導學案自主前置探究怎樣設計更高效

☉湖北省鄖縣城關一中 徐久虎

前置探究主要是學生以導學案為抓手，利用課余或課堂時間以自主活動為基礎、以智力參與為前提、又以個人體驗為終結自學探究教材中的內容，它是有效完成課堂學習任務和打造高效生本課堂的關鍵.俗話說：“良好的開端是成功的一半”，因此，導學案該模塊設計要有利于學生自主探究、方便自學，要依據教材將“知識問題化、顯性化，問題層次化、趣味化”.以此激發學生學習的潛能，激揚學生的生命力，使快者可以快學，慢者可以慢學，不同類型學生的天賦與才能都能得到應有的發展，達到全面提升綜合素質.那么，導學案自主前置探究的問題怎么設計，學生自學起來更高效呢？

一、依托“兩個分析”

義務教育數學課程標準明確要求：義務教育階段數學課程的設計，充分考慮本階段學生數學學習的特點，以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，符合學生的認知規律和心理特點，有利于激發學生的學習興趣，引發學生的數學思考；充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質.因此，前置探究設計必須根據學生的特征和學習內容的特點.

1.學生的特征分析

學生學習、理解和掌握知識固著于親身經歷的活動背景，溯源于自己熟悉的生活經驗，扎根于自己已有的認知結構.因此，分析學生的目的是為了了解學生的學習準備狀態、學習風格等方面的情況，為前置探究學習內容的選擇、組織和設計提供科學依據.

在對學生進行學習分析時，重點分析好三個方面的關系：一是數學知識的抽象性與學生思維的具體形象之間的關系；二是數學知識的邏輯嚴謹性與學生理解的片面、膚淺、簡單之間的關系；三是數學知識應用的廣泛與學生生活經驗的狹窄之間的關系.同時，還要注意分析學生的非智力因素等.例如，在前置探究四邊形內容時，至少要對學生進行兩個方面的分析.一是總體學情分析：學生已經學習了平行線、三角形的有關知識，積累了一定的幾何圖形學習的基礎和經驗，有學習四邊形的需求.學生初步掌握了推理論證的方法，但還需要進一步地鞏固和提高，并且更喜歡動手操作的學習方式.二是學生學習中常見的問題分析.（1）忽視定義的雙向作用.定義既可以作為性質來使用，又可作為判定方法來使用.許多學生不能靈活運用平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形定義的雙向性來解決問題.（2）不能靈活地應用知識.一些學生在學習了四邊形的知識后，不善于應用這些知識來解決問題，仍走利用全等三角形的“老路”，影響了學習效果.（3）解題時“會而不對”.一些學生在解題過程中，經常出現將圖形的性質與判定方法混淆、張冠李戴，或推理條件不全，強行過渡等情況.一些學生由于概念不清，方法不當，往往把原本簡單的問題復雜化.（4）容易遺忘前面所學過的知識.對于小學時學過的一些特殊四邊形的概念，平行四邊形和梯形的高、面積計算公式等，以及七年級下冊中有關四邊形內角和等內容，八年級教材中并未再作說明，而是直接使用，對這些知識的遺忘造成了部分學生學習時的困難.根據學生可能會出現的種種情況，只有有針對性地設計前置探究的問題，才能使每個學生學得更快、更好、更高興，前置學習的效果會更好.

2.學習內容的分析

學習內容的分析可以為科學、準確地確定前置探究目標和內容奠定堅實的基礎.只有對學習內容進行分析，才能確定學生前置探究內容的范圍（學生必須達到的知識和技能的廣度）、深度（學生必須達到的知識深淺程度和能力的質量水平）；才能明確學生應該探究什么，又該如何探究；才能明確教師應該設計、引導和點撥什么，又該如何設計、引導和點撥；才能把前人凝聚于知識中的智力活動方式轉化為個體的認識能力，再把蘊含于知識經驗中的思想、道德觀念轉化為個體的價值觀念.

其一，認真分析學習內容的背景.重點分析數學知識的發生與發展過程、與其他學科的聯系、在日常生活中的應用、在后續學習中的地位作用及蘊含的數學思想方法.圍繞學習內容的背景開展前置探究學習，學生既能明確數學的作用、重要性，又能體現數學教育的人文價值.例如：前置探究“勾股定理”，根據內容背景，可設計以下問題讓學生思考探究.

問題（1）：你知道2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會徽圖案嗎？你了解趙爽圖嗎？古代數學家是怎樣探索發現勾股定理的？勾股定理又叫“商高定理”、“百牛定理”、“畢達哥拉斯定理”，你聽說過嗎？

問題（2）：你能證明勾股定理嗎？請上網查一查勾股定理約有多少種證明方法，你最欣賞哪種證明方法？

問題（3）：在現實生活、生產中，你能舉出勾股定理應用的例子嗎？

通過問題（1）引導學生探究定理的發現過程，了解我國古代數學史，從中體驗數學家的刻苦鉆研、追求完美的精神，在充滿驕傲、自豪的激情中發憤圖強，努力學習.通過問題（2）引導學生感受勾股定理的經典證明及證法之多，激發興趣、激活思維、激揚生命，以高昂的狀態投入到學習探究之中.通過問題（3）引導學生在應用定理的過程中，體會定理的本質、地位、作用及蘊含的數學思想方法，拓廣視野，提高應用能力，提升數學觀念，形成正確的數學意識.

其二，認真分析學習內容的結構.就是對學習內容的整體性和層次性進行分析和劃分，不僅要對學習內容的縱橫結構、內外聯系以及知識結構和學生的認知結構進行深入、細致地剖析，而且還要對學習內容中所蘊含的數學思想方法結構進行分析，從而客觀、全面地把握前置探究內容的設計.例如：前置探究“梯形面積計算公式和中位線性質”，設計時可引導學生思考：當梯形的一條底邊退化為一點時，它是什么圖形？怎么計算它的面積？其中位線有什么性質？通過探究，學生會發現三角形的面積公式、中位線的性質就是梯形特殊情形所具有的性質.發現和掌握了它們之間的內在結構，學生可進行類比、聯想、遷移，有利于減輕記憶負擔，有利于發現和建構知識網絡，更有利于提高學習效率.

其三，認真分析學習內容的范圍.學習內容的范圍分析主要包括兩個方面：一是學習內容的廣度（基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）；二是學習內容的深度（“四基”難度）.設計前置探究內容，既要按照學習目標和課程內容的要求確定范圍，也要考慮學生的實際狀況來挑選資源，必須依據學生的起點水平和內容特征，力求為每一類學生設計適合他們各自水平的前置探究內容，滿足個性化需求，實現“面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”新課程理念.例如：前置探究“勾股定理”，可設計三種探究方案供學生選擇.

方案一：圖1是三個不同的直角三角形，請同學們測量出這些三角形各邊的長，計算出各邊的平方，你發現了什么？自己再任意畫一個直角三角形，進行同樣的操作，你的發現還成立嗎？你能得出什么規律？

方案二：2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會，本屆大會會徽圖案你見過它嗎？你了解趙爽圖嗎？圖2是由兩直角邊分別為a、b，斜邊為c的四個全等的直角三角形拼成的正方形，你能發現a、b、c三邊之間的數量關系嗎？

方案三：畢達哥拉斯是古希臘著名數學家，相傳兩千五百年前，他去朋友家作客，發現朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數量關系，同學們，請你觀察一下圖3，你能發現什么？

圖1

圖2

圖3

三種方案的設計隱含著內容深度的要求不同.方案一的設計在理解勾股定理的本質上不如后面的設計所能達到的深度，它適合基礎較差的后進生和低齡兒童的認知特點.而方案三的設計形式化、抽象程度較高，要求學生進行深層次的思維活動.所以，在選擇和設計前置探究內容時，必須根據學生的特點、學習目標等因素全面衡量，做出切合學生實際的選擇，才能實現高效課堂.

二、凸顯“三條原則”

1.強動機原則

學習動機是直接推動學生學習活動的內部動力，任何學習活動不可缺少，特別是對于自主前置探究更為重要.學生在前置探究時，除了要明確學習目標、目的性外，更要有自我激發學習的動機、自主選擇運用學習的方法、自主有效安排學習的時間、自主調控學習的過程、自主對應學習情景的變化、自主感受評價學習的成效.因此，前置探究內容、活動形式等設計要考慮最大限度地調動學生自主探究的積極性和能動性，激發學生的好奇心、求知欲和刻苦鉆研的精神，讓他們徜徉在“憤”與“悱”的學習情境中.例如：探究“整數指數冪的性質”可設計這樣的問題：白紙的厚度只有0.083毫米，三次對折的厚度是0.083×23=0.664毫米.請同學們思考，假如對折50次，那么它的厚度是多少？會不會高過課桌？會不會高過屋頂？會不會高過教學樓？……設計了一個學生急于想知道結論的懸念問題，其好奇心被充分地調動起來，為隨后的探究學習奠定了良好的基礎.

2.啟、讀、練、思相結合原則

學生在自主前置探究時，一要在預設問題的啟發引導下進行有效自學，啟發形式多種多樣，如：課題式啟發、復習式啟發、設問式啟發、發現式啟發、類比式啟發等，啟發的關鍵要含而不露、引而不發，誘導學生一步一個臺階向上走，啟發的目的則是抓住學生對新知識的興趣，使之產生強烈的求知欲望.二要預設的問題能引導學生細讀精讀教材、讀知識點、讀例題，從中感知、辨認和篩選出對自己有用的、關鍵性的信息.三要預設習題，引導學生親身練習，通過解題實踐掌握、理解知識，實練時要啟發學生一題多解、一題多變，達到舉一反三的效果.四要引導學生及時總結反思，了解學習情況，做好疑難摘要，做到及時反饋，及時強化.例如：探究“（x+a）（x+b）的計算規律”設計如下所示.

（1）學生計算：（x+1）（x+2）=________；

（a+5）（a-3）=________；

（m+2）（m-6）=________；

（y-2）（y-3）=________.

（2）請同學們觀察以上各式，左、右兩邊各項系數有什么聯系？

（3）你發現了什么規律？

學生親自計算、觀察、歸納，發現了規律，總結出形如（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab的計算公式. 設計的問題起到了“啟、引、探、思”的目的，由于是學生自己發現的，所以掌握、理解知識的效率是較高的.

3.自檢、互檢相結合原則

前置學習應強調自主探究和合作學習的統一，學生經歷自主探究過程，分析效果如何，分析還存在什么問題.首先通過自檢來判斷，主要通過設計練習、自我反思等形式，這有利于培養學生發現問題的能力及嚴格要求自己、精益求精的良好形象態度和習慣.其次引導學生群體進行互檢，通過相互交流、相互啟發、相互學習，學生從中獲得反饋信息，調節自己的觀點，相互取長補短，由群體的智慧完善和深化個體對知識的理解和掌握.

三、緊扣“五個要點”

1.問題設計要符合學生的特點

前置自主探究的問題設計一定要位于學生最近發展區，既不能超越學生的知識能力太多，又不能過于簡單達不到認識深度.要遵循由淺入深、由表及里、循序漸進的原則，將大問題化小，小問題化細，難問題分散，采用“小步子”學習探究方式.要讓學生在探究問題的過程中，對知識的理解、認識和應用有一個逐步深入的“螺旋式”上升.同時，學生的思維、技能和情感得到鍛煉和熏陶.例如“梯形概念”探究設計如下所示.

問題：現有圖4所示的矩形、三角形紙片.

圖4

如果你任選兩張矩形紙片，將它們交叉疊放在一起，重疊部分可能是什么四邊形呢？如果將一張矩形紙片和一張三角形紙片疊放在一起，重合部分會是什么圖形？日常生活中見過這樣的圖形嗎?這樣的圖形有什么共同特征呢？

問題的設計符合學生喜歡動手操作的特點，問題的探究是在學生剛學完特殊平行四邊形的最近發展區開展的，探究的結果也是多種多樣的，既鞏固了前面的知識，又在原有知識基礎上發現了新的問題.

2.問題設計要抓住新舊知識的結合點

數學知識相互聯系，縱橫成網狀結構，自主前置探究設計的問題應從學生已有的“數學”經驗或其他知識經驗背景中去發掘具體原型，為新知識的學習提供固著點，這有利于知識的同化、順應和建構.問題設計要抓住新舊知識的結點，體現依舊引新、懸念迭起，能吸引注意力，具有啟迪思維之功效.例如“分式概念引入”探究設計如下所示.

問題（1）：為落實教育均衡發展，北京大學計劃在5年時間內從某省招收一定數量的學生，而實際每年比原計劃多招收50名，結果提前1年完成了招生任務.請問北京大學原計劃招收多少名學生.

問題（2）：北京大學計劃在幾年時間內從某省招1000名學生，而實際每年比原計劃多招收50名學生，結果提前1年完成了招生任務.請問北京大學原計劃招收多少名學生.

問題（3）：從十堰市到武當山景點相距60km，若乘坐公共汽車，將比轎車晚0.3h達到，已知轎車的平均速度比公共汽車的平均速度高50%，則公共汽車的平均速度是多少？

問題（1）讓學生建立整式模型，幫助學生主動回憶和提取同化新知識的原認知結構，為實現認知結構的重組、轉化和建構奠定基礎.問題（2）是（1）的變式，由整式方程變化為分式方程，體現分式是由整式變化產生的，為分式概念的建構做了很好的鋪墊.問題（3）產生更多的分式，繼續為分式概念的建構做準備.

3.問題的設計要找準新知識的生長點

一般情況下，新知識是已有的知識、經驗、方法和觀念的延伸和發展，又是后繼學習新知識開展思維活動的原料和工具.要使學生高效學習、理解、掌握新知識，必須找準新知識的生長點，圍繞生長點設計問題有利于建構知識.例如“分式概念抽象”探究設計如下所示.

問題（4）：你能求出上述問題（2）、（3）的答案嗎？能不能將上述三個問題中所列方程左、右兩邊式子分分類？

問題（5）：根據你的分類，對照整式、分數的定義，用自己的語言描述概括一下新式子的特點，你能否給新式子取一個名稱？結合教材體會什么叫分式.

問題（4）的設計，其一是構建適當的認知差，進一步引起學生的認知沖突，激發學生自主探究的主動性；其二是引導學生發現新的數學對象（分式），讓學生產生研究新對象的認知需求.問題（5）的設計目的是引導學生將分式與整式、分數類比，已有的知識為生長點，積極主動地建構新概念，實現知識的正遷移.

4.問題設計要注重新知識的建構點

自主前置探究是學生經歷智力參與（注意力、觀察力、記憶力、想象力、思維力和語言能力）建構新知識，這一過程既要建立新的認知，又要將新知納入到原認知結構中，重新構造新的認知結構.因此，問題設計既要能引導學生建立對新知識的理解，將新知識與已有的知識建立聯系，又要將新知識與原有的認知結構相互結合，通過納入、重組和改造，構成新的認知結構.例如，“分式概念建構”探究設計如下所示.

問題（6）：把下列各式寫成分式.比一比，試一試，看誰寫的快.

問題（7）：把下列代數式填寫到相對應的集合里.

單項式：{ …}；

多項式：{ …}；

整式：{ …}；

分式：{ …}.

問題（8）：某校有m名學生，若每n名學生分配一間宿舍，則還有1人沒有地方住.請你用所學的知識表示宿舍的間數.

問題（6）、（7）的設計是為了幫助學生進一步明確分式概念的本質特征，強化對分式概念的理解和認識.這兩個問題采用改變非本質屬性而本質屬性不變的新形式，進行概念辨析，深化概念本質屬性的認識和把握，使學生將新概念與要原有認知結構中的某些概念區別開來，并可以糾正概念理解上的一些錯誤，具有“精致概念”的作用，有助于改組、完善原有的認知結構.問題（8）讓學生在具體情境中運用概念解決問題，把學生帶回到現實中、帶入到問題中，在問題的探究中學數學、做數學、用數學，豐富學生對概念的理解和體驗，進一步建構概念的心理表征.

5.問題設計要分散新知識的疑難點

在前置探究學習時，探究的內容可能抽象程度較高、結構比較復雜、知識綜合性較強，以及需要運用新的觀點或思維方式，往往會給學生帶來新的學習障礙.因此，在充分、準確地估計學生學習中會遇到的疑難問題時，要圍繞學習知識的重點、難點、關鍵點、易錯點、忽略點、交叉點、思維定勢負遷移點等設計問題，達到既要有針對性地引導、幫助學生分散疑難點，掃清學習障礙，解決疑難問題，還要注意疑難點在發展學生能力方面的積極作用，必須考慮讓學生在攻克疑難問題的過程中提高思維水平.例如，“圓周角性質證明”探究設計如下所示.

圖5

問題（二）：（1）動手畫一畫，在圓上任取一個圓周角，觀察圓心與圓周角的位置關系有幾種情況.

（2）當圓心在圓周角的一邊上時，如何證明問題（一）（1）中的猜想？

（3）另外兩種情況怎么證明？能否轉化為第一種情況？

問題（一）的設計是為了引導學生親自動手，利用度量工具（如半圓儀、幾何畫板等）進行實驗、探究感知、發現、猜想結論.問題（二）的設計為證明猜想作鋪墊，讓學生親身經歷三個問題的探索，引導學生應用分類討論的數學思想研究問題，有針對性地分散、降低了證明猜想的難度，順其自然達到證明猜想的目的.同時，學生在經歷分析、證明、猜想的過程中，感受、學會一種分析問題、解決問題的方式、方法：從特殊到一般，運用化歸思想將問題轉化.與此同時，學生創造性解決問題的思維得到了鍛煉和培養.