改進的最適高斯近似概率假設密度濾波

歐陽成* 陳曉旭 華 云

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改進的最適高斯近似概率假設密度濾波

歐陽成陳曉旭 華 云

(電子信息控制重點實驗室 成都 610036)

最適高斯近似概率假設密度濾波是一種新穎的多機動目標跟蹤算法。然而，該算法存在模型概率先驗固化問題，即在計算模型概率的過程中量測信息不起作用。針對以上問題，該文提出一種改進算法，通過引入模型概率更新過程，將后驗量測信息加入模型概率的計算式中，根據似然函數在多個運動模型之間進行軟切換，進而實現對多個機動目標的有效跟蹤。實驗結果表明，改進算法能夠有效解決模型概率先驗固化問題，在目標數估計和濾波精度方面均優于傳統算法，具有良好的工程應用前景。

隨機集；概率假設密度濾波；最適高斯近似；機動目標跟蹤

1 引言

在機動目標跟蹤領域，交互式多模型(Interacting Multiple Model, IMM)算法被認為是迄今為止最有效的算法之一，它通過模型轉移概率在多個模型之間進行軟切換，可以在計算精度和計算開銷上獲得比較好的折中。雜波環境中，為了跟蹤多個機動目標，常用的方法是將IMM分別與聯合概率數據關聯(Joint Probabilistic Data Association, JPDA)、多假設跟蹤(Multiple Hypothesis Tracking, MHT)等算法相結合，構成IMM-JPDA, IMM-MHT等算法。然而，由于需要計算所有關聯事件的概率，這些算法的復雜度隨目標或虛警個數的增加呈指數增長，難以應用于工程。

近幾年，由于隨機集理論的興起，與其相關的多目標跟蹤算法越來越多, 其中最具影響力的是Mahler提出的概率假設密度(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波，及其改進算法。該濾波算法將復雜的多目標狀態空間的運算轉換為單目標狀態空間內的運算，有效避免了多目標跟蹤中復雜的數據關聯問題。目前已有的PHD實現方法主要包括粒子PHD和高斯混合PHD兩種形式，后者由于避免了粒子采樣以及聚類等操作，在運算效率和狀態提取方面更具優勢。文獻[9]和文獻[10]分別將多模型的思想引入粒子PHD和高斯混合PHD中，以解決多機動目標跟蹤問題。然而，傳統的多模型PHD濾波并不包含輸入交互過程，正如文獻[10]所述，如何將IMM算法引入PHD濾波中是一個頗具挑戰的問題。最近，文獻[11]通過采用粒子擬合目標狀態的模型條件PHD強度，在粒子PHD框架下成功實現了模型輸入交互。相應地，文獻[12]通過采用最適高斯近似(the Best-Fitting Gaussian, BFG)法對IMM預測性能進行估計，成功將輸入交互過程引入高斯混合PHD濾波中。然而，研究發現該算法存在模型概率先驗固化問題，即在計算模型概率的過程中量測信息不起作用。針對以上問題，本文提出一種改進算法，通過引入模型概率更新過程，充分利用后驗信息改善濾波性能。實驗結果表明，改進算法能夠有效解決模型概率先驗固化問題，性能優于傳統的BFG-PHD濾波，具有良好的工程應用前景。

2 隨機有限集及PHD濾波

在多目標跟蹤中，多目標狀態和量測均可用隨機有限集(Random Finite Sets, RFS)表示，即=為目標狀態集，為量測集，其中和分別是和上的所有有限子集的集合，和分別表示時刻的目標數和量測數。

(6)

3 最適高斯近似PHD濾波

最適高斯近似(BFG)法是一種跳轉馬爾可夫線性系統(Jump Markov Linear Systems, JMLS)下的IMM性能估計方法，其基本思路是將動態模型中的狀態轉移方程和過程噪聲協方差矩陣用一個BFG分布進行近似，從而使目標在兩種模式下的預測狀態具有相同的均值和方差。文獻[12]將該算法引入PHD濾波中，實現對多個機動目標的有效跟蹤。

考慮如下JMLS模型：

BFG近似即是將式(8)用一個BFG分布進行替換

若將式(8)所示的JMLS表示為事件，式(9)所示的BFG分布表示為事件，則算法的關鍵在于尋找合適的和，使得下式成立

(11)

由全概率公式可知

事件條件下的目標狀態期望為

對比式(12)和式(13)可知

(14)

另一方面，事件條件下的目標狀態協方差矩陣為

其中，

另一方面，由式(9)和式(15)可知，

(20)

(22)

此后的PHD預測更新過程與傳統的單模型PHD濾波完全一致，不同之處僅在于狀態轉移矩陣和過程噪聲協方差矩陣需分別用BFG近似的和進行替換，簡單起見，本文不再贅述。

4 改進算法

文獻[13]提出BFG算法的初衷是為了計算JMLS的克拉美羅下界(Posterior Cramer-Rao Lower Bound, PCRLB)。對于單模型線性系統而言，可直接對其Fisher信息矩陣(FIM)求逆

(24)

由于PCRLB給出的是估計性能下界，不需要計算具體的似然函數，因此BFG算法中的模型概率計算公式中只包含預測過程，而缺乏更新過程。文獻[12]將BFG算法直接應用于PHD濾波中，固然可以解決模型輸入交互問題，但在計算模型概率時沿用了BFG中的方法。換句話說，只需給定一個模型概率初值，就可根據式(22)迭代計算出整個跟蹤過程的模型概率值，我們稱其為模型概率先驗固化問題。本節針對該問題提出一種改進算法，通過引入模型概率更新過程，利用后驗信息改善濾波性能。

(26)

(28)

(30)

其中，

(33)

則經過量測更新的后驗PHD強度為

(35)

其中，

(37)

(38)

(40)

(41)

(43)

其中，

(45)

(46)

由式(33)和式(43)可以看出，改進算法對于模型概率的計算包括預測和更新兩個步驟，其中預測過程與BFG算法相同，但更新過程則需要用到每個高斯分量的似然函數，由于后驗量測信息的引入，模型概率先驗固化問題得以有效解決。

值得注意的是，本文算法與文獻[12]中算法一樣，都只適用于馬爾可夫線性系統。此處的“線性”僅僅是指，狀態轉移方程需滿足線性條件，而對于量測方程則沒此限制。因此，對于量測方程非線性的系統，可考慮將算法中的卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)替換為無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)或高斯粒子濾波(Gaussian Particle Filter, GPF)等非線性高斯濾波算法，以改善濾波性能。

5 仿真實驗與分析

研究2維空間中一定區域內相繼出現消失的8個機動目標，真實目標航跡如圖1所示。整個觀測過程持續60幀，采樣周期為。每個目標在時刻的狀態用一個4維向量表示，其中，和分別表示目標的位置和速度。采用5個運動模型對目標運動過程進行描述，均滿足如下狀態轉移方程

其中，

5個模型的過程噪聲協方差矩陣均為 ，但轉彎角速率各不相同，模型1的轉彎角速率為，即勻速直線運動，模型2

傳感器位置為坐標原點，量測方程為

其中，

簡單起見，不考慮目標衍生過程，新生目標隨機集取為目標真實起始位置，采用擴展卡爾曼算法進行濾波。仿真中設置最大高斯分量數為，修剪門限為，合并門限為。檢測概率，目標存活概率為。雜波數服從均值為20的泊松分布，在視場內均勻分布。

圖2所示為文獻[12]算法中目標2的模型概率轉移曲線。可以看出，由于原算法中的模型概率先驗固化問題，只需給定一個初始模型概率以及馬爾可夫跳轉矩陣，就可根據式(22)將所有時刻的模型概率迭代計算出來，因此無法根據后驗量測信息對模型進行軟切換。

圖3所示為改進算法中目標2的模型概率轉移曲線。可以看出，由于模型概率更新過程的加入，模型概率先驗固化問題得以有效解決，因此，改進算法可以在跟蹤過程中充分利用后驗量測信息，在多個運動模型之間進行軟切換。

圖2 原算法中目標2的模型概率轉移曲線

圖4所示為原算法的單次仿真結果。可以看出，由于跟蹤過程中無法對模型進行有效切換，當目標發生機動時，跟蹤誤差較大，且容易丟失目標。

圖5所示為改進算法的單次仿真結果。可以看出，由于跟蹤過程中能夠充分利用后驗量測信息，實現多個模型之間的軟切換，當目標發生機動時，跟蹤誤差較小，且不容易丟失目標。

采用文獻[14]中的估計與航跡關聯算法生成目標航跡，圖6和圖7分別為原算法和改進算法得到的時間軸跟蹤軌跡，同樣可以說明問題。

為統計不同算法的平均性能，進行500次蒙特卡洛(Monte Carlo, MC)實驗，采用目標數估計均值方差和OSPA脫靶距離對不同算法的性能進行評價，OSPA距離的計算式如下：

圖4 原算法的單次仿真結果

圖8和圖9分別為原算法和改進算法的目標數估計性能。可以看出，原算法的目標丟失現象較為嚴重，目標數估計性能整體較差，而改進算法的目標數估計更加準確，且方差較小，魯棒性更強。

圖10所示為不同算法的OSPA距離對比。可以看出，改進算法在目標數估計和濾波精度方面均優于文獻[12]中算法，具有良好的工程應用價值。

表1所示為不同檢測概率下的綜合性能對比。可以看出，隨著檢測概率的降低，兩種算法的性能均有所下降，但總體來看，改進算法的OSPA距離更小，目標數估計均值更大，標準差更小，平均跟蹤誤差更小，表現出更好的綜合性能。

圖5 改進算法的單次仿真結果

圖6 原算法時間軸跟蹤軌跡(“·”量測，“——”航跡)

圖7 改進算法時間軸跟蹤軌跡(“·”量測，“——”航跡)

圖8 原算法的目標數估計性能

圖9 改進算法的目標數估計性能

Fig. 9 Target number estimation of the improved algorithm

表1不同檢測概率下的綜合性能對比

Tab. 1 Performance comparison under the conditons of different detection probabilities

6 結論

BFG-PHD濾波是一種新穎的多機動目標跟蹤算法，能夠在高斯混合PHD框架下實現不同目標的模型輸入交互。然而，該算法存在模型概率先驗固化問題，限制了其在工程中的應用。針對以上問題，本文提出一種改進算法，通過引入模型概率更新過程，根據后驗量測信息對模型概率進行調整，從而能夠更好地跟蹤多個機動目標。實驗結果表明，改進算法能夠有效解決模型概率先驗固化問題，性能優于傳統的BFG-PHD濾波，具有良好的工程應用前景。然而，本文考慮的仿真場景還比較簡單，新生目標隨機集取為目標真實起始位置，且沒有考慮目標衍生過程。接下來，需要在新生目標隨機集未知且包含目標衍生過程的環境下，進一步驗證算法性能。另外，如何將算法應用到多傳感器系統中也是今后需要開展的工作。

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Improved Best-fitting Gaussian Approximation PHD Filter

Ouyang Cheng Chen Xiao-xu Hua Yun

(Science and Technology on Electronic Information Control Laboratory, Chengdu 610036, China)

The best-fitting Gaussian approximation Probability Hypothesis Density (PHD) filter is a novel algorithm for multiple maneuvering target tracking. However, there is a problem that the model probabilities are calculated without the measurement innovation. To solve this problem, an improved algorithm is proposed in this paper, which develops an update procedure for model probabilities to employ the posterior measurement innovation to enhance the filtering performance. Then, the dynamic equations can be softly switched among different models according to the likelihood functions. The simulation results show that the improved algorithm has several advantages over the ordinary one with respect to the target number estimation and filtering accuracy, implying good application prospects.

Random finite sets; Probability Hypothesis Density (PHD) filter; Best-fitting Gaussian approximation; Maneuvering target tracking

TN953

A

2095-283X(2013)02-0239-08

10.3724/SP.J.1300.2013.13010

歐陽成(1985-)，男，博士后，西安電子科技大學博士畢業，現為中電集團第29研究所博士后。研究方向為目標檢測與跟蹤、多傳感器信息融合。E-mail: ouoyc@yahoo.com.cn

陳曉旭(1976-)，男，工程師，研究方向為信號處理、無源定位技術等。

華 云(1972-)，男，研究員，研究方向為信號處理、無源定位技術等。

2013-02-05收到，2013-05-02改回；2013-05-07網絡優先出版

中國博士后科學基金(2012M521713)資助課題

歐陽成 ouoyc@yahoo.com.cn