壓軸題的解題利器——談旋轉在幾何中的應用

☉廣東省珠海市實驗中學 胡潔慧

初中幾何中的三大圖形變換：平移、對稱、旋轉.其中，旋轉是非常重要的輔助線作圖技巧，在很多幾何壓軸題中多次出現，方法獨特，不可忽視.旋轉的特點很明顯，經常用在等腰三角形或正方形中，條件明顯，思路單一.在學習旋轉的過程中，首先，要掌握旋轉的基本感念和基本性質，掌握旋轉前后的結構變化；其次，要掌握旋轉應用的環境，什么情況下使用旋轉，如何旋轉，如何判斷旋轉后的結構是否是我們需要的結構.

下面是旋轉的基本概念和旋轉的基本性質：

圖1

旋轉的基本概念：如圖1，把一個圖形繞著點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.其中點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.如果圖形上的點A經過旋轉變為點E，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點，線段OA經過旋轉變為線段OE，那么這兩條線段叫做這個旋轉的對應邊.

旋轉的基本性質：

①對應點到旋轉中心的距離相等；

②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

③旋轉前后的圖形全等.

在幾何壓軸題中，旋轉的應用非常重要，下面就常見的幾種類型問題來說明旋轉的重要性.

一、求角度問題

例1 如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，P為三角形內一點，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3，求∠APB的度數.

分析：首先判斷出∠APB一定是一個特殊鈍角，根據鈍角的特點，要么求它的補角，要么將鈍角進行分割.不管是哪種情況，要把該角放在一個特殊的圖形結構當中去.觀察發現，題設中的條件是一個等腰直角三角形，因此，可以考慮旋轉的變換.

圖2

圖3

解：如圖3，過B作BM⊥BP，且BM=BP，連接MP，MA.

所以AM2=MP2＋AP2.

所以∠MPA=90°.

所以∠APB=135°.

總結：求角度的問題一般是要轉化為特殊的三角形結構，而出現三角形的變換借助于旋轉.旋轉應用的環境是等腰直角三角形，在這種環境中經常使用旋轉，注意掌握.

二、求線段長度問題

（1）求線段BD的長度；

（2）求四邊形ABCD的面積.

圖4

分析：通過觀察發現，題設中有線段長度，角度，線段相等.其中，線段長度不是一個重要條件，往往用在計算過程當中，角度條件是個特殊條件，不過，通過嘗試發現，不是突破口，最后，線段相等是個關鍵，常用于旋轉，可以嘗試一下.

解：（1）如圖5，將△BAD繞著D點逆時針旋轉60°，得到△ECD，連接BE.

由圖可知，A點對應點為C點，B點對應點為E點，

所以CE=AB=2，∠A=∠DCE.

因為DB=DE，∠BDE=60°，

所以△BDE為等邊三角形.

在四邊形ABCD中，∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA=360°，

又因為∠BCD＋∠BCE＋∠ECD=360°，

所以∠BCE=∠ABC＋∠ADC=75°＋60°=135°.

圖5

圖6

如圖6，∠BCE=135°，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于F，所以在Rt△CED中，EC=2.

（2）由圖5可知，S四邊形ABCD=S△BED.

總結：當出現有公共端點的兩條線段相等的條件時，這時，要注意旋轉的應用.求圖形的面積的時候，對于不規則四邊形情況，往往變換圖形，使得變換為規則圖形或規則三角形，進而求解其面積.

三、求長度最小值問題

圖7

分析：旋轉的一個重要用法，就是解決三條線段和的最小值問題.目的是把有公共端點的三條線段轉化到一條折線上，利用兩點之間線段最短的理論來處理.

解：如圖8，將△APB繞著點A順時針旋轉60°，得到△AED，連接EF，DB.

由旋轉可知，AD=AB，∠DAB=60°，

所以△ADB為等邊三角形.

同理，△AEP也為等邊三角形.

所以DE=BP，EP=AP.

所以AP＋BP＋CP=DE＋EP＋PC.

當D、E、P、C四點共線時，DE＋EP＋PC取得最小值.

圖8

圖9

如圖9，過點D作DF⊥BC交CB的延長線于F，

所以DC=

總結：此類問題的突破點在于結論，三條線段之和的最小值.通過旋轉的變換，圖形中出現了兩個等邊三角形的結構，將有公共端點的三條線段轉換為在一條折線上，利用兩點之間線段最短的性質來判定.最后出現了一個特殊角的三角形，利用勾股定理來求線段的長度.

以上是運用旋轉的幾種常見題型，進而出現了特殊的圖形結構，產生新的等量關系，把條件和結論有效地結合起來，從而達到解決問題的目的.