如何讓學生的思考更有條理

☉江蘇省蘇州市第四中學 陳廣山

數學教學是教師引導（指導）下學生的學習過程．這個過程學生學什么？在1982年舉行的第四屆國際數學教育大會（ICME4，美國）上，波利亞做了題為“數學有助于思考”的報告．在報告中，他強調數學學習的一個最重要的目的是學會更聰明的思考問題．眾所周知，學生認知有不同的水平和層次．而范希爾（VanHiele，1986）通過多年的實踐和研究認為，思維層次的發展不是自然而然的，學生只有通過適當的教學才能依次從較低層次過渡到較高層次．因此，為了學生“學會更聰明的思考問題”，發展學生高層次認知能力，在教學活動過程中必須引起學生積極主動的思考，特別是有條理的思考，從而實現思維水平向更高層次發展的目標．正如教育部頒布的《普通高中數學課程標準》指出的那樣：“……數學教育在學校教育中占有特殊的地位，……它使學生表達清晰、思考有條理……”說明思考有條理不僅是衡量思維能力的一個重要因素，也是數學教學重要任務之一．

當然，許多因素會影響學生思考的條理性，包括個人、環境與文化傳統方面的因素，課程和教學方面的因素等．本文擬在課堂教學中“思考有條理”的培養策略方面作一些探討，以拋磚引玉．

一、整節課的流程設計要合理，主線要清晰流暢

在實際教學中，常常看到有些數學課每個情境都很精彩、每個例題講得都很透徹、學生活動一個接一個、基本理論分析也很清楚，但課后，學生總有在云里霧里的感覺，不知道目標是什么，整節課的線索是什么，由于學生一直被牽著走，有種“堆砌”“凌亂”感，覺得不順暢．

例如，在《幾何概型》的教學中，經常看到如下的教學設計：

“我們已經學習了古典概型，但是現實生活中，常常會遇到試驗的所有可能結果是無窮多的情況，這時就不能用古典概型來計算事件發生的概率了，我們可以用幾何概型來計算事件發生的概率”．……“我們舉個例子來說明相應概率的求法”……．解決這個例子，并給出幾何概型的定義和概率計算公式．最后鞏固練習．

該設計流程主線為：問題（告知）→舉例說明→產生新理論→鞏固練習．這樣的教學雖然學生能夠靠模仿去解決問題，但教學中出現的諸如：問題產生的“突兀”、理論生成的“斷層”等現象，使得學生更多的是被告知、進行操作模仿，這種重視數學知識本身的價值而忽視知識產生的過程、思維活動的過程價值的教學，本身是枯燥無味的、“冰冷”的，與新課程理念相悖，數學的教育價值很低，壓制了學生“火熱”的思考．

研究指出：組織教學內容時，教師根據不同對象的發展水平，有步驟的提高所呈現的知識和經驗的結構化程度，組織好從簡單到復雜的有序積累過程是提高知識經驗轉化效率的基礎［1］．也就是說，在教學設計時，要充分考慮數學知識的邏輯順序（也包括知識的背景）、考慮數學知識生長的自然向上的態勢（所學知識如何產生、怎樣建構、如何運用）和學生的心理情感發展的特點，對教材上提供的材料和教學內容進行反復梳理，把這些素材的組織和調用與學生的思維層次的整體發展和不斷提高協調整合起來，不斷優化整體流程設計．這表明，教學設計要有一條，從簡單到復雜、由低級到高級、結構科學、流暢自然、條理清晰、方向明確的主線，這條主線要協調好各個要素的關系，這樣學生才能注意到問題是怎么提出來的、怎樣分析和怎樣解決的，才能更積極主動地、興趣盎然地參與教學活動過程．具體的說，在備課時，應注重分析學生的認知結構和生活經驗，在引入新課時，深入思考以下問題：運用什么樣的例子、采用什么樣的的方式和方法提出問題？在新知識和新理論教學時，要為學生搭建怎樣的“腳手架”？如何恰當地點撥鋪墊？學生探究問題時可能出什么情況？例題如何組織？使用什么樣的變式？如何練習鞏固？如何反思？等等．只有當學生獲得了有條理的教學事件，思考才能有條理，才能保證思維的參與度，才能保證思維不斷向高層次發展.基于上述觀點，將教學流程設計為：情境→提出問題→嘗試解決→驗證→生成理論→運用→反思提高.整體教學設計如下：

情境一：（1）已知M={0，1，2，3}，若從M中任意取出一個數，則這個數不大于1的概率是多少？［回顧舊知，思維起點］

（2）若M=［0，3］，則從M中任意取出一個數，這個數不大于1的概率是多少？［條件簡單變化，產生新的問題，激發新的思考，思維活動真正開啟］

提出問題：對于（2）能否用古典概型的方法求概率？為什么？這個問題與古典概型相比有什么異同？［很自然的一些問題，分析比較中，思維活動向前推進］

學生活動：歸納抽象新模型的特征，并探求解決方法，并與大家交流感受.［明確了問題的性質，發現舊模型的方法不適用，而新模型的解法在直覺中、對生活的感悟中和同學之間的交流中慢慢成形，一種解決問題的方案（或者說是假設）形成了.學生的思維在碰撞中，不斷深入，火花迸出］

情境二：取一個邊長為2a的正方形及其內切圓，隨機地向正方形內丟一粒豆子，豆子落入圓內的概率是多少？師生一起用剛才的方法嘗試解決問題.［增加認同感，為更加深刻的思維活動（綜合和抽象）做鋪墊］

提出問題：這種新方法是否真的合理？怎么檢驗？通過計算機模擬，當試驗次數很大時，用隨機事件的頻率估計概率.［理性告訴我們，大家都認同的也未必靠得住，必須對即將形成的理論的科學性做出判斷和評價，這種警示又表明思維活動達到更高水平了（思維監控）；當然這里又經歷了一次提出問題、分析問題和解決問題的過程，這種思維活動的嵌套說明了思維的復雜性］

建構數學：驗證成立，上升為理論，歸納總結計算這種新模型的概率的方法.［通過提出問題、分析問題、提出假設、檢驗假設等一系列有條理的思維過程，產生思維成果，解決了開始所提出的問題，感受思維活動的快樂！］

數學運用：

例1 在1升高產小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？［學生認識到基本事件形成的區域也可能是立體圖形，對應的測度是體積，完善對幾何概型的認識］

例2 在直角三角形ABC中，∠CAB=60°，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.

變式：過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM小于AC的概率.［學生認識到解決幾何概型的關鍵是要找準基本事件，及基本事件形成的區域］

［在實踐中進一步檢驗、完善和深化，達到了更深層次的探索和理解數學的作用，對新理論有了系統化的認識］

二、問題解決過程中的啟發引導要自然有序

數學問題是數學思維活動的必然產物，解決問題又是思維活動的動力和目標.張乃達先生將解決問題的過程分成如下幾個層次：一般性解決，功能性解決，特殊性解決（一般性解決和功能性解決統稱概略性解決）.我們知道，當人們在解決一個生疏的問題時，總力求逐步縮小探索的范圍，分層次的探求解決問題的方法和步驟.即解決問題的過程是按照“一般性解決→功能性解決→特殊性解決”的順序分層推進的，這也應是學生解決數學問題的思維進程.為了不讓學生對解決問題過程產生“強加”、“灌輸”的感覺，教師必須順應這種思維進程做好啟發引導.

第一步：停下來想.

師：看來大家不會做，大家不妨停下筆，想一想，疑惑在哪里？

第二步：后退一步.

師：對呀，有兩個未知量，那怎么辦？［后退一步，從一個更為一般性的層面去審視問題，辨別問題所面臨的類型］

生：對了，列方程組.［可以看到原來的問題只是一個更大的問題中的一部分，已經延伸到一個新的問題了，這就是在退后一步發生的.從思維進程看現在已經是概略性解決問題了］

第三步：重構問題.

不過，接下來學生還感到困難，我還按照剛才的順序進行啟發引導.

師：看看題目中還有什么？［停下來想］

生：“任意實數x，都成立”，重點在“任意”上.

師：“任意”一詞在生活中是什么意思？［后退一步］

生：“所有”，“每一個”，“無一例外的”.

生：老師，我懂了，我知道怎么再列一個方程了.

可以看出，按這種思維進程的順序提出恰當的問題，可以自然地讓學生從具體問題中先退出來，站在更高的位置、更一般性的層面審視問題，先回答解決問題或靠近目標的方式是什么.這樣有條理的啟發引導不僅實現了按正確的步驟解決問題，也成為了培養學生掌握數學思想方法（如案例中的方程和方程組思想，由一般到特殊的思想）的一種重要手段.由于學生的數學思維活動具有較強的個體性和獨立性，啟發性提示語必然是動態的，因此啟發引導應強調追求自然的原則：由遠及進，先宏觀再微觀.只有啟發性提示語之間自然銜接、富有層次，才能讓不同思維水平的學生都能受到相應的啟發，從而使思維齒輪在啟發性提示語的潤滑下形成良性運轉.

三、以追問逼反思，促使學生實現有條理的思考

其實很多學生在面臨一個題目時，總是想直接給出具體解題方法，或陷在幾種具體方法中嘗試，而不是習慣于先找到一個概略性解題方案，因而常常會引起思維的混亂.如何讓學生走出困境，理順關系？在教學中可通過追問讓學生暴露思維過程.

生1：把兩個式子都展開.

生2：不行，應配湊角.

這實際上已經是功能性解決方案了，上面的一般性解決的思維環節已經被簡約掉了.這時教師應該追問：為什么要配湊角？配湊的目的是什么？問題逼著學生反思，讓他回到前一個思維層次（即一般性解決）中去.

生2：配湊角是為了找到所求角與已知角的關系.

師：為什么找到所求角與已知角的關系？

生2：依據三角公式可由角的關系得到他們三角函數值的關系.

原來配湊角的目的是創造運用三角公式的條件，轉化為我們熟悉的、已經會解決的問題.那么配湊角能不能成功呢？這取決于下一個問題：怎樣配湊？這已經是特殊性解決的問題了.

通過追問，逼學生先確定一個概略性解決的方案，有了這個方案，具體的解題操作就有了方向，避免了盲目性；通過追問，復原了“一般性解決→功能性解決→特殊性解決”的思維過程，引導他們按照行之有效的方式思考；通過追問，強化了學生在現實中有序而理性解決問題的觀念.

四、一些思考

對學生而言，學了多少知識，學了哪些知識往往會隨著時間的流逝而不斷流逝，但在他們腦海深處留下來的而又終身受用的就是思維方式和思考習慣.由于數學內部知識、問題解決過程、學生認知水平發展的有序性，數學教學就是思維活動的教學等方面的原因，使得數學課堂成為培養學生有條理思考的主陣地之一.我們不僅可以在課堂上通過問題解決、啟發引導、反思等形式來培養學生有條理思考的習慣，也可以在板書的條理性、語言表達的條理性等方面給學生以熏陶.需要指出的是，我們注重有條理的思考，也不會忽視直覺、創造性思維的重要性.雖然在現實中我們并不都是有條理地思考問題，但它卻在背后指導我們.

1.顧泠沅.教學改革的行動與詮釋［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.張乃達.數學思維教育學［M］.南京：江蘇教育出版社，1990.