基于節點約束的球桿系統平衡控制策略研究

柳波

綿陽師范學院 數學與計算機科學學院，四川 綿陽 621000

基于節點約束的球桿系統平衡控制策略研究

柳波

綿陽師范學院 數學與計算機科學學院，四川 綿陽 621000

1 引言

欠驅動機械系統是一類驅動數少于系統自由度數的機械系統，這類系統的控制問題是目前研究的熱點。國內外的學者為研究欠驅動系統中的控制問題構造了許多的實驗模型，如倒立擺、旋轉擺等[1-2]。本文主要研究了節點約束球桿系統的平衡控制問題。目前有很多研究欠驅動模型控制問題的方法，其中有一種是基于能量的方法，該方法構造整個系統機械能量的Lyapunov函數，通過分析解的收斂性來推導控制方法[3-7]。基于能量的方法已應用到幾個欠驅動機械系統，如倒立擺、雙擺。至于球桿系統，Fantoni通過對球的驅動，將能量控制法應用于解決零點平衡問題[8-10]。對于無節點約束的球桿系統，也可以使用能量控制法去解決零點平衡和非零點平衡問題[11]。還有一些控制方法，并不基于能量方程，也解決了球桿系統的控制問題，比如輸入輸出近似線性化和模糊邏輯。然而，所有的這些研究都忽略了對球的運動范圍限制。

節點范圍約束存在于很多欠驅動機械系統，比如倒擺的運動，球桿系統的滑動等。但對這些機械系統控制方法進行研究時，很少考慮節點的范圍的約束[12-16]。本文將對具有節點約束的球桿系統的平衡控制問題進行研究，并給出控制策略和收斂性的理論分析。

2 球桿系統建模

設計如圖1（a）所示的球桿系統。該系統由一個倒立的“T”型梁和一個小球構成。其中“T”型梁可以圍繞一個無驅動的掛點自由旋轉，通過輸入驅動轉矩τ可以使得小球在桿上滑動。q2的范圍被限定在-qm和qm之間。當小球在此限定的范圍內運動時，稱此時的系統為“系統1”。一旦小球以非零的速度到達邊界，發生非彈性碰撞，小球將同桿一起圍繞掛點擺動，如圖1（b）所示。此時搖擺的小球與桿構成類似單擺系統，稱之為“系統2”。為了簡化討論，在下文中假設小球處于“系統2”的qm處。用-qm替換qm，即可得出小球處于-qm時結論。

圖1 球桿系統

2.1 系統1的動力學原理

使用Euler-Lagrange方程，可以得到如下系統1的動力學模型：

其中τ為控制輸入轉矩。

由于方程（1）中缺少輸入轉矩τ，系統1是一個欠穩定系統，所以不能使用精確線性化方法。下一節中將使用一種基于能量的方法。

2.2 系統2的動力學原理

在系統2中，小球和桿類似單擺旋轉，系統的動力學模型可以表示為：

其中：

簡化式（3）和式（4）可以得到：

為了保證小球與桿相對靜止，輸入轉矩τ*被作用到小球上。由于小球有切向加速度和向心加速度，它將遵守牛頓第二定律：

其中：

將式（5）帶入式（6）可得：

2.3 兩種系統在切換過程中的狀態關系

當小球從系統1切換到系統2時，由于將發生非彈性碰撞，系統的狀態會在碰撞中突然改變。系統1的狀態變量表示為：

系統2的狀態變量表示為：

由于位置不能突變，可以得到：

碰撞后，小球與桿保持相對靜止，則小球的滑動速度變為0，也就是：

根據角動量守恒定律，角速度應該滿足：

其中：

簡化以上表達式得到：

當球桿系統從系統2切換到系統1時，由于沒有碰撞發生，系統的狀態不會改變。若作用到q2的輸入轉矩τ方向相反，且足夠大，則系統將從系統2變回到系統1。

3 平衡控制策略

3.1 現有的結論

球桿系統的目標是通過適當的輸入轉矩τ，控制系統從初始狀態到達期望的平衡位置。對于沒有節點范圍約束的球桿系統平衡控制問題，文獻[11]中已得到如下主要結論：

結論1考慮式（1）和式（2）所述的球桿系統，采用以下反饋控制法則：

結論2設期望的平衡點為qd={q1d，q2d}≠0，并考慮球桿系統1和系統2。采用以下反饋控制法則：

則從任意初始狀態開始，閉環系統的解逐漸趨近于qd。

3.2 控制策略

雖然以上兩個結論可以解決球桿系統的平衡問題，但不能保證滑移節點始終保持在[-qm，qm]范圍內。并且如果限定了節點范圍，則在實踐中該控制法則可能無效。如第2章所述，當小球運動到邊界位置，系統變成一個單擺。這是一個變結構系統，對于整個平衡控制策略，應對不同的結構采用不同的控制規則。

考慮的球桿系統的節點范圍約束，根據q2和q˙2的取值，提出了以下控制策略。為了避免混淆，平衡控制輸入式（11）或式（12）中的τ稱之為控制轉矩，而系統2中的τ*，稱之為維持轉矩。

（1）|q2|＜qm

此狀態為系統1的結構，平衡控制規則式（11）或式（12）用于驅動系統狀態趨近于預期位置。每個節點的收斂過程是一個阻尼振蕩過程，振蕩幅度可能會超出節點限制范圍。

（2）|q2|=qm，q2q˙2＞0

此狀態下，系統結構從系統1切換至系統2。

由于位置與速度都相同，這意味著小球正向著邊界運動，碰撞發生，結構切換至系統2。式（8）和式（10）表示了碰撞發生時的狀態變化，同時輸入量τ也將被式（7）中的τ*替換。

（3）|q2|=qm，q˙2=0 and (τ-τ*)q2≥0

在此狀態下，小球位于邊界，估算可知控制轉矩優于維持轉矩。即使控制轉矩作用于小球，由于節點范圍約束，小球也不能滑動。因此維持轉矩作為輸入，以保證小球相對于桿靜止。此狀態為系統2的結構，此時小球與桿作為一個整體旋轉。系統可以被視為一個單擺系統，在此狀態下系統機械能保持恒定。

（4）|q2|=qm，q˙2=0 and (τ-τ*)q2＜0

由于系統2不穩定，同時在系統2下不能達到預期的位置，故應當切換至系統1。此時估算的控制轉矩τ小于維持轉矩τ*，如果τ作為輸入，則意味著小球將向著系統1變化。系統將切換至第一種狀態，平衡控制法則可以再次應用于系統以使其達到目標平衡位置。

在這個控制過程中，系統1向系統2的轉化是由于小球和桿的碰撞，這是不可控的。輸入轉矩的切換也是在碰撞后才實施的。在系統2的狀態中，維持轉矩和控制轉矩都是估算的，轉矩輸入是通過判斷系統處于哪個階段，經過比較它們的值來決定。

3.3 穩定性分析

如文獻[11]所述，根據控制法則式（11）和式（12），系統將收斂于期望的平衡點。相較而言，本文提出的控制策略較為復雜。接下來，將證明提出的控制策略能夠平衡系統以達到期望的位置。以下證明中，只考慮非零情況，為零的情況可以用同樣的方法解決。

Lyapunov方程設計如下：

其中,M(q)為正定對稱的慣性矩陣。

k1，k2，k3取值同結論2。

接下來證明V(q，q˙)的正定性。

假設期望的平衡點為qd={q1d，q2d}≠0，對于輔助函數：

階段1當控制法則式（12）被采用時，由于遞減。

階段2當從系統1切換至系統2時，由于非彈性碰撞發生，動能減少。在狀態切換期間，q2保持不變，因此在這個階段會突然下降。

階段3由于小球位于邊界，系統類似于一個單擺圍繞固定的掛點旋轉，機械能和保持恒定。

階段4當從系統2切換到系統1，沒有碰撞發生，在此階段不會發生變化。

圖2 V(q，˙)隨時間的變化

當t→+∞，從圖2可知，M包含系統1的不變集和系統2的所有狀態。系統1的不變集僅有一個元素，即一個確定的預期平衡點。因此，如果能證明系統2不穩定，則具有前述控制策略的閉環系統的解將總是收斂于預期的點。那么就可以證明隨著時間的推移，不可能總保持系統2的狀態，系統將必然轉換到系統1。

假設系統2中小球處于正邊界。由式（1）和式（2）可獲得桿中小球的加速度：

如果控制轉矩式（12）被使用并得到了一個負的q¨2，則小球將獲得一個負速度，并逐漸遠離邊界，系統將切換到系統1。因此，如果式（18）可以被證明在某些狀態下為負，則系統2就可以視為前述控制策略下的不穩定系統。

接下來驗證以下不等式：

其中τ為式（12）中的控制轉矩。將δ*和式（12）代入式（20）的左邊得到：

容易驗證方程：

同理可知不等式f(δ*+δA)+d11τ＜0和f(δ*-δA)+d11τ＜0也總成立。通過估算可知：

其中：

當q1+?∈(0，π)，且，式（21）為負。因此，f(δ*+δA)＜f(δ*)和f(δ*-δA)＜f(δ*)中至少有一個不等式成立。由于速度q˙1=0，當系統震蕩到q1=δ*±δA位置時，小球的加速度滿足：

因此，不論δ*-δA或δ*+δA都將導致故，由于的表達式是連續的，系統2必須存在一個以上的狀態導致q2的加速度為負。最終，系統2必然會切換到系統1，而閉環系統在不變集中必然僅有一個穩定解，也就是確定的期望的平衡點。所以具有前述控制策略的閉環系統必然收斂到一個期望的點。

4 仿真結果

該章給出了式（11）和式（12）控制規則下的球桿系統定點平衡控制的仿真結果，并分別給出了使用的控制策略。對機械系統取如下參數：

假設初始狀態為x(0)=[-0.5，0.8，-0.4，0.2]T，期望的平衡狀態為xd=[-0.55，-0.9，0，0]T。

非零點平衡控制法則中取參數k1=12，kv=5，則q1和q2收斂的仿真結果如圖3所示。隨著t→∞，閉環系統逐漸收斂于期望點。但在收斂過程中，q2的值超出了節點范圍限制，這對實際系統來講是不可能的。

采用相同的參數，運用反饋控制法則進行仿真。初始狀態和期望點如圖4所示。圖4（a）和圖4（b）分別給出了旋轉節點和滑動節點的收斂性的仿真結果。圖4（c）和圖4（d）所示的是節點速度的時間變量。圖4（e）為系統模型的切換。圖4（f）為系統的輸入轉矩。圖4（g）為Lyapunov函數收斂性樣本。

比較兩種仿真結果，可以發現所提出的控制策略對于節點范圍約束的球桿系統的定點平衡控制問題是有效的。系統確定會收斂于期望的平衡狀態。

圖3 非零點平衡控制規則下的仿真結果

圖4 反饋控制策略下的仿真結果

5 結論

本文研究了球桿系統中球的定點平衡問題，文中考慮了滑動小球的節點范圍的約束。根據小球的運動，系統分為兩種結構：普通球桿系統和單擺系統。同時，根據系統的狀態變量不同，系統的運動也被分成兩種狀態。文中基于Lyapunov方法，提出了一種控制策略以精簡所有運動狀態下的Lyapunov函數。并且，在所提出的控制策略下，通過理論分析證明了閉環系統的收斂性。仿真結果給出了所提出的控制策略對于節點范圍約束的球桿系統的有效性。

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LIU Bo

School of Math and Computer Science,Mianyang Normal University,Mianyang,Sichuan 621000,China

In this paper,the balance control problem of set-point is studied about the ball and beam system based on the joint constraint.According to the position of the ball,the structure of the ball and beam system is divided into two types：the normal ball and beam system and the single pendulum system.The motion characteristics of both the two systems and their switching are analyzed.A control scheme based on the Lyapunov method is proposed to solve the balance problem of the ball and beam system based on the joint constraint.It is proved that the solutions make the closed-loop system converge to the desired balance state exactly by using the proposed control scheme.The simulations result is given.

joint constraint;balance control scheme;energy control;ball and beam system

研究了節點約束的球桿系統的定點平衡控制問題。根據球的位置，球桿系統分為兩種類型的結構模式：普通球桿系統和單擺系統。對兩種結構的運動特性以及它們之間的切換進行了分析，使用了基于Lyapunov方法的控制策略來解決節點約束球桿系統的平衡問題。通過理論分析和實驗，證明了提出的閉環系統控制策略完全收斂于預期的平衡狀態，給出了相應的仿真結果。

節點約束；平衡控制策略；能量控制；球桿系統

A

TP11

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0494

LIU Bo.Study of balance control scheme about ball and beam system based on joint constraint.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：36-40.

四川省教育廳青年項目（No.12ZB261）。

柳波（1980—），男，講師，主要研究領域為自動控制技術，計算機網絡，嵌入式系統。E-mail：liubo8039@sina.cn

2013-05-06

2013-06-13

1002-8331（2013）18-0036-05