4]．同時在解題過程中，主體對問題的表征不是靜止不變的，隨著對問題情境理解的

可見，被試 A無法表征問題，問題也就無法求解；被試 B采用代數方式來表征問題，導致解決問題過程非常復雜，難以進行；被試C首先是采用與被試B類似方法表征問題，發現難于求解，修正表征，采用幾何方式表征問題和求解，過程既直觀又簡捷．

另外，問題表征方式具有多樣性．Markman與Dietrich[11]認為，不同類型的問題表征方式適合于不同心理加工過程．適當的表征把對問題解決最有價值的重要成分和結構關系放到一個突出的位置上．Simon[12]也指出，有時按照常規方式表征的問題難以求解，但若換了一個角度來表征同一個問題，問題就迎刃而解了．

如果用三角化簡的方法嘗試證明結論，則比較困難、繁雜．注意到0≤sinα, sinβ, sinγ≤1和結論的結構形式，聯想到相互獨立事件的概率公式，則問題易解．

1.2 數學問題表征的依據和形式

數學問題表征的依據一是問題的客觀方面，即要求在對問題轉化為數學模型時要切實依據問題的文字、圖表，以及它們之間的關系；二是主體的認知結構，即主體已有的數學知識、解題經驗、思想方法、策略等．

數學問題表征按表征的深入層次可分為：字面表征，真實情景表征，數學表征．按照表征的方式，則可分為：言語表征、圖像表征、方法表征和原理表征．方法表征是用程序性的知識來表達對問題的求解，數學表征和原理表征類似，都是用與問題情景緊密相聯的數學規律來表征問題．

當然對問題的表征有時是不同的表征方式的同時運用．可以注意到優生在建立字面表征的同時便明顯地開始建立真實情景表征，以至讀完題就能利用數學規律得到數學表征，進而求得問題結果．另外，優生的知識具有簡約性、結構性，他們往往以知識組塊的形式提取知識，同時其知識結構中還包含了應用知識的程序性知識和策略性知識[13]，這些都影響著對問題的表征．

至于對復雜問題的表征，往往需要多元表征的參與．大量研究表明，多元表征對數學問題解決過程與結果有直接或間接的影響．而多元表征的每種表征都有自己的優勢和不足，不同偏好的主體在問題解決時，運用不同的表征．多元表征的恰當運用在一定程度上降低數學理解的難度，而且使得數學更具吸引力和趣味，同時各種表征間的轉換與轉譯是解決問題的關鍵[8]．

2 數學問題圖式

2.1 數學問題圖式的內容及分類

圖式理論是一種關于人的知識是怎樣表征出來，以及關于知識的表征如何以特有的方式有利于知識的應用的理論．按照該理論，人腦中保存的一切知識都能分成單元、構成組塊和組成系統，這些單元、組塊和系統就是圖式[14]．

數學問題圖式可以看成數學問題解決過程的圖式，它包含兩部分信息：其一是關于它所對應的某類問題的特征描述，其二是這類問題的解決的知識、方法和程序．數學問題圖式具有靈活性、適應性、強遷移性和概括性．因而一旦激活一個問題圖式即可自動通達并執行相應的解題程序．所以問題圖式的形成以及數量和質量是解題能力的標志．數學問題圖式圍繞數學概念和規律組織，包含陳述性知識、程序性知識、策略性知識及典型的問題情景特征等．主體在數學問題求解時明確問題、構建和選用方法等都要應用圖式．

根據數學問題求解過程，將數學問題圖式分為問題情境圖式、問題解答圖式和問題反思圖式．問題情境圖式是對數學問題的情境環境的認知．已有的情境圖式幫助主體識別數學問題環境，并指導主體采取相應的行動來實現目標．不同的問題帶給主體不同的情境圖式，同一主體對同一個問題也會產生不同的情境圖式，所建構的情境圖式的優劣對解決問題具有重要意義．問題解答圖式是指解題時采取的策略、方法等，比如分析問題策略、推理判斷策略，以及解題的具體方法．如數學歸納法、關系映射反演法、構造方法、類比方法、分類討論方法等．反思圖式是對數學問題認識及解決過程中或解決過程后的相關問題的認知，如對策略、程序等認知過程的反思．反思是數學解題中的重要一環，提高數學問題求解能力離不開反思圖式．

2.2 數學問題圖式形成及對問題解決的作用

學生在數學問題解決中常出現“聽得懂，看得會，做不對”，這說明從知識到能力，解題原理到問題解決，還有一個不可或缺的心理歷程，那就是形成合理的知識組塊、形成問題解決的圖式．圖式是建立在每一個具體問題解決后在頭腦形成的“模板”基礎上，由于同類問題有不同的變式，因此當人們大量地遇到不同變式的同類問題時，每解決一次，頭腦中的“模板”也隨之得到相應加強或改變．隨著解決問題的增多，“模板”逐漸演化成代表一類問題的概括性內部表征即圖式．

數學問題圖式對于數學問題解決具有重要作用[15]，一方面，在數學問題解決過程中，數學問題圖式不僅影響著主體對問題的感知和理解，還影響著問題解決策略、方法的獲得與使用．首先，當處于問題情境中，主體對外界信息的選擇與加工需要過去知識經驗的參與；其次，當面對新的刺激信息，要賦予新信息一定的意義時，主體必須把其納入已有的數學問題圖式中，相關圖式的激活能幫助主體迅速理解問題的本質，而數學問題圖式所提供的相關知識經驗也可彌補問題情境中所缺失或隱藏的信息，使得主體對新信息的組織和理解更為合理有效，從而提高問題解決的效率；再次，當主體確定了問題的性質，對問題有了正確的理解，這時仍需要啟動正確的數學問題圖式才能獲取解決問題的有效方法．另一方面，數學問題圖式有時候也會阻礙問題的順利解決，一般來說，它在3個方面干擾問題的解決：第一，可能造成大量信息的喪失，由于圖式對信息有過濾和篩選的作用，這樣許多信息就有可能被過濾掉，從而影響了對信息的全面獲取；第二，圖式常難以去除，圖式本身可以構成定勢，當主體形成某種數學問題圖式后，往往傾向于用這種固有圖式去組織和同化信息，這會阻礙新的更為合適的圖式的形成；第三，可能使用錯誤的圖式，誤導問題解決，一旦激活了錯誤的數學問題圖式，主體對問題的理解和加工均在一個錯誤的框架里進行，必然導致問題解決的失敗．

下面再次對師范數學專業二年級學生解題過程進行個案分析．

例3 已知z∈C，且滿足，，求復數z．

被試D（成績差）：看到有輻角的題，我感覺求解困難．轉化成代數形式；令代入已知得：

被試 E（成績中）：已知輻角主值，立刻想到復數的三

被試G（成績好）：一看到題中的輻角主值，立刻想到復數的三角式，又聯想到了復數zn+3，zn-3的幾何意義．要想將這兩部分結合起來，需建立直角坐標系．將zn+3，zn-3在坐標系中表示出來，這樣就得到zn所對應的M點，這時問題變得明朗了，即利用已知條件畫出圖形求出zn，進而求出

可見，被試 D在解題過程中，沒有構成相關的圖式，難以求解；被試 E在解題過程中，能夠構建復數的三角形式圖式，但zn+3，zn-3沒有激活相關圖式，這是造成思路受阻的主要原因；被試F在解題過程中，zn+3，zn-3沒能激活復數幾何意義圖式，在經過代換后，才激活此圖式，說明其復數幾何形式圖式不完整．后面受向量模的性質影響，出現錯誤復數性質圖式，從而誤導結論；被試 G在解題過程中，輻角主值激活復數三角形式圖式，由zn+3，zn-3激活復數幾何意義圖式，然后對激活的兩個圖式進行分析，構造最佳擬合狀態——建立直角坐標系，致使問題得以解決．

3 數學問題表征和數學問題圖式的關系[16～18]

數學問題表征和數學問題圖式是兩個既有區別又有聯系的概念，一方面，數學問題表征是數學問題圖式形成的基礎，也是數學問題圖式應用的基礎，數學問題圖式的形成首先需要對問題進行正確的表征，沒有對問題的正確表征就不可能有完善的問題圖式，數學問題圖式的激活也需要以數學問題表征為前提．另一方面，數學問題圖式對于數學問題表征也具有重要意義，對一個問題進行正確的表征首先需要從長時記憶中激活相關的問題圖式，并在圖式的框架中對問題信息進行篩選和組織加工．沒有圖式的參與，問題中呈現的信息是零亂和缺乏意義的．數學問題表征時需要深化整合、靈活遷移已有的數學問題圖式，對于一些陌生問題，沒有直接同化當前情境的圖式，數學問題表征的過程也就是嘗試建立這類問題新圖式的過程，如上面被試C求解例1的幾何表征問題過程其實也是用函數圖像求解不等式問題的圖式建立過程．

下面例題說明，對問題深層結構的正確表征，更容易激活問題圖式，順利地解決問題．

例4 設α，β是關于x的方程0①的根，試證明關于x的方程的根是a，b．

題目的條件說α，β是方程①的根時，a，b處于方程系數的位置；題目的結論說a，b是方程②的根時，α，β處于方程系數的位置．因而，條件與結論之間，(α,β)與(a,b)之間都有一種對稱關系，所以，條件表征為

對比，只需作一步移項運算就消除了差異．

反之，圖式的水平也影響到問題表征[19]．較高的圖式水平能夠促進問題的深層結構表征，如果一個問題的解決要求的表征復雜性越大，對知識基礎的要求越多，那么該問題圖式的水平就越高，并且優生通常比普通生有更高的圖式水平，更善于表征問題中復雜的關系[20]．

數學問題圖式的水平主要表現為主體所掌握的數學知識、思想方法、解題策略和經驗的概括程度．一級水平為“一對一”圖式，即把一道題及其解法作為圖式．二級水平為：“典型實例”圖式，即記住某類題中一道典型題的解題思路，以后遇到類似問題，就以此為例去解決．第三級為“概括特征”圖式，即摒棄題的具體內容，概括了某類題的一般特征及解題思路．圖式級別越高就越能夠正確表征問題、求解問題．

由上可見，提高數學問題表征能力和數學問題圖式水平對提高數學解題能力、完善和發展學生認知結構有較高的價值和指導意義．一方面，教師在教學中要重視數學問題表征能力的培養．為此，要注重培養學生對數學問題語意的理解和轉化能力、優化學生的數學認知結構、完善學生數學問題的多元表征系統．另外，數學學習信念直接或間接地影響著問題的表征[21]，所以增強學生數學學習的信念也不可忽視．另一方面，在教學中必須有意識地構建數學問題圖式．圖式形成后，還須防止誤用圖式，要注意將正確應用該圖式的情景與誤用情景進行比較，以識別關鍵差異，并將關鍵差異編碼作為圖式的一部分．此外，圖式抽象水平應該符合學生的思維發展水平．圖式抽象概括時，不能局限于學生當前的思維水平，要積極推動學生的抽象思維水平的發展；但也不能單憑教師的主觀愿望一味強調圖式抽象，當超出學生的接受能力時，總結出來的“概括特征”圖式就會變成學生記憶的負擔，很難被學生靈活地用到解題活動中[3]．

[1]于文華．基于數學問題解決的模式識別研究述評[J]．數學教育學報，2012，21（3）：11-16．

[2]王林全．問題解決的有關心理活動及其思考[J]．數學教育學報，2002，11（1）：36-38．

[3]郭兆明，宋寶和，張慶林．代數應用題圖式研究概述[J]．數學教育學報，2007，16（4）：20-23．

[4]徐速．數學問題解決中視覺空間表征研究的綜述[J]．數學教育學報，2006，15（1）：35-38．

[5]Simon H A．人類的認知—思維的信息加工理論[M]．荊其誠譯．北京：科學出版社，1986．

[6]喻平．數學教育心理學[M]．南寧：廣西教育出版社，2008．

[7]何小亞．解決數學問題的心理過程分析[J]．數學教育學報，2004，13（3）：34-36．

[8]唐劍嵐．國外關于數學學習中多元外在表征的研究述評[J]．數學教育學報，2008，17（1）：30-33．

[9]Novick L R, Hurley S M, Francis M. Evidence for Abstract, Schematic Knowledge of Three Spatial Diagram Representations [J]. Memory Cognition, 1999, 27(2): 288-308.

[10]Kaplan C A, Simon H A. In Search of Insight [J]. Cognitive Psychology, 1990, (32): 374-419.

[11]Markman, Dietrich. In Defense of Representation [J]. Cognitive Psychology, 2000, 40(2): 160-167．

[12]Simon H A．認知科學的一些最新進展[J]．心理學報，1991，23（2）：153-157．

[13]Larkin. Expert and Novice Performance in Solving Physics Problems [J]. Science, 1980, (208): 20.

[14]Rumelhart, D E Schemata. The Building Blocks of Cognition [A]. In: R J Spiro. Theoretical Issues in Reading Comprehension [C]. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, 1980.

[15]徐青．場認知風格與圖式水平對幾何問題表征的影響[D]．河南大學，2010．

[16]Hans G K Hummel, Rob J Nadolski. Cueing for Schema Construction: Designing Problem-solving Multimedia Practicals [J]. Contemporary Educational Psychology, 2002，(27): 229–249.

[17]張夏雨，喻平．基于關系—表征復雜性模型的問題圖式等級性研究[J]．數學教育學報，2009，18（4）：46．

[18]李善良．數學概念表征層次的研究[J]．數學教育學報，2005，14（4）：35–37．

[19]鄧鑄，姜子云．問題圖式獲得理論及其在教學中的應用[J]．南京師范大學學報（社會科學版），2006，（4）：111-115．

[20]張夏雨，喻平．不同學業水平學生數學問題圖式的差異性研究[J]．數學教育學報，2011，20（1）：45-48．

[21]唐劍嵐．學生數學認識信念的研究述評[J]．數學教育學報，2007，16（1）：29-33．