繼承與創新同在，傳統與開放并存——2012年浙江省數學高考理科第17題賞析

☉浙江省嘉興市第一中學 王劍明

2012年浙江高考數學理科試卷最后一道填空題，考查的是高中數學中常規、傳統的含參數的不等式恒成立問題.2011年浙江高考數學理科試卷最后一道解答題，也是含參數的函數不等式恒成立問題.2011年底全國各種中學數學雜志針對含參數的函數不等式恒成立問題的解法刊發了近20余篇文章，大多是運用“最值法”、“分離參數法”以及大學數學的二階導數、羅比達法則求極限等知識和方法給出解答.

對于不等式恒成立的問題，教師都會作為重要的問題進行教學，把“最值法”、“分離參數法”作為通性通法，而且在不斷的重復、不斷的訓練、不斷的強化.今年高考又正面碰到，許多學生對此題有似曾相識之感.由于高考試題繼承與創新同在，從而學生的求解思路并不清晰.這題不能直接“分離參數法”，“最值法”也不方便使用，順利解答有不小難度.本題擊中了應試教學的軟肋，顯示了高考命題者的智慧.本問題的解題策略有相當的開放性與發散度，可以很好地考查學生靈活應用數學知識與方法的能力.讓我們追尋探究的足跡，感受思想的風采.

2012年浙江數學高考理科第17題：設a∈R，若x>0時均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

一、解法探究，感悟思想

解法1：數形結合，熠放光彩.

函數y1=（a－1）x－1，y2=x2－ax－1，都過定點P（0，－1）.

圖1

解法2：特殊值法，神來之筆.

令x=1，則（a－2）（－a）≥0，即0≤a≤2；

點評：不費吹灰之力解決填空壓軸題，出乎意料.取一些特殊值，縮小字母的取值范圍，是一個好方法，體現了特殊性存在于一般性之中的哲學思想.這里有運氣的成份，也有解浙江高考題的技巧.如2010屆高考數學測試卷第22題：已知函數f（x）=（1－2a）x3+（9a－4）x2+（5－12a）x+4a（a∈R）.（Ⅰ）略；（Ⅱ）若函數f（x）在區間［0，2］上的最大值為2，求a的取值范圍.

命題組給出如下解法：

解法3：分類討論，各個擊破.

當a=1時，不等式［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0即為x2－x－1≤0，在x>0時不可能恒成立；

當a＜1時，x3的系數為負，不等式［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0在x＞0時不可能恒成立；

顯然x1＞0，x2＞0，x3＜0.

記f（x）=［（a－1）x－1］（x2－ax－1）（a＞1），則f（x）的草圖為圖2.

圖2

解法4：變更主元，回歸通法.

因為x＞0時均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，

點評：不能直接分離參數，但能從參數分離法的思想中受到啟發，調整視角，變更主元.體現了思維的靈活性.

二、反思回顧，提出問題

愛因斯坦說過：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個教學上或實驗上的技能而已.而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創造性的想像力，而且標志著科學的真正進步.”

在解法4中x=－1有什么玄機？

變式1：設a∈R，若x＜0時均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

解析：從解法4中可知：

因為x＜0，所以可取x=－1，此時a=0.

當a=0時，［（a－1）x－1］（x2－ax－1）=（x+1）2（1－x）≥0，

所以a=0.

點評：從這里也可看出x=－1時是a取值的關鍵.

在解法3中x=1有什么玄機？

變式2：設a∈R，若x＞1時均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

變式3：設a∈R，若x＜1時均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

同理可解得a=0.

三、教學思考，提升智慧

本題簡潔樸素，但具有高考試題概念的深刻性、思辨的邏輯性、解法的多樣性等特點，是整份試卷中的一大亮點.題目雖小，但題精意蘊，細細品味，對今后的復習備考具有很多有益的啟示.

1.夯實基礎，加深對數學知識的理解

如本題雖然綜合，但還是可以分解為一個基礎的問題：一個一次函數和一個二次函數.從這個角度來說，基礎知識的熟練掌握永遠是數學教學和數學學習的基石.熟練掌握基礎知識，就可以形成對數學知識的深入理解，在調用和應用基礎知識解決問題的過程中才會有速度和效率，也會有更多的靈感.本題與2011年浙江省數學高考理科試題的第10題，討論方程g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）=0根的個數是否也有異曲同工之妙？可謂獨具匠心，使人倍感親切，并給人似曾相識的感覺.

2.提煉方法，加強對數學思想的感悟

本題以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養.本題以不等式為載體，既考查基礎知識，考查數形結合等基本思想方法，還體現特殊性與一般性的哲學思想，又考查對數學本質的理解水平以及進入高等學校繼續學習的潛能.此題還傳遞出一個信息，高中數學教學依靠“題型＋技巧＋大運動量訓練”的教學難以適應高考，呼喚突出數學本質、實現高中數學教學自然回歸.學生面對或熟悉或陌生的問題情境，是否能解決問題最終落實到數學能力.分析、比較、運算和推理能力的訓練等應成為數學學習的常態.數學問題的求解是講究方法的，數學方法既有常規的通性通法，又有一些特定的巧方妙法.設置恰當的例題、練習，對學生進行有針對性的能力訓練和提升，是解決綜合問題、壓軸問題不可替代的方法.突破背景新穎、內涵深刻的壓軸題，是數學考試中的很高要求，沒有方法的提煉和積累，更多的時候只能望題興嘆.平時的教學過程中，要有意識地進行解題方法的提煉，進行數學思想的滲透，這樣才能取到事半功倍的效果.

3.回顧反思，加大對數學能力的提升

著名的數學家波利亞說得好：“數學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在尋求數學問題的求解過程中，包含四個步驟：理解題目——擬定方案——實現計劃——回顧反思.其中反思是解題過程中的深化與提高，有利于在原有基礎上建立更高層次的認知結構，是一個極其重要而又容易被忽視的環節.因此，教學中，不能滿足于獲得正確的答案，要引導學生多層次、多側面地對問題及解決問題的思維過程進行反思，通過反思培養思維品質，提升數學能力.

在新課改的大背景下，減負和增效之間的矛盾是當前教育工作者亟待解決的問題，我們決不能以增補過多的知識、課堂上過多的機械模仿為學生換取一種“應試教育”的高效.這就要求我們教師更多的時候立足課程標準、中學教材，把中學數學最基本的思想、最本質的方法（通性通法），運用好我們的教學智慧傳授給學生，從而在中學階段打下堅實的基礎，實現真正意義上對數學本質的理解，達到我們公認的高效！這既是新課標理念的追求，又是對教師素養的要求.

1.中華人民共和國教育部制定.高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.厲倩.淺談2010年全國卷的四道高考題［J］.中學數學，2010，9.

3.張國治.用羅比達法則巧解一類高考壓軸題［J］.數學通訊，2011，12.■