雙曲線切線的一組優美性質

☉江蘇省張家港市暨陽高級中學 趙穎穎

文［1］給出了橢圓切線的幾個有關性質，筆者思考：橢圓和雙曲線同為圓錐曲線，既然橢圓有這樣的性質，雙曲線應該也有相同的性質，或者有類似的性質.經過筆者的探究，發現答案是肯定的.現在將雙曲線切線的若干性質敘述如下.

性質1 雙曲線的任意一條切線平分該切點與兩焦點連線段所夾的角.

圖1

所以PT平分∠F1PF2.

若點P（x0，y0）在雙曲線的左支，同理可證.

即雙曲線的任意一條切線平分該切點與兩焦點連線段所夾的角.

性質2 自雙曲線外任一點引雙曲線的兩條切線，則該點與一個焦點的連線和該焦點與兩切點連線段所在的直線成等角.（雙曲線的兩支將平面分成三部分，視不含焦點的部分為雙曲線的外部）

由一定點引出的兩條切線有兩個可能，其一，向雙曲線的兩支各引一條切線；其二，向雙曲線的一支引兩條切線.我們分兩種情況討論：

（1）如圖2所示，由點P向雙曲線的兩支各引一條切線PQ和PQ′，T、T′為相應的切點.

圖2

作點F1關于直線PQ的對稱點F1′，則∠F1TP=∠PTF1′.

又根據性質1，有∠F1TP=∠F2TP，

所以∠PTF1′=∠F2TP，所以T、F1′、F2三點共線，

同理，作點F2關于直線PQ的對稱點F2′，

所以△PF1F2′≌△PF1′F2（三邊對應相等），

所以∠PF1F2′=∠PF1′F2.

又因為∠PF1T=∠TF1′P，∠PF1′F2+∠TF1′P=π，所以∠PF1F2′+∠PF1T=π.

又因為∠PF1R+∠PF1T=π，所以∠PF1F2′=∠PF1R，

即PF1與F1T、F1T′所成的角相等.

同理PF2與F2T、F2T′所成的角相等.

（2）如圖3所示，由點P向雙曲線的一支引兩切線PQ和PQ′，T、T′為相應的切點.

作點F2關于直線PQ′的對稱點F2′，則∠F2T′P=∠PT′F2′.

又根據性質1，有∠F1T′P=∠F2T′P，

同理，作點F2關于直線PQ的對稱點F2″，

所以△PF1F2′≌△PF1F2″（三邊對應相等），

所以∠PF2′F1=∠PF2″F1，∠PF1T=∠PF1T′.

即PF1與F1T、F1T′所成的角相等.

又因為∠PF2′F1+∠T′F2′P=π，∠PF2″F1+∠TF2″P=π，

所以∠T′F2′P=∠TF2″P.

又因為∠T′F2′P=∠T′F2P，∠TF2″P=∠TF2P，

所以∠T′F2P=∠TF2P.

即PF2與F2T、F2T′所成的角相等.

綜合（1）、（2），于是性質2得證.

性質3 雙曲線的一條動切線介于從雙曲線外一定點引出的兩條切線間的部分，在一個焦點的視角是常量.

由一定點引出的兩條切線有兩種可能，其一，向雙曲線的兩支各引一條切線；其二，向雙曲線的一支引兩條切線.下面我們分兩種情況討論：

（1）如圖4所示，設PA和PB為從雙曲線外一定點P向雙曲線的兩支各引一支的兩切線，A、B為相應的切點，F2為雙曲線的一個焦點，動切線CD交PA反向延長線于點D，交PB于點C，與雙曲線相切于點E.

設∠AF2B=2α，因為PA和PB為定切線，所以2α為常量.

連接PF2，則由性質2可知PF2與AF2、BF2所在的直線所成的角相等，即∠PF2A=∠PF2B′.

又因為DA和DC也是雙曲線的兩條切線，連接DF2，

所以DF2與DA、DC所在的直線所成的角相等，即∠DF2A=∠DF2E′.

同理CD和CB也是雙曲線的兩條切線，故∠CF2E=∠CF2B.

圖4

注：若2α>π，類似可證.

（2）如圖5所示，設PA和PB為從雙曲線外一定點P向雙曲線中的一支引出的兩條切線，A、B為相應的切點，F2為雙曲線的一個焦點，動切線CD分別交PA、PB于點C、點D，且與雙曲線相切于點E.

設∠AF2P+∠PF2B=2α，因為PA和PB為定切線，所以2α為常量.

連接PF2，則由性質2可知PF2與AF2、BF2所在的直線所成的角相等，即∠PF2A=∠PF2B.

又因為DB和DC也是雙曲線的兩條切線，連接DF2，CF2，

所以DF2與DB、DC所在的直線所成的角相等，即∠DF2B=∠DF2E.

同理CD和CA也是雙曲線的兩條切線，故∠CF2E=∠CF2A.

圖5

綜合（1）、（2），于是性質3得證.

性質4 自雙曲線的兩焦點向雙曲線的任一切線所引的兩條垂線段長的積為定值.

故兩焦點到切線的垂線段長的積為：

性質5 雙曲線的一條動切線介于雙曲線的兩漸近線間的部分，在一個焦點的視角是一個常量，且視角的余弦值為雙曲線離心率的倒數（或負倒數）.

設切線交兩漸近線于點A、B.

易得雙曲線的漸近線方程分別為bx-ay=0、bx+ay=0.

圖6

于是性質5得證.

推論1 雙曲線的一條動切線與雙曲線的兩漸近線的交點和雙曲線的兩焦點共圓.（證略）

性質6 雙曲線的兩漸近線被雙曲線上任一點處的切線截得的兩切線段長相等.

設切線交兩漸近線于點A、B，

易得雙曲線的漸近線方程分別為bx-ay=0、bx+ay=0.

由性質5證明知該切線與兩漸近線的交點分別為

于是性質6得證.

性質7 雙曲線的任一點處的切線與雙曲線的兩漸近線圍成的封閉三角形的面積為雙曲線實半軸與虛半軸之積.

設切線交兩漸近線于點A、B，

易得雙曲線的漸近線方程分別為bx-ay=0、bx+ay=0.

于是性質7得證.

1.崔寶法．橢圓切線的幾個典型性質［J］．數學通訊，2006（15）．