試卷講評的一種嘗試

劉鑫

摘 要：數學試卷講評課是高中數學學習過程中的重要課型，對于高三更是常規課。那么，一份試卷在一兩節課上如何收到最好的效益？多數教師都側重于教師的“講”與“評”，而忽視學生的“感”與“悟”，收效甚微。有一種現象足以說明問題“一些考過、講過、訂正過的試題，下次遇到還會錯。”原因何在？學生是考試真正的參與者和體驗者，試卷講評應從“教師的積極講評”轉移到“學生的主動參與上”，應以學生為主體，教師為引導。

關鍵詞：試卷講評；學生感悟；效果

想方設法把試卷中的問題巧妙地擺出來，讓學生通過獨立的思考與討論、彼此的交流與合作從而獲得真正的理解。這樣印象才更深刻，記憶更久遠，收益更全面，效果遠勝于教師獨自講評的千言萬語。下面筆者談談關于試卷講評的一點嘗試。

一、展示錯誤，尋求錯因

糾錯是試卷講評的重要板塊，每個教師都很重視，筆者認為教師不能僅僅講評正確答案的由來，津津樂道，有條有理，學生積極配合，看似聽懂，實質還是不會。原因是學生跟著教師的思路聽而自己根本沒有獨立思考，也沒有發現自己錯在什么地方，所以遇到類似的問題還會重犯。我們應尋求學生錯誤的源頭，采用恰當的方法讓學生充分暴露自己的錯誤，進而讓他們在相互之間的思維碰撞與互相交流中自然釋疑糾錯、糾偏，歸真歸正。

案例 已知函數f（x）2x+1，x≥0

1，x<0則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的取值范圍。（ ）

本題是模擬試卷中的一道題，錯誤率很高。有部分同學出現

“0≤x< -1”的錯誤答案，原因何在？怎樣才能發現學生錯誤的根源，并使其認識自己的錯因呢？我叫了幾位成績較好的同學回答解題的過程。

學生1：先畫出函數草圖，由圖知當x≥0時，f（x）單調遞增，所以要使f（1-x2）>f（2x）成立，必須1-x2>2x≥0解得0≤x< -1。

學生2：分段討論，當x≥0時，1-x2>2x≥0解得0≤x< -1；當x<0時，f（x）=1，則f（1-x2）>f（2x）不成立。綜上得0≤x< -1。

看到了兩個同學用不同的方法得出相同答案，很多答案相同的同學喜笑顏開，但是教室里出現更多的是不敢茍同的聲音，課堂氣氛立刻熱烈起來，在大家的共同討論下，終于找到了癥結所在。原來學生1忽略了2x還可以小于零的情況；而學生2只按照分段函數的兩段討論，忽視了兩個數分別位居不同兩段的情況，還可以由1-x2≥0

2x<0同時發現，本題雖是“分段函數”但無需討論求解，直接由1-x2>0

1-x2>2x得出正確答案-1

看來，通過展示錯誤的方式，全體學生共同參與，互動交流，通力合作，尋根究底，糾偏歸正，這樣得出的結果學生還會忘嗎？這是教師獨自講評無法比擬的，其收獲的不僅僅是知識，更培養了自我探究、合作交流的學習精神。

二、優化解法，加快速度

糾錯是首選之舉，那么對于試卷中的對題就置之不理嗎？他們就對的那么一致嗎？特別是對于選擇題和填空題，我們能否做到在單位時間內達到“對而快，快而準”嗎？

案例1 集合x/ <0B={x/x>1}則A∩B=（ ）

A.{x/-13}

C.{x/-2} D.{x/1

有關集合內容的小題在各種考試中排在第一或第二題的位置，屬于容易題，正確率幾乎每次都是100%，幾乎沒講過，但一次考試中偶然發現，學生大多這樣解：

解法1：由 <0得-2

上述解法中規中矩，無可挑剔。

試卷講評時，筆者問這道題的考點是什么。

學生說是分式不等式的解法和集合的運算兩個考點，其他學生也不否認。

能不能有其他更好的方法？20秒能否做出來？

另一名學生立即明白了，得出解法2。

解法2：因為A∩B是B的子集，所以A∩B的范圍比B的范圍小，所以選D。

案例2 已知α，β均為銳角，cos（α+β）=sin（α-β），則tanα=（ ）。

一個學生是這樣解的

解：由cos（α+β）=sin（α-β）得cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosα sinβ；

整理得cosα（cosβ+sinβ）=sinα（sinα+cosβ）。

由α，β，均為銳角，所以sinβ+cosβ≠0，因此cosα+sinαtanα=1。

學生的解答的確是天衣無縫，滴水不漏，其“誓將運算進行到底“的堅毅精神，令人贊嘆不已！但似乎有些小題大做。這時傳來了抗議之聲：

另一名學生這樣解：

因為cos（ -α）=sinα，只要滿足x+x′=2Kπ+ ，就有cosx=sinx′又α，β為銳角，所以只需（α+β）+（α-β）= 即可，故α= ，

tanα=1。

看來，我們在做題時，特別是選擇填空題我們要的不僅是正確答案，也要的是速度。要學會“先思題，再做題”，要學會“少點算，多點想”。不該算的就不算，該算的也要學會巧算，簡算，估算。為高考中的解答題贏取更多的時間。

有了這樣的認識，發現同學們長進了不少。

三、發散提升，還原本質

人常說“萬變不離其宗”那么對于數學解題也是一樣，我們只要認清它的“本真面目”，那么數學解題就會輕松自如，自然而然了。

案例 2011年高考數學浙江卷文科16題：若x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是（ ）。

本題的考點是均值不等式和學生的靈活應用能力。相應的解析為由x2+y2+xy=1得（x+y）2=1+xy，（x+y）2=1+xy≤1+ ；

解得- ≤x+y≤ ；

所以x+y的最大值是 。

本題是一道填空題，多數人認為這樣的解法就夠了，我們不妨嘗試用其他方法來解，會發現有異曲同工之妙，下面來借鑒

一下。

解法2：設x+y=t將其代入y=t-x中，得x2+y2+xy=1，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；因為關于x的方程有實數解，故Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；

解得- ≤x+y≤ ；

所以x+y的最大值是 。

解法3：設x+y=t，則y=t-x，將其代入x2+y2+xy=1中，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；

用“直線與橢圓相切的條件”有Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；

解得t=± ；

所以x+y的最大值是 。

解法3：由x，y滿足x2+y2+xy=1知，x，y即可同號，又可異號，因為求x+y的最大值，故x，y同正，此時，想到余弦定理有x2+y2-2xycos120°=1構造三角形，再由正弦定理得 = = ；

從而x+y= sinα+ sin（60°-α）= sin（α+60°）；

當α=30°時，x+y的最大值是 。

解法4：令x+y=t，則y=t-x原問題化為：已知3a2+b2=1，求2a的最大值.

由3a2+b2=1得3a2=1-b2<1，即a2≤ ，所以a≤ ；

因此2a的最大值為 。

當然此題還可用柯西不等式，向量等方法，不再一一作介紹。

在平時的試卷講評中，教師往往不做這樣的引導與闡述，總是講這種方法，那種套路，還有何種技巧。如果試卷講評時，教師切合試題經常性的給學生還原試題的真面目，一題多解，用不同的解題方法，拓寬學生視野，并認識各種方法優略，那么數學解題就是一種全面的思維升華，一種美好享受的過程。

試卷講評是一種藝術，我們只是行走在探索追求的路上。“展示錯誤，尋求錯因”“優化解法，加快速度”“發散提升，還原本質”只是筆者自己對試卷講評的一種嘗試，望盡我的一些微薄之力，能給這藝術之路增添一點光彩。

（作者單位 陜西省興平市教育局）