五元函數(shù)全微分求積

張勇軍

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海口 570228)

全微分是多元函數(shù)微分學(xué)中的一個(gè)非常重要的概念，它反映了多元函數(shù)值的增量、各自變量的增量以及偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)多元函數(shù)的全微分，在一定條件下可以求得滿足一定關(guān)系的函數(shù)解析式，從而得出各變量之間的關(guān)系，這對(duì)于求解全微分方程所建立的數(shù)學(xué)模型是一種行之有效的方法。文獻(xiàn)［1－5］中已給出二、三、四元函數(shù)全微分求積的概念、定義、條件、定理和方法;文獻(xiàn)［6－12］中分別對(duì)二、三、四元函數(shù)的全微分求積問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的演繹、推理、歸納、總結(jié)，并給出了關(guān)于二、三、四元函數(shù)全微分求積的幾種具體方法。本文在二、三、四元函數(shù)全微分求積問(wèn)題的基礎(chǔ)上，對(duì)五元函數(shù)的全微分求積問(wèn)題進(jìn)行研究。

1 五元函數(shù)全微分求積

1.1 五維空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義

定義 1 設(shè) G 是一個(gè)五維空間區(qū)域:P(x，y，z，h，l)，Q(x，y，z，h，l)，R(x，y，z，h，l)，H(x，y，z，h，l)、L(x，y，z，h，l)。對(duì)于在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，滿足下列條件之一都成立:

① 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的2點(diǎn)A，B以及G內(nèi)從A到B的任意2條曲線Γ1、Γ2，則等式

成立。

②如果沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分(C在G內(nèi))有

成立，則稱空間曲線積分∫ΓPdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，否則與路徑有關(guān)。

1.2 定理及證明

定理 1 設(shè)空間區(qū)域 G 是一個(gè)五維單連通域，函數(shù) P(x，y，z，h，l)，Q(x，y，z，h，l)，R(x，y，z，h，l)，H(x，y，z，h，l)和 L(x，y，z，h，l)在區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則下面的 4 個(gè)命題等價(jià):

①對(duì)于G內(nèi)的任意一條光滑(或者分段光滑)閉曲線C，滿足

② 曲線積分∫ΓPdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl與路徑無(wú)關(guān);

③ 存在 G 上的可微函數(shù) U(x，y，z，h，l)，使得 dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl，即 Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl為 U(x，y，z，h，l)的全微分;

證明 ①?②

設(shè)A，B為G內(nèi)任意2點(diǎn)，Γ1和Γ2是G中從A到B的任意2條路徑，則C=Γ1+(－Γ2)就是G中的一條封閉曲線。因此

于是有

即曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。

證明 ②?③

取一定點(diǎn)(x0，y0，z0，h0，l0)∈G，作函數(shù)

這里，沿從(x0，y0，z0，h0，l0)到(x，y，z，h，l)的任意路徑積分。由于曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，因此 U(x，y，z，h，l)有確定意義。根據(jù)積分中值定理有

其中0＜θ＜1。因此有

同理有

因此，在G內(nèi)dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl成立。

證明 ③?④

因存在G上的可微函數(shù)U，使得dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl，那么

又由于函數(shù) P(x，y，z，h，l)、Q(x，y，z，h，l)、R(x，y，z，h，l)、H(x，y，z，h，l)和 L(x，y，z，h，l)在 G 內(nèi)具有 1 階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，那么

證明 ④?①

對(duì)于包含在G內(nèi)的光滑(或分段光滑)閉合曲線Γ，設(shè)它所包圍的區(qū)域?yàn)椤獶。根據(jù)在R5中的Stokes公式得:

2 定理1成立下的五元函數(shù)解求法

2.1 空間曲線積分解求法

當(dāng)定理1成立時(shí)，此函數(shù)(不計(jì)常數(shù)之差)可用下式求出

或用定積分表示為

其中 M0(x0，y0，z0，h0，l0)為 G 內(nèi)某一定點(diǎn)，M(x，y，z，h，l)∈G。

2.2 不定積分原函數(shù)法

將式(1)～(4)聯(lián)立方程組，可得:

又設(shè)

將式(9)分別代入式(6)～(8)，化簡(jiǎn)可得:

再設(shè)

將式(13)分別代入式(11)、(12)，化簡(jiǎn)得:

聯(lián)立式(14)、(15)解出 φ3(h，l)，然后依次回代解出 φ2(z，h，l)，從而得出 φ1(y，z，h，l)，進(jìn)而得出 U(x，y，z，h，l)。

2.3 全微分方程的分部微分法

2.3.1 湊微分法(分項(xiàng)組合法)

因dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl，若存在有限個(gè)函數(shù)Ui(i=1，2，…，n)屬于dU=dU1+dU2+…+dUn時(shí)，則必有

其中 Pi、Qi、Ri、Hi、Li，i=1，2，…，n 為函數(shù)。

2.3.2 拆微分法(拆項(xiàng)微分法)

將等式dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl右邊的各微分式拆開分別積分，劃去相同項(xiàng)(相同項(xiàng)只取1項(xiàng))即可。

3 結(jié)束語(yǔ)

推導(dǎo)了五元函數(shù)全微分求積的4種不同方法，這些方法對(duì)于一般題目的求解都可行。實(shí)際解答時(shí)，可根據(jù)題目具體特點(diǎn)來(lái)選擇較為簡(jiǎn)潔的方法進(jìn)行求解。

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):下冊(cè)［M］.6版.北京:高等教育出版社，2007.

［2］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):下冊(cè)［M］.5版.北京:高等教育出版社，2002.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:下冊(cè)［M］.2版.北京:高等教育出版社，1991.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:下冊(cè)［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001.

［5］陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析:下冊(cè)［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［6］張勇軍.基于四元函數(shù)全微分求積研究［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，29(4):309－312.

［7］張勇軍，智霞.基于三元函數(shù)全微分求積研究［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，28(4):294－297.

［8］張勇軍.二元函數(shù)的全微分求積［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010(5):111－114.

［9］劉浩榮.關(guān)于二元函數(shù)全微分求積中積分路徑的選取問(wèn)題［J］.高等數(shù)學(xué)研究，1997(1):18－19.

［10］馮錄祥，閻恩讓.二元函數(shù)求積的一個(gè)簡(jiǎn)單方法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2009，12(2):48－50.

［11］資治科.全微分方程不定積分解法及其證明［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2002(2):20－21.

［12］吳緒權(quán).二元函數(shù)的全微分求積問(wèn)題［J］.大眾科學(xué)，2007(4):25.