改進的混合下降法在麥克風陣列設計中的應用

孟曉莉

江蘇海事職業技術學院 信息工程系，南京 211170

改進的混合下降法在麥克風陣列設計中的應用

孟曉莉

江蘇海事職業技術學院 信息工程系，南京 211170

寬帶波束形成器因在無線通信、聲吶、雷達、演講和聲學[1-3]的應用而受到廣泛的研究。文獻[4-7]中提到目前發展了很多基于模型的方法來設計波束形成器濾波器系數。除了最優濾波器系數，麥克風陣列陣元布置同樣在波束形成器的整體性能中起著重要的作用，不同的麥克風陣列配置的效果明顯不同。因此，為麥克風陣列陣元尋求一個好的布置在加強寬帶波束形成器性能方面很重要。

麥克風陣列定位問題主要通過陣列稀疏技術[8]解決。它嘗試降低陣元個數和調整剩余陣元的位置以保持性能。因為該問題是非線性的[9]，現在已經發展了不同的全局優化方法，包括進化編程[10]，遺傳算法[11]，模擬退火算法[12]和模式搜索算法[13]。但是，陣列稀疏技術本質上是一維的，它更適于天線設計。在公式化多維設計問題中，文獻[14]提出了一個l2-norm下的非線性優化問題，它允許麥克風在多維解空間周圍移動以搜尋更好的解。但是，目標函數是高度非線性和關于位置變量是非凸性的，所以很難用傳統的基于梯度的方法來解決[15]。不同濾波器長度的影響使得該問題更加復雜化，其中不同的濾波器長度決定不同的最優設計。當濾波器長度很長時，該問題可以通過考慮性能極限來避免[16]。隨著濾波器長度限制的無限大，文獻[17]表明濾波器系數由一系列約束一維最優圖問題定義，該系數可以通過一種特殊陣列配置高效地搜尋到。通過將該問題作為一個子問題，可以將原來的混合最優問題簡化為麥克風陣列布置問題，即唯一決定量的定位問題。

針對上述問題，在研究二維中的最優定位問題的基礎上，提出一種結合了梯度方法的遺傳算法來解決定位過程中的非凸性。遺傳算法可以跳出局部最小化同時保持原來的有用信息；梯度方法可以迅速地下降到最近的局部最小值。該方法具有很好的下降特征，它的目標函數是單調遞增的。實驗結果表明，所提算法在實際使用中可以找到更好的位置。

1 問題公式化

對于一個有N個陣元的麥克風陣列，假設每個陣元是一個L-tap的有限沖激響應（Finite Impulse Response，FIR）濾波器。定義麥克風位置為ri，i=1，2，…，N，第i個傳輸函數可定義為：

其中r是聲音源的位置，c是聲音在空氣中的速度。如果由該麥克風陣列收到的信號在頻率為fs的樣本同步，則這些FIR濾波器的頻率響應是：

其中hi是第i個FIR濾波器的系數，d0(f)是克羅內科頻率響應，定義為：

假設期望響應是Gd(r，f，L)，FIR濾波器寬帶波束形成器設計問題是尋找一系列系數h=[h1，h2，…，hN]T，如波束形成器輸出：

其中，AT(r，f)=[A1(r，f)，A2(r，f)…，AN(r，f)]T是定義在式（1）中的轉移函數向量，

是定義在式（2）中的頻率濾波器響應向量。

存在很多目標準則評估G(r，f，L)和Gd(r，f，L)之間的錯誤，如l∞-norm[14]和l1-norm最小值。但是，這些設計技術通常比l2-norm的使用花費更高。接下來，采用l2-norm準則設計寬帶波束形成器。對于給定位置的麥克風陣列，波束形成器設計問題可以表示為尋找濾波器參數h，如最小化目標函數：

其中Ω是特定的空間頻率域，Gd(r，f，L)和ρ(r，f)的定義域是正權重函數。通常，域Ω=Ωp∪Ωs由通頻帶區域Ωp和阻帶區域Ωs組成。然后，對于一個給定位置的麥克風陣列，波束形成器設計問題可以表示為：

其中

Γ表示為：

其中u(f)和v(f)是連續絕對可積分，左右導數都存在，

需要注意的是性能極限由一個給定位置的麥克風陣列計算出。不同的位置會產生不同的性能極限。因此定位設計是尋找相應的性能極限是最小化的麥克風陣列的位置。為了表示這個特征，讓λ=(r1，r2，…，rN)∈Λ??3×N表示麥克風位置，其中Λ是所有可能λ的集合，定位問題可以表示為：

它滿足‖ri-rj‖2≥εd，…，i，j=1，2，…，N，i≠j，其中，與式（8）相同，但是考慮λ作為新的決策向量。約束條件‖ri-rj‖2≥εd，…，i，j=1，2，…，N，i≠j是實用的，這樣麥克風陣元集應該為特征函數互相保持適當的最小距離，εd是兩個不同麥克風陣元之間最小距離的平方。

2 混合下降方法

通常，聯合的非凸性最優化問題式（10）的兩種變量很難作為一個整體解決。注意目標函數式（11）關于位置變量λ是非凸的和高度非線性的，但是該函數關于濾波器系數變量H~是凸的。對于一個給定的位置向量，最優頻率響應可以通過解決式（7）二次方程而獲得，它可以通過二次編程技術很快地解決。將位置設計問題式（10）重新表示為：

滿足‖ri-rj‖2≥εd,…，i,j=1,2,…，N,i≠j。其中是一個給定位置向量λ子問題式（7）的解。

離散化可以應用到轉化上面式（8）和式（11）的半無限編程問題為大規模約束優化問題。目標函數式（8）關于變量是凸的，因此產生了一個凸優化問題。目標函數（11）有內嵌在AT(λ，r，f)和的變量λ，它們關于λ是非凸的，因此問題式（10）是非凸的，并且需要一個好的策略來尋找更好的位置。所提的混合下降方法總結如下：

（1）產生一個初始位置點λ0，通過使λ=λ0來解決簡化的最優化問題式（10）以得到最優目標函數值E(λ0) ，設k=0。

（2）將λk作為遺傳算法的一個候選點，執行N次迭代計算直到得到的點滿足

（3）通過采用一個梯度最小化方法將作為輸入點解決局部以得到λk+1，目標函數有一個適度程度的下降，

（4）設置k:=k+1，返回到第2步直到收斂。

在混合下降方法的第2步中，將遺傳算法的適應度函數值設為子問題式（7）的最優值，遺傳算法由5個關鍵步驟組成：

①種群表示：將實值化位置變量λ初始化來構造染色體，存儲全部種群到一個單矩陣，所有的染色體長度是一樣的。

②適應度分配：適應度值由式（10）的最優值通過排列或縮放而得到。

③選擇：選擇函數從目前的種群中選擇一個給定位置號，根據它們的適應度，返回一個列向量到它們的目錄里。

④交叉：交叉算子按照給定概率重新聯合個體組以產生子代。

⑤突變：突變算子對個體雙親采用隨機變化以產生子代。

所有的步驟概述如下：

①通過最后局部最優位置λk產生初始位置染色體Λk，對所有個體采用式（10）求值得到E(λ)，λ∈Λk。

②對E(λ)，λ∈Λk進行排列，如果停止；否則，轉向③。

③通過適當選擇函數作為雙親選擇個體。

④通過使用交叉算子聯合兩個雙親產生子代作為下一代。

3 實驗

將給出一個數值實例來驗證所提的混合下降算法，所有的實驗均在2.53 GHz的Inter?、CoreTMi5CPU計算機上實現，所用編程環境為MATLAB7.0，運用遺傳算法的工具箱對凸最優子問題使用約束非線性最小化函數。

3.1 參數設置

在所用實例中，設計的響應函數對于一個適合多媒體或手機應用的區域是特定的，包括人類聲音的頻率變化，麥克風陣元應該直接朝向的一組位置。為了允許聲音到達麥克風的延遲，設計的通頻帶區域的響應函數定義如下：

實驗將位置布置問題認為是2維的，麥克風陣列由9個陣元組成。說話者站在平面z=0上，這樣通頻帶和阻帶都定義在該平面上。這些麥克風安裝在平面z=1上，即離說話者所在平面1 m遠（如圖1）。

圖1 問題設計

特別的，位置可行區域Λ，通頻帶區域Ωp和阻帶區域Ωs定義如下：

通頻帶區域：

阻帶區域：

可行性布置區域：

3.2 實驗結果及分析

對于Ω=Ωp∩Ωs的離散化，每個頻域區域參數60個點，空間域區域取0.2 m為單位，通過采用所提混合下降方法，可以發現麥克風陣元的最優定位λ*為：

它在圖2中展示，采用該定位配置可以獲取最優目標函數值 -41.163 5 dB。

圖2 最優布局

為了更好地體現所提方法的有效性及優越性，將使用所提方法得到的定位結構與采用模擬退火粒子群優化算法（SA-PSO[12]）、基于模糊回歸的粒子群優化算法（FR-PSO[14]）得到的定位結構、遺傳算法形成的波束（BF-GA[15]）、近場寬帶聲源定位麥克風陣列（MA-NBB[17]）進行對比，將每兩個麥克風之間的距離設定為0.2 m，如此，四種定位結構均可以產生9個麥克風點，SA-PSO[12]、FR-PSO[14]、BF-GA[15]、MA-NBB[17]的定位結構分別如圖3（a）～（d）所示。

圖3 采用各個方法所得位置結構

從圖3可以看出，利用四種不同的定位方法，得到了四種不同的定位結果，圖3（a）中9個點以類正方形的結構顯示，圖3（b）中9個點在一條豎線上，圖3（c）中9個點以十字形顯示，圖3（d）中9個點分布在同一圓上，然而，光從形狀上不能準確地判斷各個定位方法的優劣，因此，計算了各個定位方法所設計的結構的性能極限，即最優目標函數值（以dB為單位），如表1所示。

表1 四種定位方法所設計結構的性能極限 dB

從表1可以看出，四種定位方法中，以第一種方法的性能最為出色，第三種方法的性能次之，剩下的兩種方法的性能相當，然后，將采用混合下降方法所得到的最優定位配置的性能與采用這四種定位方法得到的性能極限進行對比可以發現，所提方法分別比SA-PSO[12]、FR-PSO[14]、BF-GA[15]、MA-NBB[17]的性能極限值低10.650 5 dB、20.650 5 dB、15.711 5 dB、19.606 5 dB，從這幾個數據可以看出所提方法明顯優于采用SA-PSO[12]、FR-PSO[14]、BF-GA[15]、MA-NBB[17]得到的常用定位結構，由此體現了所提方法的優越性。

前面提到，將濾波器長度設為L=40可以得到最優濾波系數和以上麥克風陣列定位λ*的實際響應，因此，為了顯現波束合成器的高效性，繪制了當頻率為1 400 Hz時的實際響應性能的(x，y)坐標圖和空間頻率(x，f)坐標圖(y= 0 m)，如圖4所示。

圖4 最優定位下有限長度濾波器的性能

從圖4可以清晰地看出，即使頻率高達14 000 Hz，利用所提混合算法確定的定位結構所設計的濾波器依然能夠取得如此優越的性能，充分地表明了所設計波束合成器的高效性。

4 結語

針對在寬帶波束形成器設計中麥克風陣列位置最優化過程中的非凸性問題，利用可避免局部最小化的遺傳算法以及可改進局部相鄰點的梯度方法，提出了一種基于遺傳算法的混合下降方法。通過數值實驗結果表明，與其他常用的幾種定位方法相比，所提的混合下降方法設計出的波束形成器具有更好的性能。

實驗設定位置布置問題是二維的，作為未來拓展工作，波束形成器的更高維設計，將是進一步研究的重點。

[1]Ng B P，Duan H.Designing amplitude/phase response of the frost beamformer[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55（5）：1944-1949.

[2]Liu W，Weiss S.Design of frequency invariant beamformers for broadband arrays[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2008，56（2）：855-860.

[3]劉子龍，丁淑娟，孫廣俊，等.基于二階錐規劃的寬帶波束形成器設計[J].計算機工程與應用，2013，49（5）：195-199.

[4]鄢社鋒，馬遠良.基于二階錐規劃的任意傳感器陣列時域恒定束寬波束形成[J].聲學學報，2005，30（4）：309-316.

[5]楊威，趙極遠，劉鑫.基于FPGA的成像聲納FFT波束形成器設計[J].電子技術應用，2011（10）.

[6]范展，梁國龍.基于凸優化的最小旁瓣恒定束寬時域寬帶波束形成[J].電子學報，2013，41（5）：943-948.

[7]陳暉，劉成城，李冬海，等.基于子帶SDL的寬帶自適應波束形成[J].信號處理，2012，28（12）：1685-1691.

[8]蘇德倫，王仕成，張金生，等.電阻陣列稀疏網格非均勻性修正[J].紅外與激光工程，2009（4）：604-608.

[9]Fernandez-Delgado M，Rodriguez-Gonzalez J，Iglesias R，et al. Fast array thinning using global optimization methods[J].Journal of Electromagnetic Waves and Applications，2010，65（9）：259-271.

[10]Chen K S，Yun X H，He Z S，et al.Synthesis of sparse planar arrays using modified real genetic algorithm[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2011，55（7）：67-75.

[11]何學輝，朱凱然，吳順君.基于整數編碼遺傳算法的稀疏陣列綜合[J].電子與信息學報，2010，32（9）：2277-2281.

[12]張永亮，朱美正，李欣.模擬退火粒子群算法在矢量線數據壓縮中的應用[J].計算機應用與軟件，2013，30（1）：88-93.

[13]馬穎，田維堅，樊養余.基于固定目標權重的量子搜索算法[J].計算機應用研究，2013，30（1）：155-161.

[14]Chan K，Dillon T，Kwong C.Modeling a liquid epoxy molding process using a particle swarm optimization based fuzzy regression[J].IEEE Transactionson IndustrialInformatics，2011，17（3）：148-158.

[15]Chan K，Low S，Nordholm S，et al.Speech recognition enhancement using beamforming and a genetic algorithm[C]// Proceedings of IEEE Third International Conference on Network and System Security，2009：510-515.

[16]Feng Z，Yiu K，Nordholm S.A two-stage method for the design of near-field broadband beamformer[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2011，59（6）：647-656.

[17]Feng Z，Yiu K，Nordholm S.Placement design of microphone arrays in near-field broadband beamformers[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2012，60（3）：1195-1204.

MENG Xiaoli

Department of Information Engineering,Jiangsu Maritime Institute,Nanjing 211170,China

Due to the microphone array positioning non-convexity problems in the process of nonlinear optimization in beamformer design,local search techniques might not yield the best result.To address this problem,a hybrid descent method is proposed which consists of a genetic algorithm together with a gradient-based method.The gradient-based method can help to locate the optimal solution rapidly around the start point,while the genetic algorithm is used to jump out from local minima.Both of which will promote to find the optimal position for bean shaper design.Experimental results show that the beamformer designed by position determined by proposed hybrid descent method has better performance compared with several frequently-used positioning approaches.

beamformer design;microphone array;local search techniques;gradient-based method;Genetic Algorithm（GA）; hybrid descent method

在波束形成器設計中，由于麥克風陣列定位優化過程中的非凸性問題，傳統的局部搜索技術可能不會產生最優的結果。為了解決這一問題，提出了一種聯合遺傳算法和梯度方法的混合下降法。通過使用梯度方法在啟動點附近迅速找到最優解決方案，同時利用遺傳算法避免了局部最小化，從而促進尋找更好的波束形成器設計的最優位置。實驗結果表明，與其他幾種常用的定位方法相比，使用混合下降方法確定的位置所設計出的波束形成器性能更好。

波束形成器設計；麥克風陣列；局部搜索技術；梯度方法；遺傳算法；混合下降方法

A

TP3

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0425

MENG Xiaoli.Application of improved hybrid descent method in design of microphone array.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：227-231.

江蘇省教育廳教改項目（No.GYB16）。

孟曉莉（1977—），女，講師，主要研究領域：人工智能、計算機應用。E-mail：mengxiaoli_2013@163.com

2013-05-30

2013-07-08

1002-8331（2013）18-0227-05

◎工程與應用◎