淺談學生數學錯解的成因及對策

☉江蘇省江浦高級中學 徐愛勇

一、問題的提出

根據布魯納的認識發展理論，學習本身是一種認知過程.在這個過程中，個體的學習總是要通過已知的內部認識結構，對輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以存儲.也就是說，學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識幫助吸納新知識.這樣，新舊知識在學生的頭腦中發生積極的相互作用和聯系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識.但是，這個過程并非總是一次性成功的，需要通過不斷的練習來完成.

數學學科的特點決定學生學習知識不是簡單地吸收，而是通過思維活動把前人的成果轉化為自己的思維結果.這個轉化稱為“建構”.知識建構，是靠不斷主動修正錯誤，并能在新環境中解決新問題.而學生在學習數學的過程中，勢必要做一定量的習題.這是一項長期的系統工程，在這個系統中一個重要的環節就是對數學錯解的開發和利用.一個顯然的事實，我們對待數學錯解的態度直接決定著學生數學思維能力發展的走向.

為此，本文力圖對“學生數學錯解”的成因進行一些會診，并給出相應的一些對策.從而期望能夠達到改變我們的教學方法，提高課堂教學效率，啟迪學生的數學思維，最終達到優化學生思維品質的目的.

二、成因及對策

癥狀1——不良學習習慣的影響

學生的不良學習習慣是造成學生把題做錯的一個重要原因.具體地說，主要有以下方面：不認真審題；做完題后不檢查；解答表述不規范，只寫計算結果不寫計算過程；計算粗心大意等.而這些不良的學習習慣就是“會而不對，對而不全”的根源.在教學和學習過程中，學生經常遇到這種情況：對一些習題或考試試題自己完全會解答，但做完或考試結束后總會丟失一些分，教師感到惋惜，自己也深感遺憾.教師在評講試題錯誤時雖指出了錯誤原因，但由于不良習慣的影響，下次遇到同類問題時學生仍然出現相同的錯誤.

錯解：很多學生在解答此題時，第一反應便是設直線l的方程為y=k（x-2），從而較快地求出方程為3x-4y-6=0.

成因：他們所犯的錯誤是忽略了題目“直線l過點P（2，0）”這一條件，與所設直線l的方程為“y=k（x-2）”這一形式之間的相互推出關系，造成解答不完整的主要原因是未認真審題.如果認真審題就會發現所設直線方程的局限性，也就不會犯以上錯誤.但由于沒有養成認真審題的良好習慣，雖然教師評講后當時也知道，但下次遇到同一問題仍然會看到題時馬上憑直觀感知就僅僅設直線方程的“點斜式”（若是在考場中為了抓緊時間更會是這樣），從而又重復地出現犯過的錯誤.

對策：（1）“找對象”，我們可以把各個知識板塊中類似的問題進行“合并同類項”，如：

①若關于x的方程kx2-（2k-1）x+k=0有實數根，則實數k的取值范圍為________.

②已知集合P={x|x2+x-6=0}，Q={x|mx-1=0}，若P∩Q=Q，則滿足條件的實數m所組成的集合為________.

③已知數列{an}的前n項和Sn=n2+n+2，則an=________.

④動點P到A（1，1）和直線x+2y=3的距離相等，則點P的軌跡方程為________.

從而，使學生對這類錯誤能夠形成較系統的認識，最終達到從“通過題目找問題”到“通過問題找題目”的跨越.

（2）“寫提醒”，如：貼標簽，注意認真審題！條件是否漏掉！計算仔細些！…把這些激勵和督促自己的口頭語言轉換成書面語言，貼在文具盒、書桌的右上角、床頭等，以便于在以后的考試中加強提醒.

（3）“做比賽”，如利用研究性學習課，把班級的同學分成幾個小組，輪流由學生自主對此類問題進行考查，做到常抓不懈.

癥狀2——原有思維定勢的影響

思維定勢是指已有的思維活動經驗在反復使用中所形成的比較穩定的、定型化了的思維路線、方式、程序和模式（在感性認識階段也稱作“刻板印象”）.當解決某一問題的思維定勢一旦形成，就會在見到類似情景時自覺地運用原有思維方式進行思考與解決問題.思維定勢有積極的和消極的.積極定勢可以促進問題的快速解決，消極定勢則會阻礙人們對新問題的解決.在學生學習中消極的思維定勢則會對新的學習產生干擾.

成因：本題錯解的原因是對三角函數“依圖識性”把握不夠到位.究其原因，是由于從y=sinx與y=cosx的圖像的對稱中心點的結論產生了負遷移，故而產生了錯解.

（2）“進一步”，再引導學生對一個具有對稱中心的函數，從代數的角度提煉其規律.（預設：學生不難發現，函數圖像的對稱中心未必在函數圖像上.）

（3）“回頭看”，最后還引導學生反思解題過程中犯錯的節點所在，力圖把消極的思維定勢轉化為積極的思維定勢.從而，加深對概念的深層次的理解，最終達到準確把握概念的實質，做到真正地理解.

癥狀3——整體意識缺乏的影響

在解題過程中，要隨時注意整體與局部的關系，不能以局部的性質代替整體，從而，避免錯誤發生.

為了避免此類錯誤的發生，我們應該幫助學生樹立整體的思想，即在一次整體變換過程中，確保變換的各個部分應該是和諧共存的.

對策：（1）“擺擂臺”，我們在講評時可以把錯誤的解法和正確的解法虛擬地轉化為同學甲和同學乙的解答過程，并用實物投影展示出來，從而引起學生思維上強烈的碰撞.

（2）“找代言”，我們引導學生進行討論辨析，因勢利導地設置一些問題，使學生通過分析、診斷，盡可能地由學生自主提煉出代數變形過程中的一些注意點.

（3）“尋變式”，解決完此題后，我們可以帶領學生做如下變式，以加深其體會.

變式3：已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則實數a，b的值分別為________.

癥狀4——符號理解不全的影響

數學問題的表達中往往充滿著許多數學符號，解決它需要學生具有較強的抽象思維能力.若對抽象的數學符號所表示的意義理解不夠深刻，很容易導致錯解的發生.

案例4：已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求函數y=［f（x）］2+f（x2）的值域.

又因為x∈［1，9］，所以log3x∈［0，2］，

所以y=（log3x+3）2-3在log3x∈［0，2］上單調遞增，

所以6≤y≤22，即函數的值域為［6，22］.

成因：對于上述解答，不少學生認為是對的.但是，我們稍作分析，可以發現，雖然這里考慮到了函數的定義域，并由x∈［1，9］得到log3x∈［0，2］.但“x∈［1，9］”并不是函數y=［f（x）］2+f（x2），即y=（log3x+3）2-3的定義域，而是函數f（x）=2+log3x的定義域.因此，解答是錯誤的.從而，我們不難求出函數y=［f（x）］2+f（x2）的定義域為［1，3］，則值域為［6，13］.

對策：（1）“查字典”，引導同學們翻閱課本，找到教材中對“定義域”最原始的描述，即“回到定義中去”.

（2）“做記錄”，數學學習過程中，出現這樣的錯誤是難免的.但是，要提高學習效率，就必須減少重復錯誤的次數.做較為詳細的記錄，重復刺激的次數越多，痕跡越深，記憶效果就越好.

（3）“定期練”，根據心理學知識，在記憶的最初階段，遺忘速度很快，后來逐漸減慢，相當長時間之后，幾乎就不再遺忘.所以，定期的訓練，就顯得十分有必要.

三、結束語

辨析問題錯解的原因，是想從根本上尋找錯解的原因，認清什么是錯誤的，錯在何處，為何產生這種錯誤，從而探索避免錯誤發生的對策以及解決問題的正確思路，提高解答數學問題的準確性；通過辨析，訓練學生數學思維的嚴謹性、深刻性、靈活性、批判性與獨創性，使學生的數學素養得到有效的提升.

1.王富英.“錯誤重復現象”產生的原因及消除對策.數學通報，2011（7）.

2.徐愛勇.數學錯解中的定“性”分析.中學數學研究（廣州），2012（5）.

3.王光明，楊蕊.數學學習中的“懂而不會”現象.中學數學教學參考，2012（10）.

4.李曉峰.建立成長題庫：一種提高數學成績的設想和方法.中學數學月刊，2012（11）.