逆指數分布參數的Bayes和經驗Bayes估計

肖世校，陽連武

（1.集美大學誠毅學院，福建 廈門 361021；2.宜春學院 數學與計算機科學學院，江西 宜春 336000）

逆指數分布參數的Bayes和經驗Bayes估計

肖世校1，陽連武2

（1.集美大學誠毅學院，福建 廈門 361021；2.宜春學院 數學與計算機科學學院，江西 宜春 336000）

基于完全樣本,在平方誤差損失、LINEX損失函數下研究了逆指數分布參數的Bayes估計和經驗Bayes估計.文末通過Monte Carlo數值模擬例子對各類估計結果進行比較.

最大似然估計；Bayes估計；經驗Bayes估計；平方誤差損失函數；LINEX損失函數

1 引言

關于可靠性分布模型參數的Bayes統計推斷問題得到了眾多學者的關注和研究，并成為近年來數理統計學研究的熱點方向.文獻[1]基于逐步遞增的I型截尾壽命試驗，研究了復合瑞利分布參數的最大似然估計以及Bayes估計問題;文獻[2]基于逐次定數截尾樣本討論了Burr Type II分布參數的最大似然估計和逆矩估計問題；文獻[3]研究了定數截尾樣本情形下逆Weibull分布參數的Bayes估計和預測問題；文獻[4]基于逐次定數截尾樣本討論了比率危險率分布模型參數的Bayes估計問題；文獻[5]討論了Burr Type XII分布參數的Minimax估計問題；文獻[6]討論了具有二項隨機移除的廣義指數分布參數的最大似然估計以及置信區間估計問題.本文將在完全樣本情形下研究逆指數分布參數的最大似然估計、Bayes估計以及經驗Bayes估計問題.

設隨機變量X服從兩參數逆指數分布,相應的概率密度函數和分布函數分別為：

和

其中θ為未知參數.

2 估計

2.1 最大似然估計

設X1,X2,…,Xn為來自逆指數分布(1)的樣本容量為n的一個簡單隨機樣本,其中(x1,x2,…,xn)為(X1,X2,…,Xn)的樣本觀測值.給定(x1,x2,…,xn)下參數θ的似然函數為：

由（3）得對數似然函數：

相應的似然方程為：

得到參數θ的最大似然估計為

2.2 Bayes和經驗Bayes估計

在這一部分,我們將考慮在平方誤差損失、LINEX損失函數下討論逆指數分布的尺度參數θ的Bayes估計問題.以下均設X1,X2,…,Xn為來自逆指數分布(1)的容量為n的一個樣本

(i)在平方誤差損失函數：L(θ^,θ)=(θ^-θ)2下參數θ的Bayes估計為：θ^BS=E[θ|X]；

(ii)LINEX損失函數：L(Δ)=ecΔ-Δ-1,c≠0,其中Δ=θ^-θ,θ^為參數θ的估計,c為損失函數的形狀參數,則在LINEX損失下,參數θ的Bayes估計為：

定理1 設X=(X1,X2,…,Xn)為來自逆指數分布(1)的樣本容量為n的一個簡單隨機樣本,其中x=(x1,x2,…,xn)為相應的樣本觀察值,t為T的觀察值,并設參數θ的先驗分布為伽瑪分布Γ(α,β),則

（i）在平方誤差損失函數下,參數θ的Bayes估計為：

(ii)在LINEX損失函數下,參數θ的Bayes估計為：

證明 設參數θ的共軛先驗分布為伽瑪分布Γ(α,β),即相應的概率密度函數為：

再由(3)及Bayes定理,參數θ的后驗概率密度函數為：

于是參數θ的后驗分布為Γ(n+α,β+t).

則（i）在平方誤差損失函數下,參數θ的Bayes估計為其后驗均值,故參數θ的Bayes估計：

（ii）由(11)有

于是在LINEX損失函數下,參數θ的Bayes估計為：

注2 當超參數α已知時,定理1中的Bayes估計依賴于超參數β的選取,且當超參數β未知時,我們可借用經驗Bayes估計方法進行估計.由(3)和(10)我們得到x的邊緣概率密度函數：

現在我們將β^替換Bayes估計中的參數β,便得到參數θ的經驗Bayes估計分別為：

3 實際應用例子和結論

利用Matlab軟件，通過Monte Carlo數值模擬生成一組樣本容量為20的服從參數θ=2.0的逆指數分布(1)的簡單隨機樣本樣本,具體樣本值見表1.

表1 數值模擬數據

由表2和大量的數值模擬試驗我們得到如下結論：

(i)參數的Bayes和經驗Bayes估計值在樣本量n較小的情況下受超參數的影響較大,但隨樣本容量的增加超參數對參數估計值的影響逐漸變小,并且本文得出的經驗Bayes估計θ^EBS恰好等于最大似然估計θ^ML;

表2 參數的Bayes和經驗Bayes估計值

(ii)LINEX損失函數下的Bayes和經驗Bayes估計會受到損失函數自身的形狀參數c的影響.

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O212

A

1673-260X（2013）11-0003-02

江西省自然科學基金項目(20114BAB211005)