可回售可贖回可轉換債券的定價分析

蔣致遠，張順明 ，李江峰

（1.廈門大學 經濟學院，福建 廈門 361005；2.中國人民大學 財經學院，北京 100083；3.桂林電子科技大學 統計系，廣西 桂林 541004）

0 引言

債券中經常會包含一種或數種內嵌期權（Embedded Options），當債券中包含的期權和債券無法分割時，稱為“內嵌期權”。可提前贖回債券（Callable Bonds）就是屬于這種類型，這種債券允許發行人根據一組預先設定的贖回價格（Callable Price）來贖回債券，即內嵌了一個贖回權。可回售債券（Putable Bonds）也是如此，這種債券允許投資者根據一組預先設定的回售價格（Putable Price）把債券回售給發行人。

本文對付息的可回售可贖回可轉換債券進行定價分析。利用對沖的方法建立其定價模型，并利用反應擴散方程導出其定價解析式。然后在此基礎上，本文得到了另外兩種常見的債券——零息的可回售可贖回可轉換債券以及付息的可贖回可轉換債券定價模型及其解析式。最后，本文對付息的可回售可贖回可轉換債券的理論價值關于各參數進行了彈性分析。

1 可回售可贖回可轉換債券分析

1.1 標準的可回售可贖回可轉換債券分析

在實際的轉債市場中，有多種多樣的轉債，本文選擇較為復雜的可回售可贖回可轉換的債券為研究對象，鑒于不同具體的條款對價值組成分析不一樣，本文采用比較標準的條款，具體為：（D1）回售條款：在其存續期內，只有當標的股價下跌到預先設定的回售觸發價格以下時，債券持有者才有權按照預先約定的回售價格執行回售權，回售價格恒定。（D2）贖回條款：在其存續期內，只有當標的股價上漲到預先設定的贖回觸發價格以上時，債券發行者才有權按照預先約定的贖回價格執行贖回權，贖回價格恒定，無贖回通知期。（D3）轉換條款：在其存續期內，持有者有權在任意時刻按照預先設定的轉換價格執行轉換權，轉換價格恒定。（D4）債息條款：①發行者需要定期向持有者按票面利率支付利息；②若持有者執行轉換權，那么他將不再獲得當時的累計債息（螺絲條款Screw Clause）。（D5）沒有鎖定、重置條款以及其他非標準化條款。

1.2 可回售可贖回可轉換債券投資分析

可贖回債券給予發行人以事先規定的價格提前買回債券的權力，這種情況一般出現在利率下降、債券價格上升的時候。由此可知，發行人持有的贖回權是一個在標的價格上升的時候購買標的資產的權力，所以它是一個看漲期權。在發行人持有贖回權的情況下，會限制投資者因為債券價格上漲而獲得的利潤。在可贖回債券與對應的普通債券之間，存在一種重要的關系。所謂“對應”是指除了贖回條款之外，兩種債券的其他性質完全相同。即發行人持有期權的多頭，投資者持有期權的空頭。可回售債券則給予投資人以事先規定的價格將債券提前賣還給發行人的權力，這種情況一般出現在利率上升、債券價格下降的時候。由此可知，投資者持有的回售權是一個在標的價格下跌的時候出售標的資產的權力，所以它是一個看跌期權。在存在回售條款的情況下，投資者人有權根據設定的價格出售債券，這將限制投資者因為利率上升而遭受的損失。此時在可回售債券與對應的普通債券之間，也存在一種重要的關系。即發行人持有期權的空頭，投資者持有期權的多頭。

由于可轉債的債和權益的雙重性。對于投資者而言，首先通常債券支付的當期利率一般高于股票的紅利率，因此與普通股相比有更高的收益；其次由于存在債券的特性，可轉換債券持有者的權益會明顯高于普通股的投資者，在股價下降到回售觸發價時，可以回售來保護投資者，即使在破產時，持有者的本金也會優先得到支付，因而此類可轉換債券在享受企業業績成長帶來的收益是的同時還提供了經濟形勢不好時的利益保護。對于發行公司而言，可轉換債券除了能以較普通債券較低的利率融資外，在二級市場和企業狀況不佳時，可以避免大量轉股造成的公司每股業績的稀疏，進而引發的二級市場股票價格的大幅下跌，而利率在股票價格上揚觸發贖回機制時，可以贖回轉債，保護公司利益。在上述假設基礎上，參照Ingersoll(1997)，根據無套利機會原則可知，投資者最優策略為：在到期之前的每一個時刻點，不會主動執行轉換權，除非發行者宣告執行贖回權或到期時轉換價值大于債券的剩余價值，而當標的股票下跌到觸發回售價時，投資立刻回售；對于發行者而言，在剩余存續期內只要標的股票價格上漲到贖回觸發價，發行者立刻宣告執行贖回權。另外值得注意的是由于轉債的權益性，其票面利率一般要低于相應的普通債券的票面利率。

2 付息的可回售可贖回可轉換債券定價分析

2.1 理論假設

考察一份上述可回售可贖回可轉換債券。以M,K1,K2,K3,P1,P2,T,r,rf,St分別表示其面值、回售觸發價格、贖回觸發價格、轉換價格、回售價、贖回價、剩余期限、票面利率、無風險利率和t時期標的股票的價格，顯然有關系式：K1＜K2＜K3，P1＜P2。為簡潔起見，不妨令M=1，當前時刻為零時刻，并以S0,ST表示標的在當前和到期時刻的價格。V(S,t,r),B(S,t,r)分別表示可回售可贖回可轉換債券和對應的普通債券的當前理論價值。

基本假設：

（A1）資本市場市場無摩擦；存在連續無風險利率rf，期限結構是水平的不存在無風險套利機會股價服從幾何布朗運動：

其中Wt表示定義在完備概率空間的標準的布朗運動，μ,σ分別表示瞬時期望收益率和瞬時波動率。

由于本文將涉及到Black-Sholes期權模型框架，定價模型基于單因子無套利模型，在利率取值合理范圍內，與多因子模型定價差異很小，也可以吻合本文無風險利率期限結構是水平的假設。

（A2）發行者和持有者都是理性的，而且總是偏好更多的財富；同時都具有對稱市場理性，也即都能理性的預期到對方的最優決策。

（A3）潛在的稀疏效應（dilution effect）已經反映到當前的標的股價之中；也即當持有者執行轉換權，不會導致標的股價出現驟然下跌。

2.2 建立模型

為定價分析方便，用V表示該債券的內在價值，構造投資組合Π：購買一份可回售可贖回可轉換債券，同時賣出Δ份標的股票。那么：

并適當選取Δ，使得投資組合Π在時間段(t,t+dt)是無風險的，投資組合Π的回報率為：

進而有：

dVt=[rf(Vt-ΔSt)+μΔSt]dt+σΔStdWt另一方面，由Ito公式可得：

結合上述兩式，在風險中性世界可得dWt前面的系數必須為零，從而從而可得可轉換債券的價值V滿足的擴散方程為

由于可轉債的價值有強烈的路徑依賴性，那么針對各個條款所對應的是方程的邊界條件：

（1）當在 (0,T)任意時刻t(tn≤t＜tn+1)，n=0,1,2,…,N,tN=T,t0=0，標的股價上漲到贖回觸發價K3時（其中tn為第n個利息支付日），發行者將立即宣布贖回，從而導致投資者行使轉換權并套現，于是得邊界條件：

（2）當在 (0,T)任意時刻t(tn≤t＜tn+1)，標的股價下跌到觸發價K1時，投資者立即回售，于是得到邊界條件：

（3）到期日t=T，當可轉債的轉換價值大于債券的剩余價值時投資者就轉換，否則不轉換，于是得到邊界條件：

其中K*3=K2(1+r)，于是可回售可贖回可轉換債券的價值應滿足反應擴散方程定解模型：

2.3 模型求解

對方程（2）作變量代換x=ln(S/K1),u=K1V，再作函數變換u=eαx+β(T-t)w，其中，在此變換下，可得到w適合的定解問題：

這是一個混合熱傳導方程，為便于求解，需要先將邊值化為零，為此令其中，于是通過對初始條件和f(x,t)作奇延拓，方程（3）的解為：

再把上述的變換都替代回來，可得：

其中

定理1若標的股票服從幾何布朗運動，在債券上述條款下，則付息可回售可贖回可轉換債券在當前0時刻的理論價值為(4)式。

3 付息的可回售可贖回可轉換債券定價模型衍化

3.1 零息的可回售可贖回可轉換債券定價分析

如果可轉債是零息債券，只要修改模型中的初邊值條件。

（1）當在(0,T)任意時刻標的股價上漲到贖回觸發價K3時,發行者立即宣布贖回，從而導致投資者行使轉換權并套現，于是得邊條件：

（2）當在(0,T)任意時刻標的股價下跌到觸發價K1時，投資者立即回售，邊界條件：

V(K1,t)=p1

中國石油和化學工業聯合會副秘書長龐廣廉在會上作了題為貿易摩擦下的石化行業國際產能合作及國際合作創新的演講，約30家出口基地成員出席授牌儀式和培訓。

（3）到期日t=T，當轉債的轉換價值大于債券的剩余價值時投資者就轉換，否則不轉換，于是得到邊界條件：

從而滿足的系統為：

于是可求出其解為：

其中

推論1若標的股票服從幾何布朗運動，在債券上述條款下，零息可贖回可回售轉債的理論價值為（6）式。

3.2 付息的可贖回可轉換債券定價分析

若上述轉債沒有可回售條款的付息債券，那么沿用前面的記法和分析，可以導出付息可贖回可轉換債券的定價模型為：

類似的方法可以得到轉債的理論價值的解析式：

其中

定理2若標的股票服從幾何布朗運動，在債券上述條款下，付息可贖回可轉換債券在當前時刻0的理論價值為（7）式。

4 彈性系數分析

值得注意的是，付息可回售可贖回的轉債的理論價值關于參數理論價值對各參數的偏導數的符號為：

從經濟意義上說明：轉債券的理論價值在其他條件不變的情況下，轉換率越高其理論價值越高，從而定價越高；而同時對贖回觸發機制而言，贖回觸發價越高，轉債的理論價值越高；對于標的股價而言在其他條件一樣時，當前股價越低，轉債的理論價值越高，這就有異于普通債券和普通股票的理論定價分析了；對于轉債的票面利率來說，票面利率越高，轉債的理論價值越高；無風險利率越高，轉債的價值越低；而回售價越低，轉債的價值越低；轉債關于標的股票的年波動率的變化趨勢關系不明晰，或者說不一定。

對于付息可贖回轉債而言，

從經濟意義上說明：付息可贖回可轉換債券的理論價值在其他條件不變的情況下，轉換率越高其理論價值越高，從而定價越高；而同時對贖回觸發機制而言，贖回觸發價越高，轉債的理論價值越高；對于標的股價而言在其他條件一樣時，當前股價越低，轉債的理論價值越高，這就有異于普通債券和普通股票的理論定價分析了；對于轉債的票面利率來說，票面利率越高，轉債的理論價值越高；無風險利率越高，轉債的價值越低；轉債關于標的股票的年波動率的變化趨勢關系不明晰，或者說不一定。

由前述的最優策略分析發現，在贖回價處于合理的范圍之內，不會對轉債有影響，因為在贖回觸發時，投資者就會行權轉換，從理性的角度來說，債券不可能把贖回價設置為對投資者而言贖回價值高于轉換價值之處。

5 結論

本文利用對沖的方法對付息的可回售可贖回可轉債券進行了定價分析。首先，對付息的可回售可贖回可轉債券的進行投資分析；然后，在合理理論假設的基礎上，本文建立了付息的可回售可贖回可轉債券的理論模型，并求解得到其解析式；在此基礎上，本文根據類似的方法，對另外兩種常見的可轉債——零息的可回售可贖回可轉換債券和付息的可贖回可轉換債券進行了定價分析；最后，本文對付息的可回售可贖回可轉換債券的理論價值關于各參數進行了彈性分析。分析結果表明：可回售可贖回的轉債可以拆解為普通轉債、以贖回價為執行價格的上升敲入看漲期權和以回售價為執行價格的下降敲入看跌期權的組合；而付息可贖回轉債可拆解為普通轉債和以贖回價為執行價格的上升敲入看漲期權的組合。

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