幾何分布冷貯備產品的統計分析

徐曉嶺，王蓉華，應晶晶，顧蓓青

(1.上海對外貿易學院商務信息學院，上海 201620；2.上海師范大學數理學院，上海 200234)

1 幾何分布冷貯備系統產品簡介

設冷貯備系統產品由2個單元組成，產品在初始時刻，一個單元開始工作，另一個單元作冷貯備。當第一個單元失效時，貯備單元去替換，直到貯備單元失效時，產品就失效。所謂冷貯備是指貯備單元不失效也不劣化，貯備期的長短對以后使用時的工作壽命沒有影響。此系統可以用圖1來表示。

圖1 冷貯備系統產品示意圖

在工程上，許多單元的壽命分布可用離散型分布來描述，譬如一些開關、插件以及以成功次數作為評價使用壽命的單元等，其壽命就可以用離散壽命分布中的幾何分布來描述。由于幾何分布無記憶性，使得它是離散壽命分布類中最為重要的，幾何分布已廣泛應用于信息工程、電子工程、控制論以及經濟學等領域。

設離散型隨機變量X服從參數為1-q的幾何分布，X～G(1-q)，即X的概率分布為：

其中0＜q＜1,p=1-q

2 幾何分布冷貯備系統產品壽命分布及數字特征

設冷貯備系統產品由兩個單元構成，假定產品的兩個單元的壽命Y1,Y2同服從參數為q1的幾何分布，Yi～G(1-q1)，i=1,2，開關壽命Yk服從參數為q2的幾何分布，Yk～G(1-q2)，且Y1,Y2,Yk相互獨立。

在初始時刻單元1進入工作狀態，單元2工作冷貯備，當單元1失效時，需要使用轉換開關，若此時開關已經失效則產品失效。即產品的壽命就是單元1的壽命Y1；當單元1失效時，若轉換開關正常則單元2替換單元1進入狀態，直到單元2失效，產品就失效，此時產品的壽命是Y1+Y2，于是，產品的壽命X為：

對k≥1，X的分布律為：

對k≥1，X的可靠度函數為：

進而，X的均值、二階矩及方差分別為：

特別地，當q1=q2=q時，

3 幾何分布冷貯備系統產品的統計分析

3.1 參數的矩估計

設X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個簡單隨機樣本，其樣本觀察值記為：x1,x2,…,xn.由矩估計思想可列如下方程：

從中可解得參數的矩估計。

化簡可得方程：

從中可解得參數q的矩估計

3.2 參數的極大似然估計

特別地，當q1=q2=q時，

從中可解得參數的極大似然估計q?。

考察上述方程在q∈(0,1)上解的情況：給定q的真值為0.8，樣本容量為20，通過Monte-Carlo模擬產生一組樣本，從而給出函數f(q)的圖像如下：

圖2 函數f(q)的圖像

3.3 參數估計的模擬比較

為比較上述點估計的優劣，采用Monte-Carlo模擬的方法。先固定樣本容量n=10(10)40，給定參數p的真值，q1=q2=0.5(0.1)0.9，通過Monte-Carlo模擬產生樣本容量為n的一個隨機樣本，在全樣本情況下參數的矩估計和極大似然估計，如此重復1000次計算點估計的均值和均方差，模擬結果列于表1，從中可以看出：（1）對固定的q，q的矩估計和極大似然估計的均方差隨n的增大而減??；（2）比較矩估計和極大似然估計的均方差，可得隨樣本容量的增大，極大似然估計較矩估計相對較小，均值也比較接近真值。因此可以認為：極大似然估計優于矩估計。

表1 矩估計和極大似然估計的模擬結果

例1：取參數真值為q=0.8，樣本容量為n=30，通過Monte-Carlo模擬產生30個隨機數如下：9，1，8，7，3，7，7，3，10，3，10，5，1，1，5，10，4，39，6，10，17，4，13，2，10，9，8，11，6，9，利用本文方法可得參數q的矩估計為：q?1=0.8173；極大似然估計為：=0.8162.

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