圖像濾波的商空間粒計算算法

高正龍，吳濤，2，陳小波，楊瑩瑩

1.安徽大學數學科學學院，合肥 230601

2.安徽大學數學科學學院安徽大學智能計算與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230601

圖像濾波的商空間粒計算算法

高正龍1，吳濤1，2，陳小波1，楊瑩瑩1

1.安徽大學數學科學學院，合肥 230601

2.安徽大學數學科學學院安徽大學智能計算與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230601

1 引言

數字圖像在采集和傳輸的過程中，傳感器和傳輸通道經常會發生噪聲。噪聲的存在嚴重影響了圖像質量，使得后續的圖像分割、特征提取、模式識別、圖像融合等變得難以實現，因此對噪聲圖像進行必要的濾波就顯得尤為重要。近年來人們根據圖像噪聲的特點、規律，提出了各式各樣的去噪方法，主要是基于空間域去噪方法、變換域去噪方法和一些新興的圖像噪聲濾波器并取得了明顯的效果[1-8]。然而這些方法在噪聲檢測過程中主要是基于固定窗口大小或給定窗口中檢測的方向，容易造成噪聲的漏檢、誤檢或增加了運算代價；基于K-SVD[7]的濾波算法（K-SVDF）對頻域變換產生的冗余字典進行訓練，以便形成能夠有效反映圖像結構特征的超完備字典[8]，然后再進行濾波，盡管該算法能實現高效濾波，但訓練速度較慢。商空間理論模擬人依不同粒度進行思維的能力，討論論域、屬性、結構在不同粒度下的表示、性質以及這些表示、性質之間的相互依存、相互轉換的關系，將問題放在各種不同粒度的空間（商空間）上進行分析研究，然后綜合得出對原問題的解，提高問題求解效率[9]。本文基于該理論，構造了粒度噪聲檢測器和粒度逆諧波均值濾波器，首先將待檢測的噪聲圖像分割不同的粒度窗口，形成商空間簇，并在此粒度下對每個窗口實施檢測，然后結合保假原理判斷是否需要再劃分到細粒度空間中進行判斷，最后對已檢測為噪聲粒度空間中的噪聲點實施分類標記和濾除。從而較好地避免了噪聲檢測過程中噪聲點之間的相互干擾、噪聲點濾除方式的單一，很好地解決了傳統方法在噪聲濾波中存在的不足。實驗結果表明，本文算法除了具有較強的濾除噪聲能力，同時還能夠較好地保持圖像的細節紋理特征、改善圖像質量、提高信噪比等。

2 商空間粒度理論

商空間粒度理論是由張鈸、張鈴教授根據人類處理問題的特點提出的問題求解理論，該理論用(X,f,T)三元組表示一個復雜的實際問題，其中X表示該問題的論域，f(·)表示該論域的屬性，用函數f:X→Y表示，其中Y可以是任意集合，也可以是更一般的空間，f(·)可以是單值也可以是多值的；T為論域結構，指論域X中各元素間的相互關系。該理論自提出以來在圖像分割[10]、聚類分析[11]、圖像檢索[12]等方面得到了廣泛的應用并取得了較好的效果。

問題求解的商空間理論本質上是一種在集合論的框架下粒度計算模型，從不同的粒度世界研究問題(X,f,T)，就是在不同的等價關系R下對其商空間([X],[f],[T])的研究。然而對于復雜的問題在具體求解時，為了有效降低計算量，一般是從粗粒度空間到細粒度空間選擇適當的粒度進行求解，然后再研究不同粒度間的關系、粒度的合成、綜合、分解和在商空間中的推理，這主要是基于以下兩個原理：

保假原理：若一個命題在粗粒度空間為假，則該命題在細粒度空間中也為假。

保真原理：若一個命題在兩個粗粒度空間為真，則在一定條件下在其合成的商空間中的命題也為真。

3 基于商空間粒計算噪聲檢測與標記算法

3.1 噪聲檢測的商空間描述

設(X,f,T)表示待檢測噪聲圖像。X為全體像素點組成的論域，f為論域X中像素點的屬性函數（如像素值），T為X中像素之間的結構關系（如X中某點的一個八鄰域），則([X],[f],[T])就可以描述為不同商空間粒度下的噪聲檢測窗口。此時噪聲的檢測過程就是從粗粒度(X,f,T)到細粒度([X],[f],[T])間的變換。

3.2 粒度噪聲判別函數的構造

設噪聲圖像(X,f,T)，I(x,y)為論域X中像素(x,y)點的像素值，X(1)和X(end)分別為X中像素值的最大值和最小值，SI(x,y)表示與(x,y)具有相同像素值的集合，q(k)為控制粒度層次參數k的函數，Td控制噪聲閾值，則在該粒度下噪聲判別函數定義為：f(x)

3.3 粒度空間的劃分

粒度空間是實施粒度計算的重要依據，首先將待檢測的噪聲圖像(X,f,T)分割成塊，形成原始的粗粒度空間([X],[f],[T])，并在此粒度下對每塊實施檢測，然后結合保假原理判斷是否需要再劃分到細粒度空間中進行判斷，直至劃分到所能夠判斷的最細粒度。

3.4 粒度噪聲檢測

3.5 算法復雜度分析

圖1 噪聲圖片及各種算法結果

圖2 噪聲圖片及各種算法結果

圖3 噪聲圖片及各種算法結果

4 粒度逆諧波均值濾波器（GIHMF）的構造

由逆諧波均值濾波器[13]的除噪特點知，當噪聲點為下限噪聲時選擇Q為負值，當噪聲點為上限噪聲時選擇Q為正值均可達到相應的最佳濾波效果。本文采用的是將商空間粒度理論與逆諧波均值濾波器的優點相結合構造而成的粒度逆諧波均值濾波器。首先對已判斷為噪聲的點進行分類標記，然后在相應的粒度層次下對圖像（即論域X）中灰度值為I(x,y)的噪聲點(x,y)進行噪聲濾除，得到濾波結果(x,y)，從而達到了較好的濾波效果，有效地提高了運算效率。其中逆諧波均值濾波器表達式如下：

5 實驗結果與分析

為了驗證本文算法的有效性，本文采用不同算法對不同類型和不同強度噪聲圖像進行了對比實驗。這里給出了部分實驗結果。圖1（a）是對“lena”增加強度0.4的脈沖噪聲而形成的噪聲圖像，（b）～（e）依次為二維中值濾波（MF2）算法、自適應中值濾波（AMF）算法、K-SVDF算法和本文算法（GIHMF）的濾波結果；圖2（a）和圖3（a）分別是葉面和螞蟻的高強度噪聲圖像，（b）～（e）依次為MF2算法、AMF算法、K-SVDF算法和本文算法（GIHMF）的濾波結果。為了進一步客觀評價GIHMF的性能，本文還采用了歸正均方差（NMSE）和峰值信噪比（PSNR）作為評價標準進行比較。表1和表2是通過對“lena”增加不同強度噪聲得到的NMSE和PSNR。其中歸正均方差（NMSE）和峰值信噪比（PSNR）計算公式如下：

其中I(x,y)和(x,y)分別為原圖像和濾波后圖像在位置為(x,y)的像素值。

表1 各種方法的歸正均方差（NMSE）比較

表2 各種方法的峰值信噪比（PSNR）比較

從圖1～圖3、表1、表2的實驗數據可以看出，本文算法在不同噪聲強度較MF2和AMF均具有較強的濾波能力（噪聲點被濾除得較為徹底或者殘留較少），尤其是在噪聲污染嚴重時（圖2（a）和圖3（a）），在濾除噪聲的同時還能很好地保護圖像的邊緣、紋理、平滑性等細節特征（如圖2（d）中葉面的粗細脈絡清晰可見且噪聲點都被濾除干凈，圖3（d）中螞蟻的外形、眼睛和腿都可分辨出來）。同時由表1和表2也進一步說明本文算法的有效性。從表3中的算法濾波效率來看，由于MF2算法只與圖像大小有關，故而時間較為固定，但濾波性能最差；而對于自適應中值濾波算法在噪聲較弱時，速度較本文算法快，但隨著噪聲的增強，為了達到較好的濾波效果，增加了濾波窗口增大的次數，降低了濾波效率；而K-SVDF算法的濾波速度始終低于本文算法。

表3 各種方法的濾波速度比較s

6 結論與展望

由于傳統的濾波方法在噪聲檢測中存在的不足使得部分像素點被誤檢、漏檢或運算量較大，同時高低噪聲被采用同一種方式進行濾除，致使圖像的濾波效果不佳或平滑性遭破壞。本文采用的粒度噪聲濾波器和粒度逆諧波均值濾波器，通過選擇適當粒度層次進行檢測、濾波，避免了噪聲間的相互影響，從而改善了濾波效果，保護圖像紋理細節特征，改善圖像質量，提高信噪比。對于商空間粒度理論在圖像處理中的更廣闊的應用，還有待進一步的深入研究。

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GAO Zhenglong1,WU Tao1，2,CHEN Xiaobo1,YANG Yingying1

1.School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China
2.Key Laboratory of Intelligent Computing&Signal Processing of Ministry of Education,School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China

For the shortcomings of the traditional filter in the noise detection and filtering,this paper presents a new noise detection method and inverse harmonic mean filtering algorithm based on quotient space granular computing theory.The image with noise is divided into hierarchical granularity to form a semi order quotient space lattice,and then according to principle of falsity preserving,the proper granularity space is selected to classify the noise into two classes and it is filtered respectively.The experimental results show that the algorithm can filter out the noise better while keeping the details of the image texture features,improving image quality,and increasing signal to noise ratio.

quotient space theory;granularity;noise detection;granular-inverse harmonic mean filter

針對傳統濾波器在噪聲檢測和濾除中存在的不足，提出了基于商空間粒度理論的噪聲檢測和粒度逆諧波均值濾波算法。該算法將受噪聲污染的圖像劃分成不同粒度層次的商空間，形成商空間半序格，結合保假原理選擇適當的粒度空間實施噪聲分類檢測和分別濾除。實驗結果表明，該算法在濾除噪聲的同時能夠較好地保持圖像的細節紋理特征、改善圖像質量、提高信噪比等。

商空間理論；粒度；噪聲檢測；粒度逆諧波均值濾波

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1202-0359

GAO Zhenglong,WU Tao,CHEN Xiaobo,et al.Image filtering algorithm based on granular computing theory of quotient space.Computer Engineering and Applications,2013,49（24）：182-185.

國家重點基礎研究發展規劃（973）（No.2007BC311003）；國家自然科學基金（No.61073117）；安徽大學創新團隊（No.KJTD001B）；安徽大學研究生學術創新項目（No.yfc090008）。

高正龍（1985—），男，碩士研究生，主要研究方向：數字圖像處理，模式識別；吳濤（1970—），男，教授，研究生導師，主要研究方向：人工神經網絡，智能計算，數據挖掘等；陳小波（1985—），男，碩士研究生，主要研究方向：數據挖掘，商空間粒計算等；楊瑩瑩（1984—），女，碩士研究生，主要研究方向：破產概率的尾分布等。E-mail：gaozl011204@126.com

2012-02-20

2012-06-04

1002-8331（2013）24-0182-04