SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型綜述

李永晨，劉瀏

上海交通大學(xué) 自動(dòng)化系系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240

SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型綜述

李永晨，劉瀏

上海交通大學(xué) 自動(dòng)化系系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240

1 引言

合成孔徑雷達(dá)（SAR）圖像統(tǒng)計(jì)建模研究是對(duì)圖像信息從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度進(jìn)行分析，它在SAR圖像相干斑噪聲濾波、圖像分割及分類、目標(biāo)檢測(cè)與識(shí)別等處理中發(fā)揮著重要作用[1]。

SAR圖像統(tǒng)計(jì)分布模型的研究與成像雷達(dá)的發(fā)展緊密相關(guān)。早期的成像雷達(dá)采用真實(shí)孔徑的天線進(jìn)行成像，由于天線尺寸的限制，圖像的分辨率比較低，在獲取的雷達(dá)復(fù)圖像實(shí)部與虛部分量服從高斯分布的假設(shè)下，圖像幅度服從瑞利分布，強(qiáng)度服從負(fù)指數(shù)分布。隨著雷達(dá)分辨率的提高，瑞利分布的應(yīng)用受到了一定的限制，尤其是對(duì)于高分辨率海雜波，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，對(duì)數(shù)正態(tài)分布[2]和韋布爾分布[3]能夠更好地實(shí)現(xiàn)雷達(dá)圖像統(tǒng)計(jì)的描述。雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展促進(jìn)了成像雷達(dá)從真實(shí)孔徑向合成孔徑方向發(fā)展，SAR的出現(xiàn)開(kāi)創(chuàng)了雷達(dá)成像發(fā)展的一個(gè)新領(lǐng)域。SAR由于電磁波的相干作用而在獲取的圖像中出現(xiàn)大量的類似于噪聲的相干斑，相干斑構(gòu)成了SAR圖像的基本特征，相干斑模型基礎(chǔ)上的SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模研究形成了一類基于先驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)模型。

結(jié)合成像雷達(dá)的發(fā)展，SAR圖像統(tǒng)計(jì)分布模型可以分為兩大類：基于相干斑的先驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)模型和基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布模型。基于相干斑的先驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)模型從相干斑的統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，建立了相干斑幅度服從瑞利分布和強(qiáng)度服從負(fù)指數(shù)分布的模型[4-5]，在此基礎(chǔ)上多視相干斑強(qiáng)度服從伽馬分布，幅度服從Nakagami分布[1]。對(duì)于高分辨率SAR圖像，圖像中不僅存在著相干斑，還表現(xiàn)出大量的紋理特征，在相干斑和紋理信息乘積模型的框架內(nèi)，形成了多種適于描述均勻與非均勻區(qū)域SAR圖像的統(tǒng)計(jì)分布模型，包括K-分布[1，6-9]、廣義逆高斯分布[10]、皮爾遜系統(tǒng)分布[11-12]。在原有相干斑統(tǒng)計(jì)假設(shè)的基礎(chǔ)上，采用廣義中心極限定理可以推出SAR圖像幅度服從拖尾瑞利分布[13]。在SAR復(fù)圖像實(shí)部與虛部服從廣義高斯分布的假設(shè)下，可以推出圖像幅度服從廣義高斯瑞利分布[14]。基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布模型是通過(guò)對(duì)真實(shí)SAR圖像數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)建模實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證而獲得的模型，主要包括對(duì)數(shù)正態(tài)分布[1-2]、韋布爾分布[1，3]、Fisher分布[15]、廣義伽馬分布[16-17]模型。

2 SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型

2.1 先驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)模型

SAR圖像的顯著特點(diǎn)是圖像中存在大量的相干斑噪聲，它是由于目標(biāo)散射電磁波的相干作用而在圖像中表現(xiàn)出的顆粒狀的噪聲模式[1]。Goodman從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度對(duì)激光斑的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了深入的研究，建立了斑特性的統(tǒng)計(jì)分布模型，這些分布模型對(duì)于雷達(dá)圖像和聲納圖像中的斑噪聲同樣適用[4]。在斑噪聲統(tǒng)計(jì)分布模型的基礎(chǔ)上，形成了一類SAR圖像統(tǒng)計(jì)分布模型。

2.1.1 瑞利分布

在SAR復(fù)圖像相干斑噪聲實(shí)部與虛部分量服從零均值等方差的高斯分布，且相互獨(dú)立的假設(shè)下，SAR圖像幅度服從瑞利分布[1，4]：

強(qiáng)度服從負(fù)指數(shù)分布：

其中，σ2為實(shí)部與虛部分量高斯分布的方差。

2.1.2 伽馬分布

在單視SAR圖像強(qiáng)度服從負(fù)指數(shù)分布的基礎(chǔ)上，可以推出多視SAR圖像強(qiáng)度服從伽馬分布[1]：

幅度服從Nakagami分布，又稱為“平方根伽馬分布”：

其中，Γ(·)為伽馬函數(shù)[18]，L為多視視數(shù)，μ等于式（1）、（2）中方差σ2的兩倍。

2.1.3 K-分布

K-分布是在SAR圖像乘積模型框架下發(fā)展的一種復(fù)合概率分布模型[6-9]。乘積模型將SAR圖像表示為紋理分量和相干斑相乘的形式[9]：

其中，τ表示紋理分量，n表示相干斑噪聲分量。

假設(shè)紋理分量τ和相干斑噪聲n均服從于伽馬分布，可以推出SAR圖像強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)服從K-分布，其概率密度函數(shù)如下[1]：

其中Kv-L為v-L階第二類修正的貝塞爾函數(shù)[18]，v為階次參數(shù)，μ為形狀參數(shù)，L為視數(shù)。

根據(jù)強(qiáng)度與幅度的關(guān)系，I=r2，可以推出SAR圖像幅度統(tǒng)計(jì)服從平方根K-分布[19]：

2.1.4 逆高斯分布

乘積模型為SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模提供了一個(gè)框架。Frery等在乘積模型的基礎(chǔ)上，用廣義逆高斯分布對(duì)紋理相關(guān)的目標(biāo)后向散射統(tǒng)計(jì)進(jìn)行建模，將其與服從伽馬分布的相干斑統(tǒng)計(jì)相乘，形成了一類能夠描述均勻、不均勻和極不均勻區(qū)域SAR圖像統(tǒng)計(jì)的?模型[10]。由于?模型中包含3個(gè)未知參數(shù)α、γ、λ，參數(shù)估計(jì)非常困難。為了使?模型能夠應(yīng)用，F(xiàn)rery等考慮了?模型的兩種特殊情形：

K(α，λ，L)即為K-分布模型，?0(α，γ，L)為目標(biāo)后向散射統(tǒng)計(jì)服從逆高斯分布時(shí)的乘積模型，為了方便這里簡(jiǎn)稱為“逆高斯分布”。SAR圖像幅度和強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)逆高斯分布的概率密度函數(shù)如下[10]：

其中，α、γ為模型參數(shù)，L為視數(shù)。

文獻(xiàn)[10]還提到逆高斯分布特別適于對(duì)城市、森林等非均勻區(qū)域SAR圖像的統(tǒng)計(jì)建模，通過(guò)后面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，也可以進(jìn)一步驗(yàn)證逆高斯分布的統(tǒng)計(jì)建模能力。

2.1.5 皮爾遜系統(tǒng)分布

皮爾遜系統(tǒng)分布是在SAR圖像乘積模型框架內(nèi)的進(jìn)一步發(fā)展，它通過(guò)求解皮爾遜系統(tǒng)的4種分布：第一類Beta分布、伽馬分布、逆伽馬分布和第二類Beta分布，對(duì)紋理相關(guān)的目標(biāo)散射統(tǒng)計(jì)進(jìn)行建模，與服從伽馬分布的相干斑統(tǒng)計(jì)相乘而形成的統(tǒng)計(jì)模型[11-12]。此時(shí)，K-分布、逆高斯分布分別對(duì)應(yīng)于皮爾遜系統(tǒng)伽馬和逆伽馬分布基礎(chǔ)上的乘積模型，因此這里只給出第一類Beta分布和第二類Beta分布基礎(chǔ)上的SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型，分別稱為W-分布和U-分布，二者的概率密度函數(shù)如下[11-12]：

雖然建立了乘積模型框架內(nèi)的W-分布、U-分布模型，但是二者的模型參數(shù)估計(jì)都難于實(shí)現(xiàn)，從式（10）、（11）也可以直接看出。因此，在實(shí)際中很少用到以上兩種統(tǒng)計(jì)建模方法。

2.1.6 拖尾瑞利分布

在均勻區(qū)域SAR圖像一個(gè)分辨率單元內(nèi)，當(dāng)存在大量隨機(jī)散射子時(shí)，應(yīng)用中心極限定理可以得出SAR復(fù)圖像實(shí)部與虛部分量服高斯分布[5]。在同樣的條件下，Kuruoglu等提出對(duì)大量同分布的散射子應(yīng)用廣義中心極限定理時(shí)，其整體統(tǒng)計(jì)特性滿足α穩(wěn)態(tài)準(zhǔn)則[13]。由此，用α穩(wěn)態(tài)分布對(duì)SAR復(fù)圖像實(shí)部和虛部分量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，可以推出SAR幅度圖像服從拖尾瑞利分布[13]：

其中，α、γ為大于零的模型參數(shù)，J0(·)為零階第一類修正的貝塞爾函數(shù)[18]。該概率密度函數(shù)無(wú)法求出嚴(yán)格的解析式，概率密度值只能采用數(shù)字積分法進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)表明數(shù)字積分區(qū)間選取的大小對(duì)概率密度函數(shù)有嚴(yán)重的影響，有時(shí)甚至出現(xiàn)概率密度函數(shù)嚴(yán)重振蕩的情況，因此這些因素導(dǎo)致拖尾瑞利分布在應(yīng)用中受到了一定的限制。

2.1.7 廣義高斯瑞利分布

Moser等提出對(duì)SAR復(fù)圖像實(shí)部與虛部分量采用廣義高斯分布進(jìn)行建模，可以推出了SAR圖像幅度統(tǒng)計(jì)服從廣義高斯瑞利分布[14]：

其中，θ為復(fù)圖像相位，γ為尺度參數(shù)，c為形狀參數(shù)，且有γ，c＞0。與拖尾瑞利分布相似，該概率密度函數(shù)也求不出嚴(yán)格的解析式，均值和方差不易求解，積分項(xiàng)只能采用數(shù)字積分法進(jìn)行求解。

2.2 經(jīng)驗(yàn)分布模型

2.2.1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

在高分辨率觀測(cè)下，瑞利分布不再適于描述目標(biāo)雷達(dá)散射截面積起伏引起的目標(biāo)雜波統(tǒng)計(jì)特性的變化。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，對(duì)數(shù)正態(tài)分布可以實(shí)現(xiàn)高分辨條件下場(chǎng)景雜波統(tǒng)計(jì)的幅度描述[2]。同樣，對(duì)于SAR圖像統(tǒng)計(jì)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布也表現(xiàn)出較好的統(tǒng)計(jì)建模能力。

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下：

其中，μ和σ是lnr的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)于強(qiáng)度圖像，根據(jù)強(qiáng)度與幅度的變換關(guān)系，當(dāng)幅度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，可以推出強(qiáng)度也服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。因此，對(duì)數(shù)正態(tài)分布不僅可以對(duì)幅度圖像進(jìn)行建模，還可以對(duì)強(qiáng)度圖像進(jìn)行建模。

對(duì)數(shù)正態(tài)分布可以實(shí)現(xiàn)對(duì)高分辨率海雜波和陸地非均勻區(qū)域（如城市區(qū)域）SAR圖像的統(tǒng)計(jì)建模，特別是圖像中存在著劇烈變化的區(qū)域，可以獲得較好的統(tǒng)計(jì)建模精度[1]。

2.2.2 韋布爾分布

韋布爾分布最早應(yīng)用于對(duì)海雜波的統(tǒng)計(jì)描述。在高分辨率條件下，雷達(dá)海面觀測(cè)數(shù)據(jù)不再服從瑞利分布，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，韋布爾分布可以獲得對(duì)雜波幅度較好的統(tǒng)計(jì)擬合效果[3]。

韋布爾分布的概率密度函數(shù)如下[1]：

其中，b為尺度參數(shù)，c為形狀參數(shù)。

對(duì)于韋布爾分布，當(dāng)c=2時(shí)，概率密度函數(shù)與瑞利分布相同；當(dāng)c=1概率密度函數(shù)與負(fù)指數(shù)分布相同。因此，韋布爾分布可以對(duì)單視SAR圖像強(qiáng)度和幅度統(tǒng)計(jì)進(jìn)行建模，但是對(duì)于多視SAR圖像，韋布爾分布的建模精度會(huì)顯著下降。

2.2.3 Fisher分布

對(duì)于高分辨率城市區(qū)域的SAR圖像，由于成像區(qū)域不是均勻變化的，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布模型不再適用于圖像的統(tǒng)計(jì)描述。在不考慮SAR成像機(jī)理的條件下，基于圖像強(qiáng)度數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布的Fisher分布可以獲得較高的圖像建模精度[15]。

Fisher分布的概率密度函數(shù)如下：

其中，L圖像視數(shù)，M＞0，μ＞0。

雖然Fisher分布只是從數(shù)學(xué)得出的概率分布模型，但它與逆高斯分布具有相似的概率密度函數(shù)形式。由于逆高斯分布對(duì)非均勻區(qū)域具有較好的建模能力，這從另一個(gè)方面解釋了Fisher分布適合于非均勻SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模的原因。

2.2.4 廣義伽馬分布

在伽馬分布的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[16-17]提出SAR圖像統(tǒng)計(jì)的廣義伽馬分布模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明廣義伽馬分布能夠更好地實(shí)現(xiàn)SAR圖像的統(tǒng)計(jì)建模。

廣義伽馬分布的概率密度函數(shù)如下[16]：

其中，β為尺度參數(shù)，λ為形狀參數(shù)，v為能量參數(shù)。

廣義伽馬分布有3個(gè)分布參數(shù)，文獻(xiàn)[16]中還進(jìn)一步證明了在分布參數(shù)選取為一些特定值時(shí)，瑞利分布(v=2，λ=1)、指數(shù)分布(v=1，λ=1)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布(v=1，λ→0，or，∞)、韋布爾分布(λ=1)）和伽馬分布(v=1)都是廣義伽馬分布的特例，因此運(yùn)用廣義伽馬分布對(duì)SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模更具有一般性。

3 模型參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中一類重要的問(wèn)題，它是在模型參數(shù)未知的情況下，由觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)。對(duì)于概率分布模型，經(jīng)典的參數(shù)估計(jì)方法有矩估計(jì)（Method of Moments，MoM）和最大似然估計(jì)（Maximum Likelihood，ML）[19-20]，但是MoM和ML對(duì)于一些復(fù)雜的分布模型無(wú)法實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)。2002年Nicolas等在概率密度函數(shù)梅林變換的基礎(chǔ)上，提出了一種參數(shù)估計(jì)的新方法——對(duì)數(shù)累量法（Method of Logarithmic Cumulants，MoLC）[21]。Krylov等對(duì)MoLC參數(shù)估計(jì)的一致性和實(shí)現(xiàn)步驟進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，而且還證明了與MoM相比，MoLC具有更高的參數(shù)估計(jì)精度[22]。MoLC已經(jīng)在概率分布模型的參數(shù)估計(jì)中得到應(yīng)用[14-15，17]。下面對(duì)MoLC和SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)MoLC估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的介紹。

3.1 對(duì)數(shù)累量法（MoLC）

MoLC是建立在概率密度函數(shù)梅林變換的基礎(chǔ)之上的。梅林變換是一種積分變換，對(duì)于隨機(jī)變量x∈(0，+∞)的概率密度函數(shù)f(x)，其梅林變換有如下形式[22]：

對(duì)上式求s=1處的i階導(dǎo)數(shù)，可以得到變量x的對(duì)數(shù)矩估計(jì)：

對(duì)式（18）取對(duì)數(shù)并求其在s=1處的i階導(dǎo)數(shù)，可以得到變量x的對(duì)數(shù)累量：

與傳統(tǒng)的矩與累量之間的關(guān)系一樣[20]，對(duì)于低階的對(duì)數(shù)矩li和對(duì)數(shù)累量ki有如下關(guān)系：

因此，對(duì)于N個(gè)觀測(cè)值xj，對(duì)數(shù)累量估計(jì)為：

3.2 模型參數(shù)MoLC估計(jì)

對(duì)第2章的SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型，按照上文給出的模型參數(shù)估計(jì)MoLC，計(jì)算相應(yīng)的對(duì)數(shù)累量表達(dá)式，如表1所示。皮爾遜系統(tǒng)分布和拖尾瑞利分布對(duì)數(shù)累量不能求出解析的表達(dá)式，因此在表1中沒(méi)有給出。

表1 SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)估計(jì)

表1中，ψ(·)表示digamma函數(shù)，ψ(i，·)表示i階polygamma函數(shù)[18]；廣義高斯瑞利分布對(duì)數(shù)累量式中λ=1/c，Gi(i=0，1，2)的定義參考文獻(xiàn)[14]。

4 建模精度評(píng)估

圖像統(tǒng)計(jì)建模的精度是區(qū)分模型優(yōu)劣的重要指標(biāo)，在對(duì)概率分布模型建模精度評(píng)估中已經(jīng)出現(xiàn)了很多方法，如基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的皮爾遜χ2檢驗(yàn)與K-S距離[19，23]，基于信息熵的K-L距離[20，24]。下面對(duì)以上3種圖像建模精度的評(píng)估準(zhǔn)則進(jìn)行詳細(xì)的介紹。

4.1 皮爾遜χ2檢驗(yàn)

皮爾遜χ2檢驗(yàn)是一種基于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的近似檢驗(yàn)，可以用于檢驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)和假設(shè)分布模型的擬合程度，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量如下[19，23]：

其中，K表示n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)劃分的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)子區(qū)間的個(gè)數(shù)，qi表示假設(shè)分布模型在第i個(gè)子區(qū)間內(nèi)的概率，ni表示第i個(gè)子區(qū)間中觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量q近似服從于χ2(K-s-1)分布，χ2的自由度不依賴于觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，而是取決于K和假設(shè)分布模型中未知參數(shù)個(gè)數(shù)s，表示為K-s-1，因此觀測(cè)數(shù)據(jù)服從于假設(shè)分布的概率可以表示為：

4.2 Kolmogorov-Smirnov（K-S）距離

K-S距離是建立在觀測(cè)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，通過(guò)比較觀測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布與假設(shè)分布模型累積概率分布函數(shù)之間的偏差作為評(píng)價(jià)假設(shè)分布模型與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的擬合精度，當(dāng)二者的偏差為零時(shí)，說(shuō)明觀測(cè)數(shù)據(jù)服從于假設(shè)分布模型。

對(duì)于n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)xi，設(shè)不超過(guò)x的樣本數(shù)目為nx，則x的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)可以表示為點(diǎn)估計(jì)的形式[19]：

令假設(shè)分布模型的累積概率密度函數(shù)為F(x)，則K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表示為[19，23]：

q表示F(x)和F0(x)和之間的最大偏差，從幾何角度來(lái)看它表征了兩個(gè)分布之間的距離，因此統(tǒng)計(jì)量q可以直接作為一個(gè)距離指標(biāo)來(lái)表示觀測(cè)數(shù)據(jù)與假設(shè)分布模型之間的匹配程度。

4.3 Kullback-Leibler（K-L）距離

K-L距離（或信息）表示兩個(gè)概率分布模型之間差異的信息量，也可以表述為從一個(gè)概率分布模型預(yù)測(cè)另一個(gè)概率分布模型的信息損失量。當(dāng)g(x)表示已知分布模型，f(x)表示假設(shè)分布模型，由f(x)預(yù)測(cè)g(x)時(shí)的K-L距離定義如下[20，24-25]：

對(duì)于離散的隨機(jī)變量xi，K-L距離可以表示為以下形式：

其中，g(xi)和f(xi)分別表示在xi處的概率，且滿足

K-L距離具有方向性，從g→f和f→g的K-L距離是不相等的，一般在表示兩個(gè)概率分布之間的差異度時(shí)，采用對(duì)稱K-L距離的形式[24-25]：

5 實(shí)驗(yàn)與分析

前面對(duì)SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型、參數(shù)估計(jì)和建模精度的評(píng)估準(zhǔn)則進(jìn)行了介紹，下面結(jié)合真實(shí)的SAR圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模實(shí)驗(yàn)。

SAR圖像數(shù)據(jù)主要通過(guò)機(jī)載SAR、星載SAR傳感器獲得。由于國(guó)內(nèi)的機(jī)載SAR數(shù)據(jù)較少，國(guó)外的機(jī)載SAR數(shù)據(jù)一方面是獲取比較困難，另一方面是成像的時(shí)間較早，不能很好地反映當(dāng)前SAR成像系統(tǒng)發(fā)展的水平，因此這里選取的SAR圖像都是國(guó)外近幾年發(fā)射星載SAR系統(tǒng)的成像數(shù)據(jù)，包括加拿大RadarSat-2（RS2）、德國(guó)TerraSAR-X（TSX）和意大利COSMO-Skymed（CSKS）的成像數(shù)據(jù)，成像時(shí)間集中在2007年—2008年之間，成像區(qū)域包括海面、海冰、農(nóng)田、森林、城區(qū)、山區(qū)和熔巖7種地表類型。如圖1所示。圖像大小均為400像素×400像素。

圖1給出了低分辨率和高分辨率7種地表類型SAR圖像數(shù)據(jù)（圖1（c）海冰和圖1（l）熔巖除外），圖像類型均為幅度圖像。對(duì)以上圖像采用第2章給出的統(tǒng)計(jì)分布模型進(jìn)行建模實(shí)驗(yàn)，模型參數(shù)采用第3章介紹的MoLC進(jìn)行估計(jì)，并運(yùn)用第4章中介紹的皮爾遜χ2檢驗(yàn)、K-S距離和K-L距離3種評(píng)估準(zhǔn)則進(jìn)行建模精度評(píng)估，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2、3、4所示（表3中結(jié)果都是放大10倍后的數(shù)值，因此真實(shí)的K-S距離需要乘以10-1）。

實(shí)驗(yàn)有三點(diǎn)需要說(shuō)明：一是在實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有采用拖尾瑞利分布和皮爾遜系統(tǒng)分布，由于拖尾瑞利分布概率密度函數(shù)沒(méi)有解析式，應(yīng)用數(shù)字積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)結(jié)果不唯一，皮爾遜系統(tǒng)分布族中K-分布、B-分布分別與經(jīng)典K-分布與逆高斯分布相同，而W-分布、U-分布參數(shù)估計(jì)不易實(shí)現(xiàn)；二是在文獻(xiàn)[15]中Fisher分布用于強(qiáng)度圖像的統(tǒng)計(jì)建模，但是Fisher分布是一種經(jīng)驗(yàn)分布模型，與圖像類型是不相關(guān)的，因此也可以對(duì)幅度圖像進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，通過(guò)實(shí)驗(yàn)表明其對(duì)幅度圖像建模也能取得很高的建模精度；三是廣義高斯瑞利分布在圖像統(tǒng)計(jì)建模時(shí)存在著局限性，當(dāng)SAR圖像統(tǒng)計(jì)的二階累量小于0.296時(shí)，廣義高斯瑞利分布無(wú)法應(yīng)用[14]。

圖1 SAR圖像數(shù)據(jù)

表2 統(tǒng)計(jì)建模精度皮爾遜χ2檢驗(yàn)（%）

表3 統(tǒng)計(jì)建模精度K-S距離

表4 統(tǒng)計(jì)建模精度K-L距離

由于各個(gè)SAR的差異性，如成像模式、工作頻段、入射角、多視處理、極化方式等，不同的SAR傳感器獲取的圖像即使對(duì)同一種地表類型也存在很大的差異，因此對(duì)統(tǒng)計(jì)模型建模精度評(píng)估的結(jié)果有很大的影響，如表2、3、4，同一種地表類型SAR圖像最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)模型也不相同。對(duì)于這種問(wèn)題有兩種可能的解決辦法：一是采用同一個(gè)SAR對(duì)所有地表類型進(jìn)行成像，但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取的成本比較大，而且該成像數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)建模的結(jié)果是否具有一般性也是一個(gè)值得研究的問(wèn)題；二是進(jìn)行SAR圖像仿真，可以低成本大量地獲取不同地表類型的SAR圖像，然而現(xiàn)在SAR圖像仿真技術(shù)還不是很成熟，有效的SAR圖像仿真數(shù)據(jù)還沒(méi)有獲得。

皮爾遜χ2檢驗(yàn)、K-S距離和K-L距離3種評(píng)估準(zhǔn)則是對(duì)SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型從不同方面建模精度的評(píng)估，因此即使對(duì)于同一幅SAR圖像，采用不同的評(píng)估準(zhǔn)則進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模型評(píng)估時(shí)，最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)模型可能也不相同。如對(duì)于圖1（a）海雜波SAR圖像，建模精度結(jié)果對(duì)應(yīng)于表2、3、4的第1行，采用皮爾遜χ2檢驗(yàn)和K-S距離進(jìn)行評(píng)估時(shí)，最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)模型是廣義伽馬分布，而采用K-L距離進(jìn)行評(píng)估時(shí)，最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)模型是Nakagami分布。

對(duì)于表2、3、4中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以分別從統(tǒng)計(jì)模型和SAR圖像地表類型兩個(gè)方面進(jìn)行分析。從統(tǒng)計(jì)模型的角度進(jìn)行分析，在3種建模精度評(píng)估準(zhǔn)則下，計(jì)算每個(gè)統(tǒng)計(jì)模型適宜的地表類型個(gè)數(shù)。對(duì)于圖1中不同分辨率下的7種地表類型，分別對(duì)照表2、3、4實(shí)驗(yàn)結(jié)果的每一行尋找3種最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)模型，如表2中第1行中最優(yōu)的3種統(tǒng)計(jì)模型為Nakagami分布、Fisher分布和廣義伽馬分布；然后分別按照皮爾遜χ2檢驗(yàn)、K-S距離和K-L距離評(píng)估準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)每個(gè)統(tǒng)計(jì)模型適宜的地表類型個(gè)數(shù)，從而可以得出每一種統(tǒng)計(jì)分布模型適宜的地表類型總數(shù)，如圖2所示。

從圖2中可以直觀看出，在3種建模精度評(píng)估準(zhǔn)則下，逆高斯分布、Fisher分布和廣義伽馬分布適宜的SAR圖像地表類型個(gè)數(shù)均在3個(gè)或3個(gè)以上，尤其是廣義伽馬分布，與其他分布模型相比，該模型表現(xiàn)最好的建模能力，這也可以理解的，是由于廣義伽馬分布有3個(gè)模型參數(shù)。雖然K-分布作為一種重要的SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型，但是對(duì)于SAR幅度圖像而言，平方根K-分布的建模精度沒(méi)有達(dá)到期望效果。從圖2還可以看出，瑞利分布、Nakagami分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和韋布爾分布只能對(duì)一種或幾種SAR圖像地表類型表現(xiàn)出較好的建模效果。

從SAR圖像地表類型的角度進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)每一種地表類型的3種最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)模型。由于對(duì)同一幅SAR圖像，采用不同的建模精度評(píng)估準(zhǔn)則時(shí)，最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)模型分布不相同，因此綜合考慮表2、3、4中3種建模精度評(píng)估的結(jié)果，可以選出圖1每一幅SAR圖像最優(yōu)的3種統(tǒng)計(jì)分布模型，如表5（表中橫軸第2行為概率分布的英語(yǔ)縮寫表示，見(jiàn)圖2標(biāo)題部分）。

圖2 分布模型適宜的SAR圖像地表類型數(shù)目

表5 SAR圖像地表類型3種最優(yōu)統(tǒng)計(jì)模型

從表5中“√”的分布再次驗(yàn)證了圖2顯示的逆高斯分布、Fisher分布和廣義伽馬分布具有更出色的SAR圖像建模能力。從表5中還可以得出以下結(jié)論：Nakagami分布適于農(nóng)田區(qū)域的圖像統(tǒng)計(jì)建模，平方根K-分布適于森林區(qū)域，逆高斯分布適于海冰、森林、城區(qū)、山區(qū)等非均勻區(qū)域，對(duì)數(shù)正態(tài)分布適于城區(qū)，F(xiàn)isher分布和廣義伽馬分布適于統(tǒng)計(jì)建模的區(qū)域最廣泛，包括海面、農(nóng)田、森林、城市、山區(qū)等。對(duì)于不同的類型的地表區(qū)域，最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)分布模型不一樣，但從整體的統(tǒng)計(jì)建模的效果來(lái)看，基于先驗(yàn)假設(shè)的逆高斯分布和基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的Fisher分布與廣義伽馬分布具有更廣泛的SAR圖像建模適用性。

6 結(jié)論

本文對(duì)SAR圖像統(tǒng)計(jì)分布模型進(jìn)行了總結(jié)回顧，按照統(tǒng)計(jì)模型的起源分為先驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)模型和經(jīng)驗(yàn)分布模型兩大類，共11種統(tǒng)計(jì)分布模型；根據(jù)參數(shù)估計(jì)的MoLC實(shí)現(xiàn)了模型的參數(shù)估計(jì)，并給出了模型建模精度評(píng)估的皮爾遜χ2檢驗(yàn)、K-S距離和K-L距離3種評(píng)估準(zhǔn)則；最后對(duì)真實(shí)的SAR圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行建模實(shí)驗(yàn)，評(píng)估了每一種模型的建模精度。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，不僅得出了適于不同地表類型的SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型，還得出逆高斯分布、Fisher分布和廣義伽馬分布具有更廣泛的SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模能力。

[1]Oliver C，Quegan S.Understanding synthetic aperture radar images[M].[S.l.]：Sci Tech Publishing，2004.

[2]Trunk G，George S.Detection of targets in non-Gaussian sea clutter[J].Aerospace and Electronic Systems，1970（5）：620-628.

[3]Schleher D.Radar detection in Weibull clutter[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1976（6）：736-743.

[4]Goodman J.Statistical properties of laser speckle patterns[M]// Laser Speckle and Related Phenomena.Berlin：Springer-Verlag，1975：9-75.

[5]Goodman J W.Some fundamental properties of speckle[J].J Opt Soc Am，1976，66（11）：1145-1150.

[6]Jakeman E，Pusey P.A model for non-Rayleigh sea echo[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1976，24（6）：806-814.

[7]Jen J.Amplitude distribution of composite terrain radar clutter andtheK-distribution[J].IEEETransactionsonAntennas and Propagation，1984，32（10）：1049-1062.

[8]Oliver C J.A model for non-rayleigh scattering statistics[J]. Optica Acta：International Journal of Optics，1984，31（6）：701-722.

[9]Chitroub S，Houacine A，Sansal B.Statistical characterisation and modelling of SAR images[J].Signal Processing，2002，82（1）：69-92.

[10]Frery A C，Muller H J，Yanasse C C F，et al.A model for extremelyheterogeneousclutter[J].IEEETransactionson Geoscience and Remote Sensing，1997，35（3）：648-659.

[11]Delignon Y，Garello R，Hillion A.Statistical modelling of ocean SAR images[J].IEEE Proceedings of Radar，Sonar and Navigation，1997，144（6）：348-354.

[12]Delignon Y，Pieczynski W.Modeling non-Rayleigh speckle distribution in SAR images[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2002，40（6）：1430-1435.

[13]Kuruoglu E E，Zerubia J.Modeling SAR images with a generalization of the Rayleigh distribution[J].IEEE Transactions on Image Processing，2004，13（4）：527-533.

[14]Moser G，Zerubia J，Serpico S B.SAR amplitude probability density function estimation based on a generalized Gaussian model[J].IEEE Transactions on Image Processing，2006，15（6）：1429-1442.

[15]Tison C，Nicolas J M，Tupin F，et al.A new statistical model for Markovian classification of urban areas in high-resolution SAR images[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2004，42（10）：2046-2057.

[16]Anastassopoulos V，Lampropoulos G A，Drosopoulos A，et al. High resolution radar clutter statistics[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1999，35（1）：43-60.

[17]Li H C，Hong W，Wu Y R，et al.On the empirical-statistical modeling of SAR images with generalized gamma distribution[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2011，5（3）：386-397.

[18]Olver F W J，Lozier D W，Boisvert R F，et al.NIST handbook ofmathematicalfunctions[M].[S.l.]：CambridgeUniversity Press，2010.

[19]Papoulis A，Pillai S U.概率，隨機(jī)變量與隨機(jī)過(guò)程[M].保錚，譯.西安：西安交通大學(xué)出版社，2004.

[20]Ord J K，Arnold S F，O’Hagan A，et al.Kendall’s advanced theory of statistics[M].[S.l.]：Hodder Arnold，1999.

[21]Nicolas J M.Introduction to second kind statistics：application of Log-moments and Log-cumulants to SAR image law analysis[J].Traitement du Signal，2002，19（3）：139-168.

[22]Krylov V，Moser G，Serpico S B，et al.On the method of logarithmic cumulants for parametric probability density function estimation[R].2011.

[23]DeVore M D，O’Sullivan J A.Quantitative statistical assessment of conditional models for synthetic aperture radar[J].IEEE Transactions on Image Processing，2004，13（2）：113-125.

[24]Burnham K P，Anderson D R.Model selection and multi-model inference：a practical information-theoretic approach[M].New York：Springer，2002.

[25]朱雪龍.應(yīng)用信息論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2001.

LI Yongchen,LIU Liu

Key Laboratory of System Control and Information Processing of Ministry of Education,Department of Automation,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China

This paper reviews probability distribution models in the study of statistical modeling of Synthetic Aperture Radar（SAR）imagery.According to the origin of each model,all models can be divided into two categories：the statistical models of prior assumptions and the empirical distribution models.The Method of Logarithmic Cumulants（MoLC）which is a new method for parameter estimation is introduced；furthermore,the estimated expressions of logarithmic cumulants of statistical models are computed based on the MoLC.Theevaluation criterions of modeling precision are developed and then implemented in the experiment of modeling real SAR images.Finally,the suitable terrain of SAR imagery for each statistical model is concluded from experimental results.

Synthetic Aperture Radar（SAR）imagery;probability distribution model;parameter estimation;precision evaluation

綜述了合成孔徑雷達(dá)（SAR）圖像統(tǒng)計(jì)建模研究中的概率分布模型，按照模型起源將所有模型分為了先驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)模型和經(jīng)驗(yàn)分布模型兩大類。介紹了一種模型參數(shù)估計(jì)的新方法——對(duì)數(shù)累量法，并根據(jù)對(duì)數(shù)累量法計(jì)算了統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)估計(jì)的對(duì)數(shù)累量表達(dá)式；發(fā)展了統(tǒng)計(jì)模型建模精度的評(píng)估準(zhǔn)則，并應(yīng)用到了SAR圖像數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)建模實(shí)驗(yàn)中。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出了每一種統(tǒng)計(jì)模型適宜建模的SAR圖像地表類型。

SAR圖像；概率分布模型；參數(shù)估計(jì)；精度評(píng)估

A

TN957.51

10.3778/j.issn.1002-8331.1301-0356

LI Yongchen,LIU Liu.Review of statistical models of SAR image.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：180-186.

李永晨（1986—），男，碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)镾AR與極化SAR圖像處理；劉瀏（1980—），男，博士，研究領(lǐng)域?yàn)閳D像處理與機(jī)器學(xué)習(xí)。E-mail：yclkj2010@163.com

2013-01-30

2013-03-26

1002-8331（2013）13-0180-07