基于模糊AHP和證據理論的混合決策模型

閆利軍，吳彩鵬，孫玉杰，張曉芳，申清明

1.西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099

2.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049

基于模糊AHP和證據理論的混合決策模型

閆利軍1，2，吳彩鵬1，孫玉杰1，張曉芳1，申清明1，2

1.西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099

2.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049

1 引言

模糊層次分析法（Fuzzy AHP，FAHP）是在AHP基礎上發展得到的一種更加有效的評價決策工具，它采用三角模糊數或梯形模糊數表達決策者的主觀意見，能夠有效表達決策者思維上的模糊性和不確定性，因此更加符合實際的設計決策情形，已被用于多個領域解決多準則決策問題。然而，盡管FAHP較AHP在模糊信息處理方面有了一定的提高，但將它用于產品設計方案評價時仍然存在兩個問題。其中一個便是AHP類方法固有的逆向排序問題[1]。所謂逆向排序問題，是指當使用某種方法進行決策時，對n個方案x1，x2，…，xn的決策結果是xi優于xj(i≠j)，但若增加或減少若干個方案后，得出的結論卻是xj優于xi。在實際決策過程中，當方案增加或者減少時，逆向排序問題使得之前的決策結果變得毫無意義，需要對新的備選方案集重新進行評價和排序。因此，當備選評價方案數量較大時會帶來大量的重復性工作，甚至有時會產生決策難產或決策混亂[2]。

至于引起AHP中逆向排序問題的原因，許多學者進行了研究并得出了不同的結論。Belton等[1]認為該問題是由于評價對象的各屬性指標值規范化引起，而Triantaphyllou[3]則認為是由計算各方案綜合評價值的加權和方法引起。在已有研究的基礎上，本文認為引起逆向排序問題的根本原因在于AHP采用同樣的方法計算評價準則權重和方案權重。這是因為在AHP的層次結構中，同一方案的不同屬性重要性之間是具有相關性的，因此用兩兩比較方法確定屬性權重是合理的。但是，就同一屬性指標而言，不同方案的取值之間是相互獨立的，并不具有關聯性，因此，認為方案權重應該基于某種獨立的標準或某種共同的標度來確定，而不能采用兩兩比較判斷矩陣的方法來獲得。

其次，方案評價過程中的不確定性信息主要有三類，分別為不精確評價信息、不確定性評價信息和不完全性評價信息。雖然FAHP能夠有效處理決策過程中的不精確評價信息（模糊信息），但卻無法處理方案評價過程中普遍存在的不確定評價信息和不完全評價信息。

證據推理（Evidential Reasoning，ER）理論是一種既能處理定性決策信息，又能處理定量決策信息的不確定性推理理論。它通過建立信度矩陣來表達決策者的主觀判斷信息，對目標的評價以各評價準則下不同取值（或評價等級）上的信度來表示。證據理論為多準則決策問題提供了一種全新的描述方式，它采用統一的框架來描述決策過程中的各種不確定信息，已在專家系統、數據融合和決策分析等領域得到廣泛的應用[4-6]。

鑒于FAHP用于產品方案評價時尚存在的不足，本文對其進行了擴展，將FAHP中的準則權重和方案權重分開處理，將不確定性推理的ER理論引入FAHP進行底層方案權重的計算，而評價準則權重則依然通過建立模糊判斷矩陣的方式獲得，在此基礎上提出了一種方案選擇評價的混合決策模型FAHP-ER，由于ER在不確定信息和不完全信息處理方面的優越性，混合模型較FAHP在不確定信息處理方面有了很大的提高。

2 方案評價過程中的不確定性分析

產品方案評價過程中的不確定信息主要有不精確信息、不確定信息和不完全信息。下面分別對這三種不確定信息進行描述。

首先，在新產品開發的早期階段，設計數據和信息的缺乏導致產品方案的各評價指標無法準確估計，幾乎沒有完全可靠的定量信息用于支持方案的評價決策，決策者只能憑借以前的經驗對方案做出定性的判斷，這種判斷多以模糊語言值的形式進行表達。例如，用“較差”、“很好”等語言短語表達決策者的主觀判斷，這種語言描述的表達方式本身就具有一定的主觀性和模糊性，體現了方案評價過程中判斷的不精確性。

其次，在新產品開發早期的方案設計階段，決策者掌握的信息非常有限，對目標對象認識不夠充分，因此決策者在對方案進行評價時，無法準確確定方案的屬性指標值或具體的評價等級，更多的是給出屬性在不同評價等級或等級區間上的信度。例如，就方案的可制造性而言，若其評價等級為{很差，差，一般，好，很好}，決策者給出的判斷是：有0.7的把握判斷可制造性“好”，有0.3的把握判斷可制造性介于“好”和“很好”之間。采用評價等級或評價等級區間上的信度充分表達了決策者主觀判斷上的不確定性。

另外一類不確定信息來自于決策者判斷上的不完全性。例如對于上面的方案可制造性評價實例，如果決策者作出的判斷為：有0.5的把握認為該方案的可制造性“好”，有0.3的把握認為該方案的可制造性“中等”。在此，“好”和“中等”是評價等級集中兩個不同的評價等級，0.5和0.3是它們的置信度。在此評價中，決策者評價的置信度之和為0.8，小于1，它表示決策者的評價是不完全的。

3 基于ER算法的方案評價值計算

采用ER方法計算FAHP底層的方案權重時，證據表示方案的評價指標，而辨識框架則表示評價等級集合，基本概率分配函數表示方案在不同評價等級下的信度。在產品方案評價的實際情況中，不同的屬性指標可能有不同的評價等級，例如，可以用{很差，差，中等，好，很好}五個等級來描述可制造性；可以用{快，中，慢}來描述上市時間，這樣的表示方式不利于信息的集結，因而有必要為各屬性評價指標建立統一的評價術語等級集合[7-8]。

令Hn，i為第i個屬性的第n個等級，γn，i(al)為方案al賦予等級Hn，i的信度。對于屬性i，其評價等級可以描述為：

決策者對方案al在屬性ei上的一個主觀估計可表示為：

為了在統一的辨識框架下對各方案的所有屬性進行評價，首先定義一個統一的基本評價等級集合，然后等價地把各個屬性上的評價轉換到該基本集上，目的是便于在統一的評價術語集上對方案各屬性進行評價。

現定義N個明確的評價等級Hn(n=1，2，…，N)作為完備集（統一證據框架）用來統一評價各個方案多屬性下的值：

屬性集E={ei，i=1,2,…,L}下多方案al(l=1,2,…,Μ)的評價問題就可以不同屬性ei下各方案al相應評價的期望程度來表示：

特別地，當Hi與H具有相同的評價等級數且Hi中的每個評價術語與統一評價等級集H中的每個評價術語之間一一對應時，則有式（5）中的αl，n=1。

上述式（5）是一種知識性規則，根據實際問題由專家或經驗豐富的決策者來提供。

通過上述不同證據框架向統一證據框架的轉換，對屬性集E={ei，i=1，2，…，L}下方案al(l=1，2，…，Μ)的評價問題就可以不同屬性ei下各方案al基于統一證據框架下相應評價的期望程度來表示：

為了表達決策者對辨識框架下各評價等級的偏好程度，定義統一辨識框架H={H1，H2，…，HN}上的線性效用函數μ(H)={μ(H1)，μ(H2)，…，μ(HN)}，0≤μ≤1。效用值0對應評價等級中決策者最不滿意的評價，效用值1則對應評價等級中決策者最滿意的評價。其他評價等級的效用值滿足0到1之間的線性分布。如果統一證據框架有5個評價等級，則各等級對應的效用值分別為：μ(H1)=0，μ(H2)= 0.25，μ(H3)=0.5，μ(H4)=0.75，μ(H5)=1。效用值作為決策者偏好的統一量化測度，使得不同方案的屬性指標之間能夠進行相互比較和運算。

在已知各評價等級的效用值和各等級信度的條件下，方案al在屬性ei下評價的期望效用值為：如果判斷不完備，則存在一定程度βu，i的不確定性。在此考慮兩個極端的情況，即不確定性判斷分別屬于決策者給出的最差評價等級和最好評價等級，由此造成期望效用值存在一個最低效用值和一個最高效用值，其中不確定判斷全部為最優評價而計算得到的是最高效用值，不確定判斷全部為最差評價而計算得到的是最低效用值。該方法同樣適用于決策者的評價為等級區間的情形。例如，對于某方案的可制造性指標，選擇其評價等級集為Hm={Hm1，Hm2，Hm3，Hm4，Hm5}={很差，差，中等，好，很好}，若決策者的判斷為：{(Hm3-Hm4，0.6)，(Hm4-Hm5，0.3)}，則該方案可制造性評價的最低效用值為：(0.6+0.1)×μ(Hm3)+0.3×μ(Hm4)=0.58，最高效用值為：0.6×μ(Hm4)+(0.3+0.1)×μ(Hm5)=0.85。

綜上分析，計算方案權重時決策者評價的不確定性和不完備性使得其評價結果是一個效用值區間。不失一般性，設最小偏好等級H1有最低效用，最大偏好等級HN具有最高效用，則最大和最小效用分別為：

4 FAHP-ER決策模型

在一般的FAHP決策框架中，對評價準則權重和底層方案權重的計算均采用求解模糊判斷矩陣的方法來獲得。這種用相同方法求解準則權重和方案權重的過程可能會引起FAHP的逆向排序問題，而且無法處理方案評價過程中的各種不確定決策信息和不完全決策信息。因此，本文通過將ER方法引入FAHP的體系結構而對FAHP進行了擴展，提出了FAHP-ER的混合決策模型。在FAHP-ER中，ER方法用來計算方案在其各屬性指標上的性能評價，而各準則及子準則的相對重要性權重則依然采用FAHP中構建兩兩比較模糊判斷矩陣的方式來獲得。最后，通過AHP中的權重合成方法計算各方案對總決策目標的綜合性能評價值，然后基于該綜合性能評價值進行方案的優選排序。例如，對于圖1所示的產品方案評價的層次模型，其權重合成過程為：

圖1 產品方案評價的層次結構模型

設第k-1層上n(k-1)個元素相對于總目標的合成權重向量為，第k層上元素對第k-1層第j個元素為準則的單權重向量為，其中不對j產生影響的第k層元素的權重取值為零，第k層n(k)個元素對第k-1層各元素的合成權重為，則第k層元素對頂層總決策目標的合成權重為

基于混合決策模型FAHP-ER的產品方案選擇評價流程如下：

（1）建立方案評價的指標體系，確定決策目標、準則、子準則以及備選方案等。

（2）針對準則層、子準則層各元素，分別構建兩兩比較的模糊判斷矩陣并求解指標權重。

（3）建立子準則層各準則的辨識框架，即確定各準則的評價等級集。

（4）建立統一的證據辨識框架，確定各指標辨識框架向統一辨識框架映射的知識性規則。

（5）確定方案在各準則辨識框架上的信度，在統一辨識框架上建立方案評價的信度矩陣。

（6）定義統一辨識框架上的效用函數，并基于效用函數將信度矩陣轉變成期望效用值矩陣。

（7）由下到上依次進行方案權重的合成，最終獲得各方案針對總決策目標的綜合性能評價值。

5 實例分析

本文針對國內某企業1 000 MW燃煤汽輪機組的開發中，分別提出的三種軸承轉子系統的設計方案進行評價選擇。汽輪機轉子主要由主軸、葉輪、葉片、聯軸器、軸承等組成。工作時，轉子作高速旋轉，它除了傳送扭矩外，還要承受動葉片、葉輪和主軸上各零件質量所產生的離心力、各部分溫差引起的應力等。轉子系統作為高速旋轉機械的核心部件，它的任何缺陷都會影響到汽輪機的安全運行，嚴重者還會造成重大的設備和人員事故。轉子系統設計開發的效率和質量是高速旋轉機械整機成功開發與安全運行的重要保證，轉子系統的結構示意圖如圖2所示。針對轉子系統的設計特點，首先建立它的方案評價指標體系如圖3所示。

圖2 轉子軸系示意圖

圖3 軸承轉子系統方案評價指標體系

擬開發的汽輪機轉子包括高壓模塊、中壓模塊、低壓模塊以及發電機模塊，高壓和中壓模塊在方案設計階段需要考慮的問題包括：葉片級數、轉子結構型式、葉片結構型式（包括第一級葉片和其余葉片）、軸承型式、聯軸器類型、低壓轉子的方案設計。

除了考慮上述問題外，還需要考慮末級葉片和次末級葉片的結構型式。限于篇幅，具體的轉子設計方案在此省略。

設產品總體質量評價的等級集為H={H1，H2，H3，H4，H5}={很差，較差，一般，較好，很好}。在此為簡單起見，假定所有的評價指標等級都為5級，并且分別和產品總體方案質量評價等級集H中的各個等級相對應。例如，在評價可制造性指標中，其評價等級為{很低，較低，中等，較高，很高}，分別等價于H中的H1、H2、H3、H4、H5。因此，在方案權重評價中，可以直接用H中的相應等級來表示。在對方案進行選擇評價時，決策人員通常對各種設計方案進行橫向和縱向的分析與比較，并基于已有的設計經驗對方案在各個評價指標上進行評價打分，對本文研究的轉子系統方案，該企業設計人員對三種轉子方案進行反復論證和比較后給出了表1所示的轉子方案評價。

決策者確定的準則權重和子準則權重結果見表2所示，限于篇幅，具體的模糊比較判斷矩陣在此省略，并不影響對本文決策方法的理解。

表1 子準則層轉子方案的評價

表2 屬性指標權重

根據表1的屬性指標評價和表2的屬性指標權重，通過FAHP中的權重合成方法計算后獲得各方案對總目標的綜合評價值。這里，因為屬性指標權重為三角模糊數，而方案權重為效用區間，因此方案的綜合評價值為由三角模糊數區間，即區間的上下界均為三角模糊數，分別表示方案綜合評價的最差和最好值。軸承轉子系統方案的綜合評價值為：

其中和分別為第i個方案最差評價和最好評價，i= 1，2，3。

為了便于方案之間的比較，需要采用解模糊運算將三角模糊數轉變成精確值點。對于三角模糊數A~=(a,b,c)而言，通常采用平均值解模糊運算為G(A~)=(a+b+c)/3。因此，對上述方案綜合評價值，解模糊后的結果為：

可見，方案3的最壞評價與最好評價均好于方案1和方案2的最壞評價與最好評價，因此，可以肯定方案3優于方案1和方案2。同時，方案1也因為同樣的原因而優于方案2。然而，由于方案3的最壞評價值低于方案1的最好評價值，因此方案1有可能會優于方案3。

從上面的評價結果可以發現，三個方案評價的不確定性程度分別為0.244，0.114和0.129。方案1的不確定性程度大于方案2和方案3。盡管根據評價結果方案3優于方案2，但是方案3評價結果的不確定性程度大于方案2。為了減小評價結果的不確定性程度，可以采用下面的策略：

（1）收集更多的產品設計信息以降低評價過程的不確定性；

（2）調整或重新考慮屬性指標權重；

（3）邀請更有經驗的多學科專家參與方案評價的群決策。

此外，除了采用上述區間端點比較的方法確定方案的優劣外，還可以采用求最壞評價和最好評價平均值的方法來確定方案性能優劣。例如，對上述三個轉子方案的區間評價結果，求平均值后的結果為方案3優于方案1，方案1優于方案2，它們評價結果的平均值分別為：0.797，0.737，0.522。

6 結論

針對模糊層次分析法用于產品方案評價時存在的不足，本文將不確定性推理的ER理論引入FAHP的體系結構進行底層方案權重的計算，并基于FAHP和ER方法提出了一種產品方案評價的混合決策模型FAHP-ER，由于ER能有效處理決策過程中的判斷不確定信息和不完全信息，因此，混合模型大大提高了不確定性信息處理的能力，能夠很好地解決產品方案評價過程中遇到的各種不確定性信息，轉子系統的方案評價實例說明本文提出的混合決策模型的有效性。

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YAN Lijun1，2,WU Caipeng1,SUN Yujie1,ZHANG Xiaofang1,SHEN Qingming1,2

1.Northwest Institute of Mechanical&Electrical Engineering,Xianyang,Shaanxi 712099,China
2.State Key Lab of Manufacturing Systems Engineering,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China

In view of two problems existing in FAHP,one is rank reversal problem and another is the limited capability in dealing with uncertainty.When it is applied to evaluation and selection for product schemes,this paper intends to treat criterion weights and performance scores of alternatives on criteria separately and introduce Evidential Reasoning（ER）theory,which is good at uncertain reasoning,into the systematic framework of FAHP to calculate the performance scores of alternatives.Then a hybrid group based decision model FAHP-ER is proposed by combining both FAHP and ER approach together,which enhances capability of FAHP in dealing with uncertainty,another weakness in FAHP,due to introduction of ER algorithm.A case study for rotor and bearing system scheme evaluation is presented to demonstrate the application of hybrid decision model and finally a reasonable rotor system scheme is obtained.

fuzzy Analytic Hierarchy Process（AHP）;rank reversal;evidential reasoning theory;scheme evaluation;rotor and bearing system

針對模糊層次分析法（Fuzzy AHP，FAHP）用于產品方案評價時存在的逆向排序問題和不確定信息處理問題，分析其原因后將不確定性推理的證據推理（Evidential Reasoning，ER）理論引入FAHP的層次結構進行底層方案評價值的計算，在此基礎上提出了FAHP-ER混合決策模型，該模型由于ER的引入而大大提高了它在不確定信息處理方面的能力，從而克服了FAHP方法對不確定信息處理不足的問題。用一個軸承轉子系統設計方案的評價實例對混合決策模型進行了驗證，很好地處理了方案評價過程中決策者的各種主觀不確定信息，在此基礎上獲得了最佳的轉子設計方案。

模糊層次分析法；逆向排序；證據理論；方案評價；軸承轉子系統

A

TP391.72

10.3778/j.issn.1002-8331.1205-0175

YAN Lijun,WU Caipeng,SUN Yujie,et al.Group based product scheme evaluation model based on fuzzy AHP and evidential reasoning theory.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：232-236.

國家高技術研究發展計劃（863）（No.2007AA04Z121）。

閆利軍（1980—），男，博士，工程師，研究方向為仿真優化、協同決策；吳彩鵬（1978—），男，博士，工程師，研究方向為機械設計；孫玉杰（1978—），男，博士，工程師，研究方向為機械設計；張曉芳（1978—），女，工程師，研究方向為機械設計；申清明（1981—），男，博士，工程師，研究方向為機械設計、仿真優化。E-mail：yanlijun@yahoo.com.cn

2012-05-21

2012-08-07

1002-8331（2013）18-0232-05

CNKI出版日期：2012-09-07 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120907.0859.007.html