基于方程之上的二次函數整體化教學

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

二次函數是初中函數部分的制高點，是初中學段的核心知識，它立足函數的基本理論、遵循一次函數研究的基本套路而展開的探索，這是發展學生數形結合思想意識的優質素材，尤其是與一元二次方程的結合，凸顯初中學段方程“霸主”與函數“領袖”的團結風貌，氣質不凡，它們的聯袂上演構成了初中代數的壓軸戲，炫目多彩.

一元二次方程ax2+bx+c=0之靜態的0若更換為動態的字母y，則搖身一變成了二次函數之“體”y=ax2+bx+c，而二次函數的y若為定值，則函數隨即退化為一元二次方程，可見它們的關系非同一般，既然關系如此之密，二次函數的教學就可以緊緊抓住一元二次方程作為其生長點展開探索，從而彰顯方程與函數的內在聯系，比通過函數“本家”一次函數的基本套路（概念、圖像、性質）來探索更能突出函數思想與方程思想的和諧共生.

基于此，在整合教材的基礎上，通過方程引路，整體推進二次函數的教學（借助幾何畫板），以12課時結束本章，實踐證明，這種“以少勝多”的策略效果尤佳.

第1課時：從最簡單的一元二次方程切入

教結構1：x2=0有兩個相等的實數解：x1=x2=0，對應著函數y=x2，接著展開對這一函數的研究，從圖像的形狀、位置、對稱性、增減性、最大值或最小值等角度探索，形成方程與函數的映襯，獲得研究二次函數的基本經驗，然后將系數變化為-1，2，-2，…，一直一般化為a（借助幾何畫板探索、演示），二次函數y=ax2的相關知識就成型了，成為進一步研究的墊腳石.

用結構1：2x2-8=0有兩個不相等的實數解：x1=2，x2=-2，對應著函數y=2x2-8，從圖像上觀察，它與x軸有兩個交點，形成數與形的對接，連通了方程與函數，同樣探索出其他相關的性質，然后將系數改變（把二次項系數變為-2；把常數項變為8；或同時改變兩個系數），印證發現（借助幾何畫板），解決了y=ax2+k型的二次函數問題.至此，引導學生觀察y=ax2+k與y=ax2兩種類型圖像的位置關系，挖掘出它們之間的平移關系——上下平移，把握變中的不變，以及變化的制約元素，提升學生的認識.

適度練習，熟練畫圖，學會平移，鞏固結構.

第2課時:平移關系的進一步揭示

用結構2：（x-3）2=0有兩個相等的實數解：x1=x2=3，對應著函數y=（x-3）2，通過圖形探測出它與y=x2之間的平移關系，然后改變自變量后面的數值（加2、減去5等），改變小括號前的系數（變為2，-2等），解決了y=a（x-h）2型的二次函數問題.同時在比較中去發現y=a（x-h）2與y=ax2之間的平移關系——左右平移，進一步完善了拋物線的平移規律（利用幾何畫板）.

用結構3：2（x-3）2-8=0有兩個不相等的實數解：x1=5，x2=1，對應著函數y=2（x-3）2-8，繼續探索它的相關性質，然后將自變量減去的數改變，印證發現（借助幾何畫板），解決了y=a（x-h）2+c型的二次函數問題.至此，再次誘導學生觀察y=a（x-h）2+k、y=ax2+k與y=ax2三種類型圖像的位置關系，進一步挖掘出它們的之間的平移關系，把握變中的不變，以及變化的制約元素，將學生的認識再次豐富.

至此，可以說一般的二次函數的性質已經露出了“廬山真面目”，可根據時間的可用度，適當加強這三類問題的練習，加深學生對它們的圖像、性質的認識和領會，完成第2課時的學習.

第3課時：y=ax2+bx+c的探索

從特殊到一般，二次函數的一般形態出場了——y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0），至此給出二次函數的定義可謂水到渠成.

第4課時：y=ax2+bx+c的圖像與系數關系的探索

看圖說話，把圖像的位置與系數a、b、c以及b2-4ac等貫通起來，探尋出它們之間的對應關系，彰顯數與形的有機結合，進一步打通了方程與函數的內在卡關，利于學生對兩類思想的連理把握.以下通過教學片段的形式展示出來.

案例1：觀“云”識“天氣”，見“圖”想“性質”.

如圖1是拋物線y=ax2+bx+c的圖像，通過觀察，你能發現a、b、c以及b2-4ac的符號嗎？思考5分鐘后，同桌交流.

生1：因為開口向下，故a＜0.

圖1

生3：當x=0時，y=c，由圖可知c＞0.

生4：當y=0時，ax2+bx+c=y就變成了方程ax2+bx+c=0，看圖可知圖像與x軸有兩個公共點，說明方程有兩個不同的實數根，即b2-4ac＞0.

師（促成規律）：下面以小組為單位，探測當拋物線在其他不同位置時，對應的4個符號的確定？看哪一小組能總結出4個符號到底取決于哪些元素？如何進行快捷的思考？小組討論5分鐘后交流.

生6（3組代表）：a取決于開口方向；對稱軸由b和a的符號共同來確定；c取決于拋物線與y軸的交點位置；b2-4ac取決于拋物線與x軸交點的個數.

師（穿針引線）：能具體些嗎？

生6：拋物線開口向上，a＞0，開口向下，a＜0；b比較復雜不好說；當拋物線與y軸的交點在原點上方時，c＞0，在原點下方時，c＜0；當拋物線與x軸有兩個交點時，b2-4ac＞0，一個交點時，b2-4ac=0，沒有交點時，b2-4ac＜0.

師：哪一小組有補充？

生7（4組代表）：首先3組說得不全面，當拋物線與y軸交于原點時，c=0；再就是b的確定，我們小組研究出來了，當拋物線的對稱軸在y軸左側時，a、b同號，知道了a的符號，b就知道了，當拋物線的對稱軸在y軸右側時，a、b異號，同樣知a得b.

師：還有補充嗎？

生8（1組代表）：我們認為還是不全面，當拋物線的對稱軸就是y軸呢？（質疑的口氣）

一句提醒了夢中人，眾人嘩然，答：哦，b=0.

師（畫龍點睛，提煉規律）：一番討論，漸析漸明，群策群力，成果斐然，這樣一來，對4個符號的認識就全面了.那現在反向思考一下，若給定了a、b、c的符號，你能畫出拋物線對應的草圖嗎？

眾生（興致高漲，信心百倍）：能！

師（展示）：若a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0時，拋物線的大致位置在哪里？畫出圖示并解釋.

生9（板演）：a＞0，b＜0，可知開口向上，對稱軸在y軸右側，又c＞0，則拋物線與y軸交點在x軸正半軸上，由于b2-4ac＜0，所以與橫軸沒有交點，綜合得如圖2.

圖2

圖3

生10（板演）：如圖3.

師：都畫得很好，說明同學們善于逆向思考，現在若將其具體化呢？如函數y=-3x2-6x+4，你能說出它的圖像通過的象限嗎？

說明：一旦具體化，有的同學就容易走向精致作圖，這雖然有助于學生的作圖規范，但對體會數形結合思想而言，并不優于畫草圖，甚至不如畫草圖效果好，因為畫草圖經濟實惠，在這種便捷中深刻其認識，優化其思維.

生11：我先配方，找到了拋物線的頂點（-1，7），然后分左右分別取3個點，畫出了圖像（略），發現圖像過一、二、三、四象限.

生12（承接生11之言）：你做的太麻煩了，我是先畫出它的草圖（如圖4），然后根據圖形確定的，其圖像也是過一、二、三、四象限.

師：那你說說怎么畫的草圖？

圖4

生12：因為a=-3＜0，所以開口向下，又b=-6＜0，說明對稱軸在y軸左側，而c=4＞0，則與y軸的交點在y軸正半軸上，另b2-4ac=84＞0，故與x軸有兩個交點，這樣草圖就畫出來了.

師：同學們認為這樣做可以嗎？

眾生：可以（部分同學說我就是這么做的，部分同學說這樣好簡單哦）.

師：以上兩位同學做得都很好，一個規范作圖，嚴謹精致，一個分析精到，瀟灑一揮，都值得稱道，但對本題而言，哪一做法更好一些？

眾生：畫草圖.

師：對，對本題而言畫草圖足矣！看來，還真難不住同學們，再來一個如何？

眾生：行！沒問題.

師：如圖5的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），請確定a+b+c、a-b+c、2a+b的符號.

眾生：默然沉思中（有的同學聯想到了自變量的值1，-1，同時由2a和b想到了對稱軸）.

圖5

師（少數同學想到，需要引領）：有的同學已經有了自己的想法，把3個符號搞定，但還有很多同學沒有思路，有想法的暫不要發言，請沒有思路的同學一起再審視一下3個式子：a+b+c、a-b+c、2a+b，對照函數式y=ax2+bx+c（a≠0），看看能否發現什么？

生（沒思路的同學開始有所悟醒）：哦，知道了，a+b+c不就是當x=1時對應的函數y的值嗎？看圖可知此時y＜0，即a+b+c＜0.

師（繼續拉動）：是這么回事嗎？沒發現的同學再仔細看看？

生（大部分雀躍）：看出來了，是的，我們知道了，a-b+c就是當x=-1時對應的函數y的值，而（-1，0）就是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，所以a-b+c=0.

師：說得非常好，同學們好悟性，又把對稱派上了用場，那2a+b是怎么回事？

師：同學們了不得，這樣困難的問題都解決了，老師若問4a+2b+c、4a-2b+c的符號，同學們能作出回答嗎？

生眾：能，就是當自變量x=2和-2時對應的y值符號！

師：看來這類問題已不是問題！

師：鞏固練習：

（1）說出下列函數圖像通過的象限：

①y=-3（x-1）2-2，②y=5x2-2x+6.

（2）如圖6是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-b+c＞0.其中正確的命題是_____.

圖6

總結：系數定函數圖像，函數圖像反定系數符號，相得益彰，相互為用，觸摸到數形結合的不凡之用.

第5課時：y=ax2+bx+c解析式的確定

第6課時：y=ax2+bx+c問題式復習課

通過一個典型題目，引導學生自己提出問題自己解答，滲透問題意識.新的課程標準修訂稿，有幾大特色，其中把“兩能”變“四能”就是其一，明文提出了發展學生“發現問題、提出問題的能力”，在新授課中不乏有這樣的教學環節，但面對復習課往往會生發“不再新鮮、不再神秘、不再激動”的懶庸場景，學生熱情難再，心智低平，嚴重阻礙著學生的自我發展.為此，把課堂退讓給學生，鼓動他們提出問題，對學生來說也是一種挑戰，這種挑戰就能激發學生的參與欲，探索欲，主人翁的意識得以培養.

案例2：開放作基調，問題貫始終（課堂簡錄）.

1.寫出一個一般形式的二次函數.

每人均寫出了一個，筆者從眾多函數中選出其一：y=-x2+5x-4.

設計說明：搭建平臺，開放思維，給學生個性的關注，同時要放中有收，篩選出能為我所用的二次函數式，以此為基，展開探索.

2.對選出的二次函數y=-x2+5x-4進行研究，提出相關的一些問題，供同仁或全體同學思考.

學生提出問題歸納如下10條：

（1）寫出二次函數的開口方向、頂點坐標與對稱軸，最大值或最小值.

（2）說明函數的變化趨勢.

（3）畫出函數的圖像.

（4）x為何值時，函數正負性的確定.

（5）它與頂點在原點的二次函數之間的平移關系.

（6）求它與坐標軸的交點.

（7）關于原點、x軸、y軸的對稱拋物線.

（8）圖像被x軸截得的線段長.

（9）頂點、原點、與y軸交點以及與x軸任一交點圍成四邊形的面積.

（10）把此拋物線先繞它的頂點旋轉180°，求該拋物線對應的解析式.

學生分別實施解答（解答略）.

3.再攀新高.

師：老師把y=-x2+5x-4變化一下成為y=（m-2）x2+5x-4，請同學們針對這一函數式提出問題，以確定m的值或m的取值范圍.

學生的提出的問題歸納如下：

（1）拋物線開口向上，求m的取值范圍.

（2）拋物線過某點（-2，3），求m的值.

（3）拋物線的對稱軸為直線x=-3，求m的值.

（4）函數圖像與x軸有一個公共點，求m的值.

（5）拋物線在x軸上截得的線段長為4，求m的值.

（6）函數有最大值，求m的取值范圍.

（7）當m為何值時，方程（m-2）x2+5x-4=0.

①有兩個不相等的實數根；

②有兩個相等的實數根；

③沒有實數根.

請同學們對提出的問題做出解答（解答略）.

師：剛才我們通過研究一個具體的函數及圖像再現了二次函數的一些性質.哪位同學歸納一下？

學生相互補遺，主要形成以下幾點：

（1）a決定了開口方向.

（2）軸對稱性——研究對稱軸，頂點坐標，最大（?。┲?

（3）增減性——研究y隨x變化而變化的規律.

（4）平移規律、對稱規律.

（5）數形結合思想的再現.（借組拋物線發現方程（不等式）與函數之間有緊密的聯系）

反思與評價：開放的問題誘動了開放的思維，提出問題彰顯了學生的個性潛能與創新意識，二次函數的性質在這一過程中得以有效梳理，它避開了單調的知識回顧，讓學生參與題目的建構，給知識賦予了學生個人鮮活的理解環境，能有效調動學生參與的積極性.看似講練的簡單倒置，實則是以學定教的踐行，這樣的復習課才會有活力，有生命力.

通過層層深入的問題引領，在提出問題、解決問題的過程中提煉出宏觀的思想方法，加深了對二次函數本質的理解，駐足一個新的境界.

如此組織復習，增強了挑戰性、探索性，學生的情感被觸動了，學生發現者的心理需求實現了，學生自然會深度參與，情趣盎然！冰冷的題目換一形式，學生的熱情頓時就火起來，清新明麗、動力十足，愛學引動思維，思維促進發展，發展成就個人！

第7課時：二次函數的應用課1

學以致用，這是數學價值的一種體現.二次函數的應用非常廣泛，它首先表現在純數學領域的應用，尤其面對最大、最小值問題，經常會把二次函數派上用場，進而探測出問題的答案.而學生已經學習了二次函數的概念、圖像和性質，這些內容為學習二次函數的應用提供知識支持，又學習了列代數式，列方程解應用題，這些應用性質的內容為本節學習的“面積函數”系列問題提供了建模能力的基石.力求通過生生、師生多向的交流、碰撞，達成如下認識：“面積函數”問題，往往是基于某條線段為自變量，相關圖形面積為因變量的函數，有時候涉及動點問題，此時的自變量會隨之變身為時間，結合速度鏈接線段長度，其本源實際上是一致的.

第8課時：二次函數的應用課2

與現實的接軌能真實彰顯數學的價值，因此，我們可以攝取與學生生活相關的問題作為背景，拉近與學生的聯系，激發學生的參與興趣，在用中彰顯二次函數的功能.但作為建立二次函數模型去解決實際問題，不管怎么說都帶有很強的綜合性、靈活性，對學生的要求頗高.

本節課意在通過學習和探究“銷售利潤”問題，讓學生經歷數學建模的基本過程，進一步體會建立數學模型、滲透轉化、分類等數學思想方法.從中體會二次函數是一類最優化問題的重要數學模型，并用之進行決策，感受數學的應用價值，提高學生用數學的意識.

第9課時：二次函數的應用課3

這是最后一節實際應用課——自己建系類問題.它一般需要根據具體問題建立合適的平面直角坐標系，以連通現實圖形與函數圖像，實現它們之間的優化過渡，此類問題涉及坐標系位置的選擇問題，這是本節的一道無形的“坎”.

通過本節教學達成如下目標：

（1）如何建立數學模型？（實現“實際問題數學化”）

（2）選擇建立平面直角坐標系，應堅持的基本原則？（方便解析式的確定及問題的求解）

第10課時：二次函數的習題課

學習數學離不開解題，學好數學意味著善于解題，通過習題課，讓知識有了用武之地，在習題的研習過程中進一步熟練“四基”，提升“四能”.

案例3：建基筑平臺，“四能”有載體.

教學設計見文［3］.

第11課時：二次函數的測試課

真實的信息反饋，來源于學生個性的考試，通過獨立思考、獨立解答，學生對問題的理解、對知識的認識才會暴露出來，如此的反饋真實、確切，為我們進一步調整教學提供了先手資源.限于篇幅，測試題略.

第12課時：二次函數的講評課

通過測試，暴露學生的認知淺薄、疏漏，借助講評課，澄清模糊認識，增強抗體，在改正中發展自己、壯大自己，適時使用平行練習，鞏固不穩固的知識點、強化不清楚的思想方法，提供新的情境幫助學生再嘗試，在嘗試中夯實、提高，消除盲點，凈化誤區，內化認知、升華思想，優化思維！

寫在最后

通過優化知識結構，以方程思想、函數思想的聯袂為主線，以數形結合為載體，有效降低了認知的負荷，相對優質高效地完成了教學任務，但其中也不乏困惑，有少部分基礎薄弱、思維力偏低的同學，不能很好地參與進來，仍有陪坐之嫌，如何在共性的課堂上盡可能地關注到個性，值得我們全體同仁深入思考，以求更好地突破！

1.吳亞萍.數學課堂教學的“三放三收”［J］.基礎教育，2006（3）.

2.邢成云.宏觀構架 整體推進［J］.中學數學（下），2012（11）.

3.邢成云.玩轉一道題 知能情共育［J］.中學數學（下），2013（5）.