基于“閱讀·引導·提煉·探究”的教學設計：空間幾何體的表面積

☉江蘇省南通市小海中學 顧藝瑋

一、教材分析

空間幾何體的表面積是必修2立體幾何初步這章最后一節的內容.此部分內容在高考中不屬于重點考查內容，但知識的形成過程中卻滲透著數形結合的思想、運動的觀點.在本章第一節“空間幾何體”中教材從整體觀察入手，通過運動的過程引導學生認識柱、錐、臺的結構特征，這種運動觀點正與它們表面積公式之間的關系相對應，體現了數形結合的思想.柱、錐、臺的表面積公式推導不難，重點是體會圖和表面積的關系.而且教材中建議聯系平面圖形的知識，利用類比等方法，理解兩者的異同以及內在聯系，逐步培養學生的空間想象能力.

二、教學目標

1.了解柱、錐、臺表面積計算公式，并能計算一些簡單幾何體的表面積.

2.（1）由部分到整體，由個別到一般，通過“閱讀·引導·提煉·探究”掌握柱、錐、臺的表面積之間的關系，體會“數”與“形”的完美結合.（2）通過平面幾何和立體幾何進行類比，認識類比法，并學會把它用于對問題的發現中，提高學生分析問題、解決問題的能力.

3.讓學生感受數學知識間的神奇聯系，激發學生學習的興趣.讓學生在問題生成和解決的過程中體驗類比、化歸等思想方法，提高數學素養，培養創新意識.

三、教學重點

平面幾何和立體幾何的類比過程，空間幾何體表面積的計算.

四、教學難點

運用類比進行猜想.

五、教學方法

閱讀·引導·提煉·探究.

六、教學過程

（一）自主閱讀，提出問題

閱讀材料：平面幾何與立體幾何的類比.

類比是根據兩個對象在某些方面的相同或相似，推出它們在其他方面的相同或相似點的一種推理方法.

由于類比推理所得的結論的真實性并不可靠，因此它不能作為嚴格的數學推理方法，但是它是提出新問題和獲得新發現取之不竭的源泉.

平面幾何和立體幾何在研究對象和方法、構成圖形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在兩者之間進行類比是研究它們性質的一種非常有效的方法.［1］

下面就平面幾何中三角形、平行四邊形、梯形之間的關系與棱錐、棱柱、棱臺的關系進行比較.

類比案例1：

方式1：（如圖1）

圖1

方式2：（如圖2）

圖2

類比案例2：（如圖3）

圖3

問題1：閱讀類比案例1，請在空白處畫上合適的立體圖形；

問題2：根據類比案例2中平面幾何的三個公式的關系，你能提出怎樣的猜想？試在立體幾何的方框中寫下你的猜想，并嘗試進行自主探究.

設計意圖說明：閱讀材料介紹了類比法這種新的學習方法，讓課堂的引入別致新穎.材料用運動的思想闡述了三角形、梯形、平行四邊形之間的關系，對學生已有的知識進行有意義的改組，為立體幾何的研究作好鋪墊.案例1從“形”的角度對平面幾何與立體幾何進行類比，其中兩種方式的圖形位置進行了調整，其目的是方式1溫習這章第一節中柱、錐、臺的結構特征，方式2為下面的研究做好準備.案例2是從“數”的角度對立體幾何和平面幾何的關系進行進一步的詮釋和說明，體現了數與形的完美結合.這一切給學生很大的沖擊力，激發了他們想繼續探索的熱情.本堂課選擇以閱讀材料的形式創設問題情境，充分顯示了它的獨特性.一方面給學生不一樣的視覺感覺，調動了上課氣氛，另一方面培養了學生的閱讀習慣，以及歸納概括、自主發現的意識.

（二）引導交流，數學活動

通過閱讀，學生了解了有關的數學知識，在此基礎上教師引導他們共同解決前面的兩個問題.通過對問題1的思考，復習空間幾何體的形成過程，感受運動觀點的合理遷移.問題2的思考則讓學生的思維得到發散，他們情緒飽滿、各抒己見，使學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.

設計意圖說明：通過學生積極主動的討論及教師適時點撥讓學生對平面幾何和立體幾何的關系有深刻的認識，并積極地猜想結論，為知識的建構做好充分的準備.

（三）自主提煉，數學建構

（1）直棱柱、正棱柱、正棱錐、正棱臺的概念.

直棱柱：側棱和底面垂直的棱柱.

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱.

正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的正投影是底面中心的棱錐.

正棱臺：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分.

設計意圖說明：遵循從特殊到一般原則，從特殊的柱、錐、臺入手進行研究.簡單介紹有關概念，歸納其圖形的特征，為下面分析它們的側面積做好鋪墊.

圖4

（2）正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面展開圖（如圖4）.問題：正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面展開圖是什么？設計意圖說明：問題的提出有助于理解它們的概念，并培養了學生的空間想象能力.教師可用事先準備好的紙質模型或多媒體課件演示，驗證圖形的變化，讓學生經歷觀察、想象、驗證的過程.

（3）正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積公式.

①正棱柱的側面積：S正棱柱側=ch；

直棱柱的側面積：S直棱柱側=ch.

思考：正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積公式間的聯系與區別（如圖5）.

圖5

設計意圖說明：通過分析討論柱、錐、臺的側面積之間的關系，體會“數”與“形”的相互交融，提高學生分析、歸納的能力，并且將這種關系與閱讀材料上平面幾何中的公式進行比較，前后呼應，體現了平面圖形和立體圖形的內在聯系，加強了學生對類比法的認識.

（四）實踐探究，數學應用

（1）初步應用.

圖6

思考：圖6中，若連接OB，則在三棱錐S－OBE的表面三角形中，直角三角形共有______個.

設計意圖說明：例1的設置是為了鞏固空間幾何體的表面積公式，注意棱錐的高和斜高的區別與聯系.題后的思考則讓學生更深入地探究立體幾何圖形，幫助學生完善思維結構，發展空間想象能力.

（2）深入探究.

圓柱的側面積：S圓柱側=2πrl.

問題：你能根據圓柱的側面積公式猜想圓錐、圓臺的側面積公式嗎？

思考：S圓柱側=2πrl=πl·2r=πl·（r+r），S圓臺側、S圓錐側（如圖7）.

設計意圖說明：教材中要求不必討論圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式推導.結合前面的棱柱、棱錐、棱臺的內在關系，這里讓學生再次經歷猜想，用已學過的知識進行歸納和類比，感受知識間的神奇聯系，體會數學的奧秘所在.

（3）深入演練.

圖8

設計意圖說明：例2的設置是掌握對旋轉體的表面積的計算，進一步鞏固上面研究的結論，讓學生提高運用知識解決問題的能力.

（五）回顧反思，總結提升

（1）數學知識：

①空間幾何體的側面展開圖；

②空間幾何體的側面積的計算公式（如圖9）.

圖9

（2）數學方法：閱讀、觀察、類比、探究.

（3）數學思想：將立體幾何問題轉化為平面幾何問題.

設計意圖說明：從知識、方法、思想三個角度進行總結，幫助學生進一步建構知識結構，提煉探究方法，提出新的探究方向，將探究活動延伸到課外.

1.普通高中課程標準實驗教科書（必修2）［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.■