新的直覺模糊熵公式及其應用

沈小雪，郭嗣琮

遼寧工程技術大學理學院，遼寧阜新 123000

新的直覺模糊熵公式及其應用

沈小雪，郭嗣琮

遼寧工程技術大學理學院，遼寧阜新 123000

1 引言

在模糊集理論誕生的初期，模糊熵就作為一種重要的模糊信息度量被引入，并廣泛應用在模式識別、圖像處理、神經網絡等領域。隨著模糊集概念的拓展，熵理論的應用也延伸到更多的領域。

模糊集熵的公理化定義是由De Luca和Termini在1972年給出的[1]，1986年，保加利亞學者Atanassov提出了直覺模糊集的概念[2-3]，拓展了傳統的模糊集。其后，Gau等人提出了Vague集的概念[4]，Bustince H和Burillo P證明了這兩個概念在本質上是相同的[5]，并最早提出了直覺模糊集的模糊熵的公理化定義[6]。拓展的直覺模糊集模糊熵及相關理論的研究引起人們的興趣，大批學者對直覺模糊集和Vague集的模糊熵開展了深入探究。

由于Burillo P和Bustince H給出的直覺模糊集熵的定義與模糊集熵之間不具有相容性，2001年E.Szmidt和J.Kacprzyk[7]提出了另一種直覺模糊集合熵的公理化定義，并且給出模糊熵的計算公式。李凡等人在文獻[8]中指出任意的Vague集的模糊熵可以用其對應的Fuzzy集的模糊熵來表示，但是，黃國順等在文獻[9]中指出了文獻[8]的不足之處，考慮了影響Vague集模糊熵的兩個因素，提出一個基于非模糊集的Vague集模糊熵公理化定義，給出一個該類熵的計算公式。其后，許多人在前人研究的基礎上進一步修正了Vague集模糊熵的公理化定義，用真假隸屬度的差異來反映Vague本身具有的模糊性，并相應得到新的模糊熵[10-19]。呂印超等在文獻[20]中指出直覺模糊熵應同時反映模糊性和不確定性兩方面的影響，提出了模糊度定義，并給出新的修改后的公理化定義，給出直覺模糊熵的一般形式，討論了模糊熵與測度之間的關系。吳濤等人在文獻[21]中指出文獻[20]中公理化定義的不合理處，提出新的公理化定義，并且給出新的直覺模糊熵的計算公式。在文獻[21]的基礎上，文獻[22]提出了基于直覺模糊熵的多屬性直覺模糊決策問題。

然而，本文通過實例發現文獻[21]中直覺模糊熵計算公式仍存在不合理之處，進而給出新的直覺模糊熵的計算公式，并證明新的計算公式符合文獻[21]中提出的直覺模糊熵公理化定義，并且把直覺模糊熵轉化為權重應用到模糊推理中。

2 基礎知識

定義2.1[2]（直覺模糊集）設X是一個給定的有限論域，則X上的一個直覺模糊集A為：

用P(X)和F(X)分別表示X上所有普通集合和模糊集合全體，IFS(X)表示X上所有直覺模糊集全體。

在上述定義中，若?x∈X，都有μA(x)+νA(x)=1，則直覺模糊集退化為模糊集。對于給定的x∈X，稱

為A中x的直覺指數，π(x)為元素x屬于A的猶豫度或不確定度。它是x對A的猶豫程度的一種測量，表示“非此非彼”的中立狀態。

X中x屬于A的隸屬度和非隸屬度所組成的有序數對：

稱為直覺模糊數[23]。

定義2.2[20]（模糊度）稱：

為x在A中的模糊度。

在直覺模糊集中，隸屬度和非隸屬度從不同側面反映了集合元素的模糊性，而猶豫度反映了集合元素的不確定性。因而，直覺模糊集的熵應該綜合反映模糊性和不確定性這兩個方面的性質。

3 現有直覺模糊熵的不足

Burillo P和Bustince H給出的直覺模糊集的模糊熵的公理化定義主要考慮了直覺模糊集的不確定性，忽略了直覺模糊集的模糊性，當直覺模糊集退化為模糊集時，該定義與模糊集熵的定義不一致，因而，Szmidt E和Kacprzyk J于2001年提出了直覺模糊熵的新的公理化定義。

定義3.1[7]稱映射E：IFS(X)→R+為IFS(X)上的熵，如果E滿足下列條件：

但是，不難發現，在該定義中，直覺模糊熵主要考慮了直覺模糊集的模糊性，但又忽略了直覺模糊集的不確定性。

文獻[20]同時考慮了直覺模糊集的不確定性和模糊性，對定義3.1中條件（3）進行補充，將其修改為：

但是，不難看出上述式子仍存在缺陷，例如A1=＜0.3,0.1＞，A2=＜0.3,0.2＞，由公式（2）求得E(A1)=E(A2)= 0.7，顯然與直覺也不符合。

4 新的直覺模糊熵公式

從而表明新的直覺模糊熵比文獻[21]更符合直覺。

5 直覺模糊推理算法

直覺模糊推理模型為：

步驟1由公式（4），計算出所有直覺模糊數Aij的直覺模糊熵E(Aij)。

步驟2由式（5），求得所有權重ωij。

表1 直覺模糊數的病情知識

步驟3利用公式（6），求出給定輸入A*與每個直覺模糊推理規則前件Ai(i=1,2,…,n)的加權Hamming距離di=d(A*,Ai)。

步驟4若di=min{d1,d2,…,dn}，則取給定輸入A*對應的結論為Bi。

6 實例分析

在疾病診斷中，人們可以通過對“晨僵”、“關節痛”、“發熱”、“水腫”、“皮疹”的癥狀觀測，來實現對“系統性紅斑狼瘡”、“類風濕性關節炎”、“系統性硬化癥”、“骨關節炎”和“痛風”這五種疾病的診斷。

為能得出正確的診斷，需要借用在長期臨床實踐中得到的直覺模糊數表述病情的有關醫學知識，即直覺模糊推理規則。這個規則也可以利用一個表給出，如表1。

現有一患者，其關于“晨僵”、“關節痛”、“發熱”、“水腫”、“皮疹”的直覺癥狀為：

7 結束語

本文給出了新的直覺模糊熵的計算公式，并且證明了其符合文獻[21]修正的直覺模糊熵的公理定義。進一步根據該直覺模糊熵來確定因素的權重，并將其應用到直覺模糊推理問題中。

[1]De Luca A，Termini S.A definition of a nonprobabilities entropy in the setting of fuzzy set theory[J].Inform and Control，1972，20：301-312.

[2]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20：87-96.

[3]Atanassov K.More on intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，33（1）：37-46.

[4]Gau W L，Buchrer D J.Vague sets[J].IEEE Trans SMC，1993，23（2）：610-614.

[5]Bustince H，Burillo P.Vague sets are intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems，1996，79（3）：403-405.

[6]Burillo P，Bustince H.Entropy on intuitionistic fuzzy sets and on interval-valued fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1996，78（3）：305-316.

[7]Szmidt E，Kacprzyk J.Entropy for intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems，2001，118：467-477.

[8]李凡，呂澤華，蔡立晶.基于Fuzzy集的Vague集的模糊熵[J].華中科技大學學報：自然科學版，2003，31（1）：1-2.

[9]黃國順，劉云山.關于Vague集的模糊熵[J].計算機工程與應用，2005，41（33）：48-50.

[10]牛彩云，楊勇，金蘭.一種新的直覺模糊集的熵[J].計算機工程與應用，2009，45（34）：32-34.

[11]王毅，雷英杰.一種直覺模糊熵的構造方法[J].控制與決策，2007，22（12）：1390-1394.

[12]孫寧寧，余建坤，楊力軍.一種新的Vague集的熵[J].計算機工程與應用，2011，47（24）：43-45.

[13]江偉，梁家榮，蔣建兵.新的Vague熵構造方法[J].計算機工程與應用，2008，44（27）：75-77.

[14]王凌云，魯小云，王治和.Vague集模糊熵的再研究[J].計算機工程與應用，2009，45（30）：31-33.

[15]彭芳艷，梁家榮，伍華健.Vague集模糊熵的新構造方法[J].計算機工程與應用，2009，45（29）：52-54.

[16]朱六兵，楊斌，陳紀東.Vague集模糊熵的構造方法研究[J].模式識別與人工智能，2006，19（4）：481-484.

[17]范平，梁家榮，李天志.Vague集的新模糊熵[J].計算機工程與應用，2007，43（13）：179-181.

[18]李天志，梁家榮，范平，等.Vague集的模糊熵[J].計算機應用研究，2007，24（10）：93-98.

[19]徐鳳生.Vague集的模糊熵及其構造[J].計算機工程與應用，2011，47（23）：39-40.

[20]呂印超，郭嗣琮.直覺模糊集的熵及其一般形式[J].計算機工程與應用，2011，47（28）：52-55.

[21]吳濤，白禮虎，劉二寶，等.直覺模糊集新的熵公式及應用[J].計算機工程與應用，2013，49（23）：48-51.

[22]秦華妮，駱達榮.直覺模糊熵與加權決策算法[J].數學的實踐與認識，2012，42（4）：255-260.

[23]Xu Z S，Yager R R.Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets[J].International Journal of General Systems，2006，35：417-433.

[24]Szmidt E，Kacprzyk J.Distances between intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，2000，114（3）：505-518.

[25]萬鑫.模糊推理在急病輔助診斷系統中的應用研究[D].長沙：湖南大學，2009.

SHEN Xiaoxue,GUO Sicong

College of Science,Liaoning Technical University,Fuxin,Liaoning 123000,China

The entropy for intuitionistic fuzzy sets reflects the fuzziness and uncertainty of the intuitionistic fuzzy sets.Therefore, it is extremely significant to put forward the reasonable and right axiomatic definition and calculation formula of the intuitionistic fuzzy sets.The paper points out the irrationality of the calculation formula in the literature by example,and puts forward a new calculation formula of the entropy for intuitionistic fuzzy sets.The proof is given.The weight determined by the entropy for intuitionistic fuzzy sets is applied to the fuzzy reasoning.Accordingly,to solve the practical problems is effective.

intuitionistic fuzzy sets;entropy;weight;fuzzy reasoning

直覺模糊熵反映了直覺模糊集的模糊性和不確定性，因而提出合理正確的直覺模糊熵的公理化定義以及計算公式是十分重要的。通過實例指出已有文獻中直覺模糊熵計算公式的不合理，提出新的直覺模糊熵的計算公式，對其進行了證明。根據該直覺模糊熵確定的權重應用到模糊推理過程中，從而有效地解決實際問題。

直覺模糊集；熵；權重；模糊推理

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0467

SHEN Xiaoxue,GUO Sicong.New entropy formular for intuitionistic fuzzy sets and its application.Computer Engineering and Applications,2013,49（24）：28-31.

教育部高校博士學科點專項科研基金（No.20102121110002）。

沈小雪（1988—），女，碩士研究生，研究領域為模糊推理；郭嗣琮（1951—），男，教授，研究領域為模糊分析學、模糊預測與決策等。E-mail：xiaoxue1989314@163.com

2013-06-03

2013-08-19

1002-8331（2013）24-0028-04

CNKI出版日期：2013-10-11http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20131011.1653.001.html