變系數加權誤差函數的判決反饋盲均衡算法

周巧喜，郭業才

1.安徽理工大學電氣與信息工程學院，安徽淮南 232001

2.南京信息工程大學電子與信息工程學院，南京 210044

變系數加權誤差函數的判決反饋盲均衡算法

周巧喜1，郭業才2

1.安徽理工大學電氣與信息工程學院，安徽淮南 232001

2.南京信息工程大學電子與信息工程學院，南京 210044

1 引言

水下通信系統中，帶寬受限和多徑傳播引起的碼間干擾（ISI）是影響通信質量的一個重要因素，需要有效的信道均衡技術來消除。目前，在不需要訓練序列的盲均衡算法中，線性均衡算法結構簡單、性能穩定，但只適用于干擾不太嚴重的水聲信道均衡[1-2]。判決反饋均衡器（DFE）由于反饋濾波器部件具有非線性特性，可以補償具有深譜零點的水聲信道[3-6]，在信道選擇性衰落較為嚴重時具有良好的性能，被廣泛使用。然而同線性均衡算法固有的缺陷一樣，非線性均衡算法也通常采用LMS準則進行迭代，誤差函數是均衡器權向量更新因子的一部分[7-8]。誤差函數不同，所得均衡器的權向量不同，進而所得均衡器的性能也不同。因此，誤差函數的形式和特點對算法的性能有著重要的影響。

由誤差函數的特性可知，誤差函數的不對稱性和不可調性是導致收斂速度慢和穩態誤差大的主要原因之一。針對這種情況，關于誤差函數的改進在文獻[9-10]中都給出了具體的改進方法，改進后的算法均衡效果都很好。但是它們的改進，前者是針對的某一種誤差函數，后者是構造了一種新誤差函數。但是，對于各種形式的誤差函數，若都改進為奇對稱形式以提高均衡的性能，則改進后的函數形式比較繁瑣，迭代過程也較復雜。

因此，本文在分析DFE結構以及幾種常用誤差函數特點的基礎上，提出了基于變系數加權誤差函數的判決反饋盲均衡算法。該算法可以改進各種誤差函數，提高它們的均衡效果，理論分析和仿真實驗證明了上述新誤差函數的有效性。

2 基于傳統誤差函數的判決反饋盲均衡算法

2.1 判決反饋均衡器系統模型

判決反饋濾波器一般包括兩個濾波器：前饋橫向濾波器和反饋橫向濾波器。前饋濾波器直接以信道的輸出作為輸入；而反饋濾波器則以均衡器本身的判決信號作為輸入，這個濾波器的輸出被用以抵消來自前面符號的部分干擾[11]。判決反饋均衡器的結構，如圖1所示。其中，a(k)是發射信號序列，c(k)是信道的沖激響應，n(k)是高斯白噪聲序列，y(k)是信道的輸出，f(k)和b(k)分別是前饋橫向濾波器和反饋橫向濾波器的抽頭系數，長度分別為Nf和Nb，z(k)為均衡器的輸出，a?(k)是判決器Q(·)對z(k)的判決信號。

圖1 具有DFE結構的盲均衡原理

其中，“T”表示轉置，則判決反饋均衡器的判決器輸入為：

式（1）中，*表示共軛，“H”表示共軛轉置。

2.2 算法介紹

DFE系統采用應用最廣泛的盲均衡算法——常數模算法[12]（CMA）進行均衡。

CMA的代價函數定義為：其中，R2=E{|a(k)|4}/E{|a(k)|2}，表示發射序列a(k)的模。各種誤差函數曲線，如圖2所示（設采用的發射序列是4QAM信號，R=）。

圖2 幾種常用傳統誤差函數的曲線圖

圖2表明，當e1(k)遠遠大于常數模R值時，這時e1(k)是一個較大的正值。由梯度下降法可知，迭代公式中含有e1(k)，所以在自適應過程的開始收斂速度比較快，而當接近收斂點時，對于大小相等符號相反的幅度偏差，誤差函數卻不能提供相同的補償。這種不對稱性，使得接近收斂點時，收斂速度比起始階段慢。e2(k)關于零誤差點(R,0)對稱，在接近收斂點時，誤差函數可以提供相同的補償。這種對稱性，使系統獲得較好的性能，但是它的收斂速度慢。e3(k)在接近收斂點時，與e2(k)具有類似的特點，但初始收斂速度比e2(k)慢。e4(k)是為了避免對噪聲的敏感性設計的，而且當它遠遠大于常數模R值時，提供了比e2(k)和e3(k)更大的初始收斂速率。然而，在收斂點附近，e4(k)的誤差值比其他三種都大，因此，系統獲得的性能較差。由此可以看出，誤差值越大，收斂越快，但均衡性能差，反之亦然。

把四種常用誤差函數代入式（4）和式（3）中，可得其迭代公式為：

式中，gc(k)為誤差函數項。對應于每一種誤差函數的誤差項見表1所示。不同的盲均衡算法在于不同的gc(k)，由于對應于四種類型的gc(k)項是各不相同的，因此不同誤差函數設計的均衡器性能也不同。

表1 對應于幾種常用傳統誤差函數的誤差項

3 基于變系數加權誤差函數的判決反饋盲均衡算法

3.1 變系數加權誤差函數的推導

由各類誤差函數的特性可知，迭代初期的ei(k)(i=1、 2、3、4)數值愈大，則收斂速度愈快；而當接近收斂點時，ei(k)數值愈小，則可以獲得更好的穩態誤差。因此，把以上的優點進行結合，誤差函數進行分段處理。即，在迭代初期，用一個數值大于1的系數對誤差函數進行加權，使誤差值始終保持比原來的誤差值大，即進一步加快收斂速度；而對于接近收斂點時，用一個數值小于1的系數加權，使誤差值變得更小，以獲得較好的均衡效果。而且，這兩個系數都要隨著迭代的進行（即迭代次數的增加）而逐漸變小，以使誤差值隨著迭代的進行而逐步減小。由于系數的數值一直在變化，所以稱之為變系數。基于這種思想對前文所述四種常用的誤差函數進行改進，且零誤差點(R,0)仍然保持不變，則變系數加權后的ei(k)（記為evi(k)）統一用式（10）表示。

由于改進的誤差函數比常模誤差函數多了一個變系數，所以把evi(k)稱為變系數加權誤差函數。把四種常用的誤差函數代入式（10），就可得到四種變系數加權誤差函數。

3.2 變系數加權誤差函數的性能分析

由函數的推導過程可知，漸變因子只是起到使誤差值逐漸減小的作用，真正控制均衡效果的因素是何時切換lk，以及切換前后它的數值大小如何。即，突變因子取值的大小和切換點位置如何，是決定算法性能優劣的主要因素。因此，應從這兩方面進行性能分析。

（1）切換點

切換點的位置是決定改善收斂速度還是穩態誤差的分界點。如果過早切換，則收斂速度提高不多，穩態誤差會有所改善；切換過遲，則收斂速度提高較快，但穩態誤差可能會增大。所以，要綜合考慮收斂速度和均方誤差這兩個方面，以確定何時進行切換。

（2）突變因子的取值

突變因子的數值大小直接影響著收斂速度的提高和均方誤差的改進程度，下面從梯度范數的角度來證明。

從隨機梯度下降法得知，算法梯度范數的大小反映了算法收斂速度的快慢以及在“碗底”來回振蕩的幅度（穩態誤差）的大小。梯度范數越大則收斂越快，誤差越大；反之，收斂慢，誤差小。由于變系數加權誤差函數是在常模誤差函數的基礎上改進的，從兩者的權迭代公式很容易得知，兩者的梯度范數之比為一比例系數，如式（11）。

式（13）表明，與常模誤差函數相比，此時新誤差函數具有較快的收斂速度，但穩態誤差也較大。

當lk取較小的數值k2，使

式（15）表明，此時新誤差函數與原常模誤差函數相比，具有較小的穩態誤差，但收斂速度變慢了。

以上證明了lk取值較大k1和較小k2處算法的收斂特性，現證明lk介于這兩者之間時新算法的收斂特性隨lk值變化的規律。

式（16）表明，變系數加權誤差函數梯度范數的大小是關于lk值的增函數，所以在區間[k1,k2]內也總會存在一個數值，使

式中，k0是lk發生突變時的迭代次數。此時，收斂速度先加快，后變慢，均衡的效果可能會比原來好一點。但這并不能保證收斂速度提高的同時，均方誤差一定不會增加；反之亦然。由于對數是緩慢變化的，所以很難做到兩者的兼顧。若lk大小有所變化，即起始階段取較大數值，而接近收斂點時取較小值，這樣容易滿足迭代初期的快速收斂和接近收斂點時的均方誤差不會增大。因此，增加一個突變因子可以更好地調節均衡的進度。

通過上述分析可知，對于特定的信道，通過改變lk的大小和移動切換點可以找到合適的誤差函數，用于信道均衡。選取較大的lk值或切換過遲可以加快算法的收斂速度，切換過早或較小的lk值可以減小算法的穩態誤差。在實際應用中，可采用以下調節方法：若著眼于算法收斂速度的提高，則切換時刻可以較晚些，且切換后的lk值較小以確保均方誤差不增大；若著眼于算法穩態誤差的減小，則切換時可以較早一些，首先滿足收斂速度的要求，且切換后選用比前一種情況更小的lk，使均方誤差進一步減小。另外，這兩種情況都要求切換前取較大的lk數值。總之，要聯合調整切換點位置和突變因子的大小，才能取得更好的均衡效果。

3.3 VCMDFE的權迭代公式

利用隨機梯度下降法，可得：

把常用的四種誤差函數式代入式（18），可得變系數誤差函數的DFE權迭代公式為：

3.4 VCMDFE的運算量分析

由權迭代公式（19）可知，與CMDFE算法相比，VCMDFE算法只是增加了一個變系數。由于lk和g均為常數，因此，VCMDFE算法在每次權迭代時需要增加一次對數運算和一次實數乘法運算。因此，VCMDFE的計算量增加不多。

圖3 CMDFE和VCMDFE的收斂曲線

4 仿真研究

在實驗參數相同的條件下，均采用深譜零點的水聲信道對CMDFE和VCMDFE算法的性能進行仿真分析。其中，實驗4采用文獻[14]的信道為：c= [0.313 2-0.104 00.890 80.313 4]其余實驗均采用文獻[15]中的信道c=[100.3e-0.7i000.2e-0.8i]。仿真中，信噪比為25 dB，迭代步長取0.001，DFE的前饋濾波器長度為Nf=33，反饋濾波器長度Nb=8，前饋濾波器的權系數采用中心抽頭初始化的方法，反饋濾波器的抽頭系數均初始化為全零值。

實驗1比較由誤差函數e1(k)和ev1(k)設計的均衡器性能。其中，信源采用功率歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數為600處由18.75切換為8.25。此時，可變因子從1.69切換到1.12。仿真結果如圖3（a）所示。

實驗2比較由誤差函數e2(k)和ev2(k)設計的均衡器性能。其中，信源采用非歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數為550處由25切換為7.87。此時，可變因子由1.96變為1.10。仿真結果如圖3（b）所示。

實驗3比較由誤差函數e3(k)和ev3(k)設計的均衡器性能。其中，信源采用非歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數為1 000處由18.75切換為8.75。此時，可變因子由1.63變為1.11。仿真結果如圖3（c）所示。

實驗4比較由誤差函數e4(k)和ev4(k)設計的均衡器性能。其中，信源采用功率歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數為320處由18.75切換為6.25。此時，可變因子從1.76變為1.02。仿真結果如圖3（d）所示。

圖3為同一誤差函數下CMDFE和VCMDFE的收斂曲線。該圖表明，與CMDFE算法相比，VCMDFE算法不同程度地提高了收斂速度或者減小了均方誤差。其中，圖3（a）～圖3（c）的收斂速度均提高了1至2倍，而均方誤差基本沒變；圖3（d）的收斂速度雖然提高的程度最小，但均方誤差減小的程度最大。

以上四種實驗的仿真結果表明，對于不同傳統的誤差函數，VCMDFE算法既可以加快收斂速度，又減少了穩態誤差，有效實現了信道的均衡。

另外，上面四個實驗中VCMDFE加快收斂速度的程度有所不同。圖3表明，前三者收斂速度的提高程度較高，而最后一個最小。這是由于前三者的切換較晚，充分發揮了收斂速度的提高。而最后一個的切換過早，沒有充分加快收斂速度，但均方誤差改善了。因此，在信道均衡中，切換點位置的選取，要綜合考慮均方誤差和收斂速度兩方面的性能。

5 結束語

本文通過分析常用誤差函數的特點，構造了一種新的誤差函數，即變系數加權誤差函數，并提出了基于該誤差函數的判決反饋盲均衡算法。在新算法收斂過程中，由突變因子控制誤差數值的大小，即新誤差函數具有可調性。與CMDFE相比，VCMDFE增加的計算量很小，并且具有更快的收斂速度和更小的穩態誤差。因此，具有很強的實用價值。計算機仿真證明了該切換方法的有效性。

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ZHOU Qiaoxi1,GUO Yecai2

1.College of Electrical and Information Engineering,Anhui University of Science and Technology,Huainan,Anhui 232001,China
2.School of Electronic and Information Engineering,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China

For overcoming effect of the underwater acoustic channel on communication quality,a new style of error function weighted by a variable coefficient is proposed,on the basis of analyzing the feature of the usual traditional error functions and Decision Feedback Equalizer（DFE）.And a new blind decision feedback equalization algorithm（VCMDFE）based on the new error function is proposed too.In this proposed VCMDFE algorithm,the variable coefficient can adjust the value of the error function according to the progress of equalization,so as to have faster convergence rate and lower residual error than CMDFE. The efficiency of the proposed VCMDFE algorithm is proven by computer simulation with underwater acoustic channels.

variable weighted coefficient;error function;decision feedback

針對嚴重失真的水聲信道，在分析幾種常用傳統誤差函數和判決反饋均衡器（DFE）的基礎上，構造了一種變系數加權誤差函數，對DFE權向量進行更新，提出了基于變系數加權誤差函數的判決反饋盲均衡算法（VCMDFE）。與基于傳統誤差函數的判決反饋盲均衡算法（CMDFE）相比，新算法能夠根據均衡的進度，利用一變系數去調節誤差函數數值的大小，以取得比CMDFE算法更快的收斂速度和更低的穩態誤差。水聲信道的仿真結果驗證了該算法的有效性。

變系數；誤差函數；判決反饋

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0067

ZHOU Qiaoxi,GUO Yecai.Decision feedback blind algorithm based on error function with variable weighted coefficient. Computer Engineering and Applications,2013,49（24）：200-204.

全國優秀博士學位論文作者專項基金資助項目（No.200753）；安徽理工大學青年教師科學研究基金資助項目（No.2012QNY25）。

周巧喜（1979—），女，講師，研究領域為智能信號處理、小波變換；郭業才（1962—），男，博士，教授，研究領域為水聲信號處理、高階譜分析和系統仿真。E-mail：qxzhou@aust.edu.cn

2012-11-06

2013-01-08

1002-8331（2013）24-0200-05

CNKI出版日期：2013-02-20http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130220.1611.012.html