一道中考題的多解、改進(jìn)與啟示

☉江蘇省東海石榴初級中學(xué) 尚海燕

一、試題回放

題目 某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖1所示.其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm，為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）

說明：本題為2013年濱州市中考試題第24題，分值10分.

圖1

圖2

圖3

二、多解展示

所以EP=12，所以EF=2EP+PQ=24+20=44（cm）.

解法二（平移腰）：如圖3，過點(diǎn)C作CM∥AB，交EF、AD于N、M，作CP⊥AD，交EF、AD于Q、P.

由題意得，四邊形ABCM是平行四邊形，所以EN=AM=BC=20（cm）.

所以MD=AD-AM=50-20=30（cm）.

由題意知CP=40cm，PQ=8cm，所以CQ=32cm.

解得NF=24.

所以EF=EN+NF=20+24=44（cm）.

解法三（平移腰）：如圖4，過點(diǎn)F作FM∥AB，交直線BC、AD于N、M，作FP⊥AD，并反向延長交BC于Q.由BC∥AD，可知FQ⊥CN.

由題意得，四邊形ABNM、BEFN、EAMF均為平行四邊形，所以CN=BN-BC=AM-BC=AM-20.

所以MD=AD-AM=50-AM.

由題意知PQ=40cm，PF=8cm，所以FQ=40cm-8cm=32cm.

因?yàn)镃N∥MD，所以△CNF∽△DMF.

解得AM=44.

所以EF=AM=44（cm）.

圖4

圖5

解法四（平移腰）：如圖5所示，只要求出FN即可.過程基本同“解法二”.

解法五（延長腰相交）：如圖6，分別延長BA、DC交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OQ⊥AD，交EF于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M.

由BC∥EF∥AD，得OM⊥BC，ON⊥EF，MQ=40cm，NQ=8cm，所以MN=32cm.

圖6

圖7

解法六（連對角線）：如圖7，連接AC，過點(diǎn)C作CH⊥AD交EF于N點(diǎn).由題意可知CN⊥EF，則有CH=40cm，NH=8cm，所以CN=32cm．因?yàn)镋F∥AD，所以△CMF∽△CAD．

所以MF=40cm.

同理求得EM=4cm.

所以EF=MF+ME=44cm.

解之得x=44（cm）．

說明：本解法直接從梯形的面積切入，根據(jù)題意作一高線足矣！這是以上各種方法中最簡單的一個(gè)，如此求解的話可能背離了命題者的初衷（試題答案提供的是解法二），但它回歸了幾何題目的原生態(tài)——面積，這一方法古樸（幾何的起源、勾股定理的證明等）、通俗（小學(xué)已熟悉），給人“大道至簡、大美天成”之感！是解題智慧的一種折射.

三、試題評析

1.生活味與數(shù)學(xué)味拿捏適切

本題取材源于學(xué)生的生活，一個(gè)學(xué)生的板凳，天天離不開學(xué)生的視野，自然給學(xué)生以親切、熟悉、真實(shí)之感，讓學(xué)生在考場上再次觸摸到數(shù)學(xué)就在身邊的現(xiàn)實(shí)，彰顯出“數(shù)學(xué)離不開生活，又服務(wù)于生活”的特色，這一試題場景散發(fā)著濃濃的生活味.同時(shí)題目的字里行間又凸顯出數(shù)學(xué)的本味，實(shí)際問題的文字陳述并沒有刻意的繞彎彎，而是通過明確的自然語言與數(shù)學(xué)語言的聯(lián)袂呈現(xiàn)，簡潔干練，入口寬泛，便于學(xué)生的入題、理解、把握.從命題者提供的答案及除解法七之外的解答，統(tǒng)而概之，本題以梯形輔助線為載體，綜合考查了相似性的判定與性質(zhì)等核心的知識(shí)、技能，其間啟動(dòng)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想，若從這層意義上說，是一道不錯(cuò)的題目；若單從解法七不難看出，本題的考查單一，有偏離核心知識(shí)之嫌.

2.條件過剩降低了試題的品味

從前面的4種解法不難看出，除了解法一用到了條件“BA=CD”，其他方法均沒有用上這一條件，很顯然這是一個(gè)過剩條件，如此一來，題目的嚴(yán)謹(jǐn)性打了折扣，無形中降低了試題的品味，給考生以混亂.有的學(xué)生看到條件沒有派上用場，反復(fù)地琢磨，無端地浪費(fèi)了考場上的寶貴時(shí)間，干擾了學(xué)生的正常思維，如此之偏失造成了試題外部認(rèn)知負(fù)荷的加大，這理應(yīng)是與考查初衷相悖的.所幸的是，這一過剩條件并沒有形成結(jié)果的抵觸，不論從哪一角度入手解答，獲得的答案一致.

3．“孤單一問”難以負(fù)荷大分值

本題為2013年濱州市中考試題第24題，位居倒數(shù)第二題，分值設(shè)為10分，是一道大分值的題目，應(yīng)該說是壓軸題的過渡，它與最后一道壓軸題共同承載著把關(guān)的作用，同時(shí)又要關(guān)注學(xué)生差異，力求讓更多的學(xué)生參與到題目中來，去領(lǐng)略試題自身蘊(yùn)有的風(fēng)景，可得分、多得分，因此，降低起點(diǎn)、放低入口、層級遞進(jìn)應(yīng)該是這類題目設(shè)計(jì)的基本原則．而本題，“獨(dú)木成橋”，會(huì)與不會(huì)，一棒敲定，筆者認(rèn)為欠合理.尤其是解法七，學(xué)過梯形的小學(xué)同學(xué)就能解決，如此難以負(fù)起“歷史使命”.

四、試題改進(jìn)

某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖1所示．其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm.（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）

（1）若板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm時(shí)，試求此時(shí)板凳腿AB的長度？

（2）在滿足（1）的情況下，確定此時(shí)橫梁的端點(diǎn)E所在板凳腿AB的位置，并求橫梁EF的長度？

點(diǎn)評：如此改造（不考慮考查梯形是否合理）后，在不失原有考查意圖的基礎(chǔ)上，把勾股定理融入，并鏈接了二次根式的運(yùn)算，增大了題目考查的廣度，筆者以為相對合理一些，避開了一問10分的大跨度考查，增強(qiáng)了題目的信度.

五、啟示與建議

1.數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模}也需要嚴(yán)謹(jǐn)

命題是一件嚴(yán)肅且重要的工作，是一項(xiàng)創(chuàng)造性的勞動(dòng)，它的成功與否決定著考試的信度、效度、匹配難度等.一道優(yōu)質(zhì)、科學(xué)的數(shù)學(xué)題，題目本身的結(jié)構(gòu)和敘述要滿足合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和清晰性.邏輯上要嚴(yán)密，其中的條件是一個(gè)不多也一個(gè)不能少，且各種條件之間又不能存在矛盾沖突，即滿足充分性、相容性、獨(dú)立性，另外，條件與結(jié)論也要具有相容性.眾所皆知，嚴(yán)謹(jǐn)與科學(xué)是命題的底線，公平、公正、客觀全面是命題的價(jià)值取向，以學(xué)生的發(fā)展為本是命題的人脈走向，基于這些認(rèn)識(shí)，命題者命制試題一定要字斟句酌、精雕細(xì)刻、精益求精、反復(fù)打磨，力求避免因試題陳述與呈現(xiàn)的不合理、不規(guī)范、不嚴(yán)密、不準(zhǔn)確等帶給學(xué)生理解上的歧義或無謂的阻滯，避免使學(xué)生遭遇無可挽回的損失，謹(jǐn)防我們的命題偏失害了學(xué)生、誤導(dǎo)了教師的教學(xué).

2.題目的命制要依“標(biāo)”靠“本”，遵循《考試說明》，明確其導(dǎo)向

這是一道山東省濱州市的中考題，在考前濱州市教研室已經(jīng)制定了明確的《考試說明》，以指導(dǎo)教師的教與學(xué)生的學(xué)、學(xué)生的考，拋開《考試說明》合理與否不說，《考試說明》順應(yīng)2011年新課標(biāo)要求，已明文剔除了梯形的相關(guān)知識(shí)，但在中考試題中卻對此進(jìn)行了考查，縱然沒有“梯形”這一名詞的顯性呈現(xiàn)，但考查的內(nèi)容，尤其是輔助線的構(gòu)造就是梯形的內(nèi)核，如此導(dǎo)向筆者認(rèn)為實(shí)在不妥.尤其是在《考試說明》明令禁止的第一年，如此命題有“出爾反爾”的嫌疑，會(huì)給教學(xué)一線的老師偏頗的導(dǎo)引，讓一線老師無所適從.實(shí)際上，本屆學(xué)生使用的是原課程標(biāo)準(zhǔn)下的實(shí)驗(yàn)版教材，作為梯形內(nèi)容當(dāng)時(shí)都學(xué)習(xí)過，把它排斥在考試之外是不合情理的，因?yàn)樾抡n標(biāo)增刪了部分內(nèi)容，與原有實(shí)驗(yàn)版教材有出入，如此設(shè)置《考試說明》，筆者認(rèn)為導(dǎo)向有點(diǎn)混亂，與學(xué)習(xí)內(nèi)容出現(xiàn)錯(cuò)位，不利于教與學(xué)的正常進(jìn)行.