基于HP濾波和GARCH模型的股票價格趨勢預測

楊建輝，張然欣

（華南理工大學工商管理學院，廣州 510000）

0 引言

在股票市場中,對市場狀況最直接的反映就是各種股票的價格及其變動,并由此派生出其它各種表征市場狀況的特征量。其中,股票價格是最基本的特征量,也是人們所能感覺到的最直接的表現,其它特征量則是以股票價格為基礎的間接量。而關于股票的價格,它總是處在不停的波動變化之中,受政治、經濟以及市場技術等多方面的因素的影響。目前已形成的各種股價理論雖然能解釋股市上的某些現象,但對股票價格的描述和分析都不完全、不確切。

HP濾波方法是對非平穩變化的股票價格序列進行趨勢分解,分解成為不同性質的數據序列。龔攀峰(2009)基于HP濾波由失業率和經濟增長率得到潛在失業率和經濟增長率，進而計算出失業率缺口和經濟增長率缺口[1]；張連城、韓蓓(2009)結合1952-2007年中國年度產出數據特征，討論了應用HP濾波方法測算潛在產出時的平滑參數選擇問題。平滑參數取100時的HP濾波器能更準確地刻畫長期增長路徑,平滑參數取6.25時的HP濾波器能更好地捕捉潛在產出的波動特點[2]；彭兆祺、孫超（2011）采用HP濾波方法,對我國經濟的長期均衡增長或潛在增速進行考察,分析了經濟周期的變化,長期均衡經濟增長顯示出經濟周期扁平化,波動幅度放緩更加明顯，波谷、波峰的間距由5年延長到目前的6年和8年[3]。

GARCH模型主要運用于中國股票市場波動性的預測,但是國內GARCH模型用于金融產品價格趨勢的研究不是很多，研究的比較多的是對人民幣匯率的預測。劉國旗（2000）應用GARCH模型及其兩種非線性修正模型(QGARCH模型和GJR模型)預測中國股票市場的波動[4]；Brooks和Simon按照一定的標準選用特定的GARCH模型來預測美元匯率的收益波動情況[5]；惠曉峰（2003）運用時間序列的GARCH模型,采用一步向前預測的滾動算法和遞歸算法,對匯率體制改革后的人民幣美元匯率建模進行預測[6]；羅艷（2011）用ARMA和GARCH模型預測滬深300消費指數的變化趨勢進行了進行全局預測和短期預測[7]。

在綜合比較國內外學者運用GARCH模型預測方法的基礎上,本文選擇采用HP濾波法與GARCH模型對股票價格的基本走勢進行研究,希望通過這些方法的驗證為股票價格走勢的預測提供較為科學的依據，但是股票價格的決定因素是非常復雜的,本文將HP濾波法與GARCH模型結合起來對股票價格進行的分析預測只是一種嘗試,更多的是一種思路和方法方面的探索。

1 模型思想及其方法

1.1 HP濾波模型的基本思想原理

HP濾波是在宏觀經濟分析用來的到經濟時間序列的長期趨勢而廣泛使用的方法之一。它是由Hodrick和Prescott提出的一種濾波方法，即認為經濟變量變動趨勢是緩慢的，不是永遠不變也不是隨機波動而變，它把經濟運行看作是長期內在的或者潛在的增長趨勢和短期波動的結合，把實際產出分解為趨勢和周期性兩種成分[3]。該方法采用對稱的數據移動平均的方法原理，設計了一個濾波器，將變化不定的時間序列數據中具有一定趨勢變化的平滑序列分離出來。于是時間序列數據就被分為兩部分：周期性波動數據和趨勢要素數據。

對于時間序列數據S={s1，s2，…，sn}來說，假如分解出來的周期性數據為 Y={y1，y2，… ，yn}，趨勢要素為 T={t1，t2，… ，tn}，則S=Y+T，i=1,2,…,n。

趨勢被定義為下面的最小化問題的解：

式中的λ為正數，用以調節兩者的比重，稱為平滑參數，是控制平滑程度的懲罰因子。該值越大，則T越平滑，當該值趨向于無窮時，第二項為0。這時，HP濾波退化為最小二乘法。

HP濾波法也有自己的局限性，其一：HP濾波法的結果跟取值有很大的關系；其二：HP濾波法要求考察趨勢值和實際值的缺口之和為0，從而尾點的數據會嚴重的影響結果。

1.2 GARCH模型的基本思想原理

金融市場價格波動具有隨時間變化的特點，經濟學家和金融財務專家們研究發現金融市場上時間序列數據從一個時期到另一個時期的變化過程中,常常出現價格波動率聚類現象。即大幅度波動聚集在某一段時間，而小幅度波動聚集在另一段時間上。這時稱該時間序列存在條件異方差，建模就需要用到條件異方差模型[8]。

傳統的回歸模型在古典假設中要求擾動項具有同方差性，但是不能解釋金融數據尖峰厚尾、波動叢集性和杠桿效應的特征。這種情況下，為了充分地描述金融資產收益率的波動特性，在原有的ARCH模型基礎上Tim Bollerslev在1986年該模型中增加了q階自回歸項，稱為推廣的ARCH（GARCH）模型。GARCH是一種使用過去變化和過去方差來預測將來變化的時間序列建模方法。它的優勢在于可有效的排除資產收益率中的過度峰值該推廣的模型解決了原有模型固有的缺點，使待估參數大為減少并且提高了計算的準確性。

GARCH模型一般由兩個方程組成：一個是條件均值方程，另一個是條件方差方程。這兩個方程通常可以表示為：

其中p≥0,q＞0。當期的方差依賴于三個因素：常數項ω，ARCH 項（用前一期的殘差的平方表示，反映前一期的波動性）和前一期的預測方差

1.3 基于HP濾波法的自回歸和GARCH模型

令S={s1，s2，…，sn}為某段時間獲得的股票時間序列數據，其為波動非平穩序列，首先對該序列進行HP濾波，運用Eviews[12]輔助工具將數據分解成具有時間規律變化的趨勢數據和帶有循環周期的隨機波動序列，S=Y+T。

首先，對分解出來的趨勢元素序列T采用自回歸模型進行擬合和預測。根據可判系數最大和AIC、SC準則最小來確定模型的階數，然后得到自回歸模型。根據模型然后對趨勢元素序列前400個數值進行擬合，然后對樣本外的89個數據進行預測，得到預測的趨勢元素序列Tf。給出自回歸模型未預測的帶有周期的隨機波動序列Y0，且Y0=S-Tf。

然后，對序列Y0進行ARCH效應的檢驗，試利用GARCH模型對其進行前400個數值擬合，然后對樣本外的89個數據進行預測，根據AIC、SC準則最小來確定模型的階數并確定模型的系數，最后給出GARCH模型預測的Yf。

最后，通過對數據進行重組，得到原始序列S樣本外89個數據的預測序列Sf=Y0f+Tf，并根據原始時間序列數據和預測序列數據的趨勢圖進行比較來分析模型的預測效果。

2 實證分析

2.1 數據額選取

本文選取了中國股市中具有代表性的股票上證指數，選取的是2010年1月4日到2011年12月30日的日收盤價數據共489條。樣本容量大使得模型的擬合效果更好，得出的結論也更具說服力。選取前400個數據進行模型的建立，然后對樣本外的89個數據進行樣本外預測。本文的數據處理與分析選用的軟件是Eviews5.0和ExceL2007。數據分析

2.2.1HP濾波對數據的分解

在HP濾波中，取λ=100。將原始時間序列數據分解成趨勢項序列和周期項序列，得到的分解結果如下圖1所示。

圖1 HP濾波分解圖

從圖1中可以看出，HP濾波分解出具有較平滑趨勢的紅色曲線數據Trend和具有波動規律的綠色曲線數據Cycle，紅色曲線數據即為趨勢要素序列T，綠色曲線數據為周期性序列數據Y。然后，分別用自回歸模型和GARCH模型對分解出的數據進行擬合和預測。

2.2.2 自回歸模型的擬合和預測

運用自回歸模型對趨勢要素序列T進行模擬和預測。通過可判系數最大和AIC、SC準則最小原則來確定模型的階數，經過多次擬合確定為4階，其R-squared=0.9999，因此其擬合效果是很好的。

自回歸模型中參數為：

表1 模型參數

因此模型的表達式為：

在模型的基礎上采用靜態預測法對樣本外的89個數據進行預測，預測效果如圖2所示：

圖2 趨勢元素樣本外預測

如圖2所示，其中紅色曲線為部分原始趨勢序列T，藍色曲線為部分趨勢元素預測序列Tf，由此得到自回歸模型未預測的帶有周期的隨機波動序列Y0=S-Tf，然后利用GARCH模型對Y0進行擬合和預測。

2.2.3 GARCH模型的擬合和預測

(1)基本描述統計量。

表2 基本描述統計量

由表2可知，股票的周期性序列表現出負偏度,因而拒絕原序列服從均值為0的正態分布的原假設；同時表現出很高的過度峰度(峰度＞3時成為過度峰度)，Jarque-Bera正態檢驗檢驗量也拒絕正態分布的原假設，股票周期性序列存在明顯的波動聚集和尖峰、厚尾現象，傳統的基于正態分布假設的靜態模型不足以捕捉序列的這一特性。因此，我們選擇基于GARCH模型來對其進行擬合。

(2)平穩性檢驗。

表3 周期性序列的ADF檢驗

表3中，P=0.0000，拒絕原假設，即周期性序列不存在一個單位根，即認為周期性序列是平穩的。下面對周期性序列的自相關性進行檢驗。

(3)周期性序列的自相關性檢驗。

圖3 周期性序列的自相關性檢驗

如圖3所示，根據周期性序列Y0的自相關函數(ACF)和偏自相關函數(PACF)值以及P統計量的值可知，Y0存在著明顯的自相關性。

周期性序列Y0為平穩序列但是存在自相關，所以方程為均值回歸方程。因此我們可以把Y0的生成過程設為如下均值方程的形式：

因此我們需要根據AIC、SC準則最小原則進行多次嘗試來確定模型的階數q值。

(4)異方差性檢驗。

圖4 周期性序列Y0的直線圖

通過圖4對周期性序列Y0的直線圖進行觀察可以看出，Y0存在著明顯的“集群效應”，即一次大的波動后面伴隨著大的波動，一次小的波動后面伴隨著小的波動，即認為序列Y0存在著異方差。

(5)GARCH模型的擬合與預測。

通過上邊的分析我們知道周期性序列Y0存在著自相關性，均值方程如式（1）所示的形式，通過采用EVIEWS5.0軟件根據AIC、SC準則最小原則我們確定建立了立起AR(2)-GARCH(1,1)模型。結果如下：

(6)ARCH LM效應檢驗。

表4 ARCH LM效應檢驗

該檢驗用來分析標準殘差是否存在著額外的ARCH效應。表4計算結果表明，對1階滯后、10階滯后、20階滯后的殘差進行估計，F統計量和Obs*R2統計量均不顯著，表明標準殘差不存在額外的ARCH效應,同時也再次表明方差方程的估計是準確的[6]。

在模型的基礎上我們對Y0進行擬合，在前400樣本的基礎上利用靜態預測法對其余的89個數值進行樣本外預測得到序列Y0f。

2.3 預測效果分析

將自回歸模型預測的趨勢元素序列Tf和GARCH模型預測到的數據Y0f進行重組，得到原始序列S樣本外89個數據的預測序列Sf=Y0f+Tf，現將樣本外預測的89個數據的預測序列與原始序列的比較如下圖5所示。

圖5 原始值與預測值趨勢圖

在圖5中，藍色曲線是原始的股票時間序列數據S的89個樣本序列，紅色曲線SF是89個數據的預測序列。從圖中我們可以看出，該模型的預測效果，預測值的趨勢與原始數值的趨勢趨于相同，因此我們認為該模型對于股票價格趨勢的預測能夠提供幫助。

3 結論

由于影響股票價格的因素是及其復雜，因此很難建立一個很精確地模型對股票價格進行預測。本文中通過HP濾波法將復雜多變的股票數據進行分解，分解為趨勢元素數據和具有波動性的序列數據，對不同性質的數據并分別采用自回歸和GARCH模型對數據進行擬合回歸，在擬合較好的基礎上對上證指數股票的價格趨勢進行預測。實例結果表明，預測數據的趨勢與原始數據區域相同，因此基于HP濾波的GARCH模型對于預測股票價格的趨勢效果很好，在實際中應用具有一定的參考價值。本文對股票價格趨勢進行的分析預測只是一種嘗試,更多的是一種思路和方法方面的探索，希望可為金融產品的趨勢研究提供幫助。

[1]龔攀峰.基于HP濾波失業率失衡和經濟增長失衡的內在機制分析[J].統計教育，2009,(10).

[2]張連城，韓蓓.中國潛在經濟增長率分析[J].經濟與管理研究,2009,(3).

[3]彭兆祺，孫超.基于HP濾波分析方法的我國經濟增長研究[J].山西財經大學學報,2011,33(1).

[4]劉國旗.非線性GARCH模型在中國股市波動預測中的應用研究[J].統計研究,2000,(1).

[5]Chris Brooks,Simon P.B.Forecasting Exchange Rate Volatility Using Conditional Variance Models Selected by Information Criteria[J].Eco?nomics Letters,1998,(61).

[6]惠曉峰等.基于時間序列GARCH模型的人民幣匯率預測[J].金融研究,2003,(5).

[7]羅艷.用GARCH模型預測滬深300消費指數的變化趨勢[J].科技向導,2011,(15).

[8]陳志民，陳恩愛，楊乃如.非線性GARCH模型在人民幣匯率預測中的應用[J].宜春學院學報(自然科學),2007,29(2).

[9]張曉峒.Eviews使用指南與案例[M].北京：機械工業出版社，2007.