三角函數(shù)扎根“單位圓”

☉江蘇省泗洪中學(xué) 祖 飛

綜觀近年各省市高考命題，以單位圓為背景、從三角函數(shù)的定義入手成為三角命題新亮點(diǎn)，此類試題，關(guān)注三角函數(shù)的本質(zhì)問題，注重考查“過程與方法”，深刻體現(xiàn)了新課標(biāo)對高考試題的命制要求，下面舉例分析.

一、坐標(biāo)“形化”定義

圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓稱作單位圓，單位圓的引入使三角函數(shù)的定義形象化，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)使三角函數(shù)值的計算直觀明了.

圖1

（Ⅰ）求tan（α+β）的值；（Ⅱ）求2α+β的值

點(diǎn)評：角的大小是變化的，由此而成為一個角自變量，角自變量的三角比值、如正弦比值在“角變量”的變化時隨之而變，由此正弦值成為“角變量”函數(shù)，正弦函數(shù)是正弦比值函數(shù)的簡稱.

二、坐標(biāo)“量化”邊長

如果將單位圓視作為動點(diǎn)的軌跡，則此軌跡可看作是：頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊OA=1在x軸正向上，角的終邊OP的端點(diǎn)P（x，y）的軌跡，其中x，y分別是端點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)（如圖2）.

圖2

（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D.記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2.若S1=2S2，求角α的值.

圖3

點(diǎn)評：角的概念可從銳角擴(kuò)展到任意角，此時角的兩邊與其“所夾的角”雖然不能組成三角形了.但角變量的“三角比”還存在.

三、“同角關(guān)系”單位圓的三角式

同角關(guān)系中sin2θ+cos2θ=1與單位圓方程x2+y2=1在結(jié)構(gòu)上有本質(zhì)的聯(lián)系，在許多情況下可將所要解決的三角問題轉(zhuǎn)化到單位圓中，運(yùn)用圓的有關(guān)知識進(jìn)行解決，使問題變得直觀，常能化繁為簡，化難為易，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的.

圖4

例4 已知θ為銳角，求滿足2cosθ=1+sinθ的θ值.

圖5

點(diǎn)評：以上兩題，用的是同一種方法，構(gòu)造單位圓，結(jié)合斜率知識解題，簡捷而巧妙．在三角問題的求值、求角、證明等過程中，經(jīng)常會遇到關(guān)于sinθ與cosθ的關(guān)系式，并且通常使用關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題得到解決．

四、單位圓與三角函數(shù)線

數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.單位圓為三角函數(shù)值與三角函數(shù)線建立的數(shù)形結(jié)合達(dá)到了“直觀入微”的境界.

（Ⅱ）求△OPQ面積的最大值.

圖6

點(diǎn)評：通過單位圓,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的值域、定義域及其單調(diào)性也直觀可見.微觀而隱蔽的三角函數(shù)間關(guān)系，通過三角函數(shù)線可得到簡便而直觀的解答.

由上面的幾個例題，我們可以看出，單位圓視角下命題，不僅體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的“返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)”，而且能實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)學(xué)科知識多維度考查，因此，此類試題必將是試題設(shè)計的一個好的始點(diǎn).