香港數學教科書中數學史的編排特征與啟示

謝益民

（暨南大學 華文學院，廣東 廣州 510610）

數學史對數學教育有重要的價值，在引發學習動機、為數學增添“人情味”、了解數學思想發展過程以及構筑數學與人文之間的橋梁等方面有不可忽視的作用．20世紀70年代起，HPM（History and Pedagogy of Mathematics）研究一直致力于數學史知識的史學形態向教育形態的轉化，使數學史為生動活潑的數學教學服務．中國香港地區一綱多本的教科書制度已有五十多年，數學教學引入數學史已經有相當長的時間[1]，現行新學制仍將數學史融入數學課程置于重要地位，新課程指引[2]強調“學生應欣賞數學中的美學及文化”、“課程亦包括個別數學課題的發展和歷史背景，讓學生明白數學如何從前人的努力中演變出來”以及“欣賞數學的精確性、美感和在文化方面的貢獻，以及其在人類活動上所發揮的作用”，等等．香港是中西文化交匯之地，因長期受西方思潮和傳統文化的浸染，數學課程具備兼收并蓄的特征，目前香港各版本高中數學教科書不同程度地融入了數學史料，這些數學史料在內容選擇、內容分布、呈現方式及內容設計等編排方面頗具特色．這里以香港新學制新版高中數學教科書《數學新思維》（必修部分）[3]為例介紹并分析“數學史融入數學教科書”的編排經驗，以期能為中國內地數學教科書編寫提供有益借鑒．

1 教科書內容體系

教科書《數學新思維》（必修部分）分為A、B、C、D、E五冊，共22章，教學內容涵蓋“數與代數”、“度量、圖形與空間”和“數據處理”3個學習范疇，其中A、B兩冊主要涉及“數與代數”范疇，C、D兩冊主要涉及“度量、圖形與空間”范疇，E冊主要涉及“數據處理”范疇．

每章末都設有“探究天地”單元，附設在教科書的每一章后面，但不作為一節，共有22個探究單元；每冊末還安排一個進階學習單元“數學的進一步應用”，附設在每冊教科書最后，但不作為一章，共5個單元，涉及9個探究專題．各冊具體教學內容如表1．

表1 各分冊的教學內容

2 數學史融入教科書的編排特征

數學史融入教科書的編排是以文字、圖像、圖表等為基礎，并根據數學史元素和特定數學教學內容的需要進行的一種組織構造性設計，具有外部、內部特征，數學史內容選擇、內容分布及呈現方式屬于外部編排特征；而數學史內容設計卻體現了內部編排特征，并表現出顯性與隱性的特質．

2.1 教科書注重數學史內容多元化

以知識點為單位，這套教科書中共有33處數學史內容，具體內容如表2．從整體來看，每冊教科書都編排了數學史內容，體現出一定的廣度與連貫性，但數學史內容主要集中在A、B兩冊，共有22處，占數學史知識點總數的66.7%，而這兩冊主要涉及“數與代數”的教學內容，說明在香港高中教科書中“數與代數”方面的數學史內容比較受重視，這應與香港高中數學課程必修部分注重“數與代數”內容的學習分不開的．所選數學史的類型主要有數學家的生平介紹及其成果、數學家的趣聞軼事、數學問題解決的一些經典方法、數學知識形成與發展的相關史料以及經典數學問題等，例如，A冊安排了“韋達生平介紹及其定理”，歐拉首創虛數單位 i等；B冊穿插了“塔塔利亞和費羅的數學比賽”；C冊重溫了“高斯等差數列快捷求和法”；D冊介紹了“線性規劃的發展”；E冊引用了“跳舞人字條里所蘊含的密碼學問題”．

表2 各分冊中的數學史內容

教科書中數學史內容關涉12個國度（如表3），這些國家先后共被提及31次，但僅出現4次亞洲國家，中國僅兩次，出現頻率高的國度主要集中在歐洲地域，出現25次，占國家總頻數的80.6%，可見該教材比較注重歐洲圈的數學史滲透，這可能源于香港地區獨特的歷史與文化背景．另外，數學史內容不是站在數學角度以史論史，而是廣涉藝術、哲學、測量學、軍事學等6個學科領域（如表3），例如探索太極圖背后的哲理、從軍事學視角了解線性規劃等，這就將數學史從多角度融入到數學教科書中．所選主題的史料關涉多個國度，廣泛融合多個學科領域，注重數學史的跨學科聯系，體現出內容及學科領域的多元化特色．

2.2 教科書將數學史料融入數學探究課題

數學史內容全部分布在相應“內容章節”、“探究天地（如圖1a）”、“數學的進一步應用（如圖1b）”，因“探究天地”與“數學的進一步應用”單元不作為“節”與“章”，故在此視作兩個獨立部分與“內容章節”區分，如表4．

表3 各分冊數學史關涉國度與學科及頻數

圖1 教材圖示

表4 各分冊的數學史分布與呈現方式及頻數

“內容章節”分為引言（如圖1c）、正文、例題與習題．引 言部分以數學史為背景安排了關于“二次方程”、“黃金比”、“測量”、與“太極圖”共4個探究性課題．正文部分是數學史分布的主陣地，共涉及20處，占數學史總數的60.6%，其中以節為單位，分布在各節的有11處；整節以史為主線的有兩處；旁注共7處．值得一提的是，“數系”與“對數函數的發展”這兩節內容整節以史為主要線索展開數學探究活動，輔以案例、例題闡釋歷史發展過程中的疑惑．在例題與習題里很少或沒有涉及數學史內容，不失為一大遺憾．此外，數學史內容分布在“探究天地”與“數學的進一步應用”的探究活動中，“探究天地”共設 22個探究單元，其中 3個探究單元以數學史作為背景引出或展開，占探究單元總數的13.6%；“數學的進一步應用”共設有9個探究性專題（如表 1），其中斐波那契數列、三次方程、托勒密定理、塞瓦定理與密碼學5個探究性專題以數學史為背景展開，占探究性專題總數的55.5%，以史為載體的探究活動更富有文化味與人情味，對學生更有親和力，易引起學生的探究興趣與樂趣．

2.3 教科書以“螺旋上升”形式編排重要史料內容

該教科書中的數學史編排并非某處教學內容的點綴，而是以“螺旋上升”的形式將不同課題內容相互關聯．例如A冊第二章引言部分是關于“黃金比”的探究性問題，本章末的“探究天地”繼續探索“黃金比在藝術中的應用”，A冊與 C冊的“數學的進一步應用”單元分別編排“斐波那契數列”與“托勒密定理”，而且都涉及“黃金比”，這體現了該教科書中數學史分布的銜接性與統整性．以此為基礎，完全可以再衍生出關于“黃金比”的更深入的探究專題，這為師生用好教科書留下了更多的思考空間．顯然這種數學史編排設計符合學生認知水平發展，也可以幫助教師預測和解釋學生在學習過程中可能出現的障礙和錯誤．

2.4 教科書運用“歷史地圖”的獨特呈現方式

通過表4，可以看出教科書中的數學史除在一處僅以文字敘述之外，其它均以文字、圖片配合呈現為主，圖片主要有人物肖像、歷史圖案、數學圖案與歷史地圖等類型，值得注意的是，在“數系”一節末配以一幅世界地圖闡述數系的發展史（如圖 1d）”，這種呈現方式似乎將數系的曲折發展過程演繹成了一個生動而有趣的歷史故事．在數學教科書中以文字、圖片呈現數學史內容是公認的呈現方式，而“歷史地圖”似乎是歷史教科書的專利，但該套高中數學教科書以“歷史地圖”的方式在一幅世界地圖上生動再現數系的曲折發展歷程，這可能比任何其它方式都更容易使學生在頭腦中構建數系及其發展歷程的圖式．

2.5 教科書融合多種數學史內容設計模式

該套教科書沒有閱讀材料式的數學史內容編排，數學史內容均融合到各個章節以及相應探究專題中，體現出“數學史融入教學內容”、“數學史為主線的教學內容”與“以史料為背景引出探究課題”3種設計模式．第一種設計模式以學習內容為主線，把蘊含數學思想方法的數學史的文化教育功能發揮出來，讓學生在學習數學知識、欣賞數學的美感及文化感的同時并能體驗數學思想方法，這是隱性融入的取向，如“高斯等差數列快捷求和方法”將數學思想方法完全融入教學內容．后兩種設計模式蘊含“學習內容引出數學史”和“數學史引出學習內容”的理念，是數學史引領數學知識的學習，使學生置身于歷史境遇中，對相關知識點形成歷史性理解，具有顯性融入的特質，例如“對數函數的發展”是“數學史為主線的教學內容”的模式，由對數相關學習內容引出數學史．涉及數學史的“引言”、“探究天地”及“數學的進一步應用”是“以史料為背景引出探究課題”的模式，以數學史作為背景內容引出學習內容．

3 香港經驗對中國內地數學教科書編寫的啟示

隨著HPM研究不斷深入，學界就數學史與數學學習之關聯提出了一系列理論，其中“歷史發生原理”[4]認為個體數學理解的發展遵循數學思想的歷史發展順序，這是運用數學史于數學教育的重要理論基礎之一．“歷史發生原理”在縱向維度提供一個衡量現行知識編排合理性的標準，同時也為設置更加符合學生認知過程的課程提供了指導；在橫向維度上又為研究者提供了更加有效地利用歷史元素設計教學的方法．香港高中教科書融入數學史的編排中不乏踐行了“歷史發生原理”的理念，其有益經驗能為中國內地高中數學教科書的編寫提供借鑒．

首先，教科書中數學史內容選擇要注重多元化．多元化不僅要尊重內容及學科領域多元化，也要尊重文化多元化，這樣學生自然會看到數學世界多姿多彩的一面．內地高中數學教科書中數學史主要集中在數學家生平、歷史名題等內容的介紹，內容及學科領域多元化顯然體現還不夠．數學史料的內容及學科領域多元化并非將所有與課程內容相關聯的數學史編入教科書，而是要本著學生能接受并能促進數學知識的深入理解的原則，針對教科書中不同內容來選取與其相關的數學史內容，并將發散的多領域多學科的搜索聚斂到數學學科的核心本位，即以數學為中心輻射其它領域，而其實課題與課題間在歷史上顯然不是孤立地發展起來，個中之脈絡是最自然的聯系．文化多元化也是不可或缺的，“老是講中國數學比西方數學早多少年”[5]的爭論易引發文化沙文主義（chauvinism）和狹隘民族主義，數學史料來源既要照顧民族感情，又要有國際胸懷，如“勾股定理”與“畢氏定理”、“楊輝三角”與“帕斯卡三角”可以同時在教科書中加以標注，以照顧不同的文化情懷．

其次，教科書中數學史呈現手段應強調多樣化．在呈現途徑上，內地教科書中數學史在“閱讀材料”和旁注中呈現居多，如某套新課程標準高中數學必修教材中，數學史的有關內容共有22處，這些數學史內容分別出現在正文、例題、習題和閱讀材料中，其中閱讀材料占 63.64%[6]．在呈現方式上，內地高中教科書中數學史主要以文字呈現，如某套新課程標準高中數學必修教科書中的數學史 73%以純文字給出，以純圖片形式給出的沒有[7]，顯然香港高中教科書中數學史“圖文并茂”的呈現方式值得借鑒．但在具體編寫過程中，“圖”、“文”以及“圖文組合”都可以多樣化，呈現形式要盡可能豐富化，以激起學生的興趣．由于學生對數學知識的認知過程和歷史上該知識的發展過程存在一定的相似性，在不少教學的情境中融入數學史的目的除了在數學加點“人味”并讓學生懂點數學史以外，更要引導學生學會歷史地思考與理解數學知識的發生過程，所以數學史融入數學教科書是可以全方位、多樣化滲透．

最后，教科書中數學史內容設計要兼顧多模式．雖然目前內地現行高中教科書收錄了部分數學史材料，但形式比較單一[8]，數學史融入方式大都采用“附加式”，基本是“閱讀材料式”的設計模式仍占主流，有些數學史料未作教育形態的加工，知識性與學術性太強，這種有“閱讀材料之嫌”的數學史易被忽視，這就很難為教師研制教學案例、開展課堂教學提供直接的、有效的素材，難以發揮應有的價值[9]．想探討某些數學概念形成的來龍去脈，又或想設計一些專題活動、想豐富教學話題等，數學史均能提供尚佳的素材，甚至能為數學較佳的學生設計增潤活動[10]，所以需要兼顧多種設計模式將數學史料進行教育形態的轉化，尤其要注重隱性融入模式的開發，“不提數學史，但用數學史”[11]，使數學史中所蘊含的數學思想方法更有效地融入教科書．另外，港版教科書中用數學史引出探究課題的設計范式無疑值得借鑒，這也剛好契合了中國內地高中數學新課標推崇的三大新增版塊之一“數學探究”的理念．

總之，無論香港還是內地，數學史在新數學課程改革中都得到了廣泛的重視，數學史不再是被邊緣化的學習內容，已進入數學知識體系的重要位置，在教科書中也占一席之地．當前數學史走入數學課堂的焦點已不在于理論層面的“應然性”探討，而在于具體教學行為中的“實然性”操作．盡管數學史融入數學教學的國際研究已經相當廣泛和深入，多種融入模式對開展HPM實踐都有很好的、甚至是直接的參考和借鑒價值[12～17]，但最緊迫的是既要立足本土，又要放眼全球，發展出一套從中國的數學傳統出發并融合國外數學文化，且適合國人的數學史融入數學教科書的可操作模式，其中究竟如何更有效地促進數學史料形態加工與轉化成教育形態并融入數學課程內容，這些都值得研究者們持續關注．

致謝：文章撰寫過程中承蒙導師宋乃慶教授的悉心指導，以及楊新榮博士的寶貴建議，在此一并深表謝意！

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