是巧合還是必然？——由一道習(xí)題的解答引起的思考

☉江蘇省海安縣立發(fā)中學(xué) 張華琴

一、問(wèn)題及解法

在復(fù)習(xí)“集合與常用邏輯用語(yǔ)”之后，我讓學(xué)生課下做高三一輪復(fù)習(xí)資料上的一道題：

若三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點(diǎn)，求a的取值范圍.

第二天上課時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法大都如下：

解：若這三條拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，

“正難則反”是指直接解答時(shí)較為復(fù)雜，間接求解反而簡(jiǎn)單，常用于“至多”、“至少”這種情況.該解法正是使用了“正難則反”的解題策略.但這種無(wú)一例外的現(xiàn)象引起了筆者的興趣，師問(wèn)：“你們是怎么想到的？”有的回答：“以前做過(guò)類(lèi)似題目，老師是這樣講解的”，有的回答：“資料上的解答是這樣的”.翻開(kāi)資料上的解答，發(fā)現(xiàn)與上面的解答確實(shí)是一樣的.（課后筆者翻看了各種教輔資料，不少資料上都有這道題或類(lèi)似題目，解法也都是千篇一律.課后通過(guò)對(duì)部分教師的訪問(wèn)，發(fā)現(xiàn)他們也都是反面求解的，并且說(shuō)直接求解很復(fù)雜.）

師接著問(wèn)學(xué)生：“能否直接求解呢？”

二、直接求解，一波三折

幾分鐘后，有學(xué)生思考如下：

由于三條拋物線中至少有一條與x軸有交點(diǎn)，分類(lèi)如下：①恰有一條與x軸有交點(diǎn)，另兩條與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；②恰有兩條與x軸有交點(diǎn)，第三條與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；③三條與x軸都有交點(diǎn).

這種分類(lèi)求解方法看似合理，其實(shí)不然.除③以外，①、②中仍需要分幾種情形，求解過(guò)程極其繁雜.不少學(xué)生做到這一步后“望題興嘆”，不得不放棄；也有的“明知山有虎，偏向虎山行”，花費(fèi)大量時(shí)間，最后還是無(wú)果而終.

該結(jié)果與前面解法結(jié)果確實(shí)完全一樣，同學(xué)們議論紛紛，有的露出驚訝的表情，有的將信將疑，有的認(rèn)為解法有問(wèn)題，只是碰巧做對(duì)了，但又說(shuō)不出問(wèn)題出在哪里.

師：你是怎么想到這樣解的，這樣解的依據(jù)是什么？

生：我是計(jì)算后發(fā)現(xiàn)三個(gè)集合A、B、C的并集等于正確答案，但不知道這樣做方法是否有依據(jù).

師：這種解法是巧合還是必然？學(xué)生不置可否.

通過(guò)學(xué)生的反應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)，他們對(duì)集合的并集運(yùn)算很熟練，但對(duì)邏輯聯(lián)接詞“或”的涵義理解還不透徹，看起來(lái)對(duì)邏輯聯(lián)接詞“或”是懂了，但不會(huì)靈活運(yùn)用該知識(shí)解決問(wèn)題.有鑒于此，為了正本清源，下面師生共同探究相關(guān)知識(shí).

三、追根溯源

邏輯聯(lián)接詞“或”與集合的“并”的關(guān)系：

邏輯聯(lián)接詞“或”有如下規(guī)定：當(dāng)p，q兩個(gè)命題有一個(gè)是真命題時(shí)，“p或q”是真命題，即“p或q是真命題”是指p，q至少有一個(gè)是真命題.

集合的“并”有如下規(guī)定：若x∈P或x∈Q，則x∈P∪Q，即“x∈P∪Q”是指“x∈P”，“x∈Q”至少有一個(gè)是成立的.

若把命題p，q分別對(duì)應(yīng)于集合P，Q，“或”對(duì)應(yīng)于“并”，那么關(guān)于“或”與“并”的規(guī)定就具有形式上的一致性了.具體的說(shuō)，若“p是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P”，“q是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈Q”，則“p∪q是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P∪Q”.

三個(gè)命題p，q，r與三個(gè)集合P，Q，R之間有同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具體的說(shuō)，若“p是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P”，“q是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈Q”，“r是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈R”，則“p∪q∪r是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P∪Q∪R”.

再回頭看這道題，記命題p：拋物線y=x2+4ax-4a+3與x軸有交點(diǎn)，q：拋物線與y=x2+（a-1）x+a2x軸有交點(diǎn)，r：拋物線y=x2+2ax-2a與x軸有交點(diǎn).

至此，大家終于真的懂了，原來(lái)那位同學(xué)的解法是有依據(jù)的，不是巧合，是必然.

四、學(xué)以致用

為了鞏固剛才所學(xué)知識(shí)，會(huì)解決類(lèi)似問(wèn)題，讓同學(xué)們做以下高考題：

1.（2009年浙江文21）已知函數(shù)f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）.

（1）略；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍.

解：（1）略；

2.（2010年全國(guó)Ⅱ文21）已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3x+1.（1）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：（1）略；

以上兩題雖可間接求解，如題1可先求“若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)，求a的取值范圍”，題2可先求“若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）中沒(méi)有極值點(diǎn)，求a的取值范圍”，但這里還需要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情形，再求補(bǔ)集，增加了“解題長(zhǎng)度”（羅增儒教授語(yǔ)）.

作為教師，只有深入鉆研教材，認(rèn)真思考，才能對(duì)教材透徹理解，教學(xué)時(shí)才能駕輕就熟，舉重若輕.這樣，學(xué)生不光會(huì)死記硬背定義、定理，也會(huì)靈活解決碰到的具體問(wèn)題，達(dá)到“既懂且會(huì)”的水平.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2006.