基于指數(shù)標(biāo)度的G1法及其應(yīng)用

常艷梅，陳義華

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

層次分析法作為一種定性與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法，在運(yùn)營(yíng)管理評(píng)價(jià)、廠址選擇、技術(shù)評(píng)價(jià)、資源分析、交通運(yùn)輸、安全評(píng)價(jià)等方面得到了廣泛的應(yīng)用［1－2］。在用層次分析法確定評(píng)價(jià)指標(biāo)體系權(quán)重時(shí)，特征值法是最常用的方法之一，但由于在實(shí)際應(yīng)用中判斷矩陣的一致性難以滿足，所以判斷矩陣一致性的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)C.R.＜0.1的科學(xué)性有待考證。心理學(xué)實(shí)驗(yàn)表明:當(dāng)被比較的元素個(gè)數(shù)超過(guò)9時(shí)判斷就不再準(zhǔn)確，且當(dāng)指標(biāo)較多時(shí)，計(jì)算量很大?；谏鲜鲈?，文獻(xiàn)［3］提出了一種無(wú)需一致性檢驗(yàn)的方法——G1法。由于指數(shù)標(biāo)度具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，因此其得到人們的認(rèn)可和廣泛應(yīng)用。筆者將指數(shù)標(biāo)度用于G1法，為指標(biāo)相對(duì)重要性程度的比較判斷提供賦值參考。應(yīng)用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法確定了城市消防安全評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中指標(biāo)的權(quán)重。

1 G1法及其步驟

G1法是東北大學(xué)的郭亞軍教授通過(guò)對(duì)特征值法的改進(jìn)提出的一種無(wú)需一致性檢驗(yàn)的方法。該方法不用構(gòu)造判斷矩陣，計(jì)算量相比層次分析法明顯減少，且對(duì)同一層次中的元素個(gè)數(shù)沒(méi)有限制，具有簡(jiǎn)便、直觀、便于使用的特點(diǎn)。G1法分為以下3 個(gè)步驟［3］:

1.1 確定序關(guān)系

定義1 若評(píng)價(jià)指標(biāo)xi相對(duì)于某評(píng)價(jià)準(zhǔn)則(或目標(biāo))的重要性程度大于(或不小于)xj時(shí)，則記 xi?xj。

定義2 若評(píng)價(jià)指標(biāo)x1，x2，…，xm相對(duì)于某評(píng)價(jià)準(zhǔn)則(或目標(biāo))具有關(guān)系式

時(shí)，則稱評(píng)價(jià)指標(biāo)x1，x2，…，xm間按“?”確立了序關(guān)系。這里表示 x1，x2，…，xm按序關(guān)系“?”排定順序后的第 i個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)(i=1，2，…，m)。為書(shū)寫(xiě)方便且不失一般性，以下仍記式(1)為

對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)集 {x1，x2，…，xm}建立序關(guān)系的步驟見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。

1.2 給出 xk－1與 xk間相對(duì)重要性程度的比較判斷

設(shè)專家對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)xk－1與xk的重要性程度之比 ωk－1/ωk的理性判斷分別為

當(dāng)m較大時(shí)，由序關(guān)系式(2)可取rm=1。rk的賦值可參考表1。

表1 rk賦值

關(guān)于rk之間的數(shù)量約束，有下面的定理:

定理1 若x1，x2，…，xm具有序關(guān)系式(2)，則 rk－1與 rk必須滿足

1.3 權(quán)重系數(shù)ωk的計(jì)算

定理2 若專家(或決策者)給出rk的理性賦值滿足關(guān)系式(4)，則ωm為

而

2 指數(shù)標(biāo)度

在綜合評(píng)價(jià)過(guò)程中經(jīng)常存在一些因素?zé)o法定量表示的情況，所以只能對(duì)其進(jìn)行定性分析，此時(shí)就需要借助標(biāo)度將人們的主觀感覺(jué)數(shù)量化，以實(shí)現(xiàn)對(duì)其的客觀描述。該過(guò)程是決策的基礎(chǔ)和依據(jù)，因而標(biāo)度方法的科學(xué)性至關(guān)重要［4］。

2.1 G1法中標(biāo)度的缺陷

假定對(duì)3個(gè)指標(biāo)x1、x2、x3按重要程度排序有x1?x2?x3，其中 x1比 x2稍微重要，x2比 x3稍微重要。設(shè) ω1、ω2、ω3是指標(biāo) x1、x2、x3的相對(duì)重要性程度，按表1中給出的標(biāo)度法對(duì)指標(biāo)間的相對(duì)重要性程度之比進(jìn)行賦值，有

由于指標(biāo)間的相對(duì)重要性程度之比滿足傳遞性，可得ω1/ω3=1.44。研究表明:x1比 x3重要是合理的，即正常情況下應(yīng)為ω1/ω3=1.4，相對(duì)來(lái)說(shuō)指數(shù)標(biāo)度更加符合人們的對(duì)應(yīng)習(xí)慣［5］。表1標(biāo)度中若x1比x2極端重要，其相對(duì)重要性程度之比僅為1.8，與人們通常的認(rèn)知不相符，影響指標(biāo)間重要性程度內(nèi)在關(guān)系的準(zhǔn)確表達(dá)。

2.2 指數(shù)標(biāo)度

心理學(xué)上的韋伯－費(fèi)希納定律表明:當(dāng)客觀差別等比遞增時(shí)，主觀感覺(jué)等差遞增。指數(shù)標(biāo)度就是在此基礎(chǔ)上構(gòu)造的一種“等距分級(jí)、等比賦值”的標(biāo)度方法［4］。

首先將決策者對(duì)因素xi比xj重要性程度之比的主觀感覺(jué)判斷等距地分成n等級(jí)，如同等重要、稍重要、重要、很重要、極重要等，分別以cij=0，1，2，…;i，j=1，2，…，n 表示，稱 cij為感覺(jué)判斷。依據(jù)韋伯－費(fèi)希納定律，設(shè)相鄰兩級(jí)客觀重要性比率為a，a＞1，則xi與xj客觀重要性程度之比為ωi/ωj=acij，其中 ωi、ωj分別為 xi、xj的客觀重要性程度，稱acij為xi對(duì)xj的重要性程度之比的客觀差別判斷［6］。

文獻(xiàn)［7］指出了對(duì)于關(guān)系的復(fù)合假設(shè):2個(gè)“稍重要”的復(fù)合等于“重要”;2個(gè)“重要”的復(fù)合等于“很重要”;2個(gè)“很重要”的復(fù)合等于“極重要”。這是符合人們的心理習(xí)慣的。據(jù)此構(gòu)造了一種指數(shù)標(biāo)度——標(biāo)度(可復(fù)合標(biāo)度)?；诖祟愔笖?shù)標(biāo)度的指標(biāo)間相對(duì)重要性程度之比rk的賦值可參考表2。

表2 基于指數(shù)標(biāo)度的rk的賦值

指數(shù)標(biāo)度有利于根據(jù)人們的感覺(jué)判斷對(duì)指標(biāo)間的客觀重要性程度之比進(jìn)行準(zhǔn)確揭示，其構(gòu)造方式使得標(biāo)度間的重要度滿足傳遞性，且cij允許取任何實(shí)數(shù)。由于感覺(jué)判斷的數(shù)值表示與通常人們?cè)诖_定因素間的重要性程度之比時(shí)的表示方式有所差異，為使指數(shù)標(biāo)度更加符合人們的思維習(xí)慣，在專家做出指標(biāo)間的重要性程度關(guān)系(如同等重要、稍重要、重要等)的感覺(jué)判斷后，直接根據(jù)對(duì)應(yīng)指數(shù)標(biāo)度的賦值參考得出指標(biāo)間的客觀重要性程度之比。將指數(shù)標(biāo)度用于G1法，有利于客觀、準(zhǔn)確地反映評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中各指標(biāo)的權(quán)重。

3 基于指數(shù)標(biāo)度的G1法

對(duì)于復(fù)雜的綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題，經(jīng)常需要依據(jù)層次分析法對(duì)問(wèn)題本質(zhì)及其影響因素等進(jìn)行分析，然后按照一定的規(guī)則將因素分解為目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，進(jìn)而建立一個(gè)遞階層次結(jié)構(gòu)，并選取適當(dāng)?shù)木C合評(píng)價(jià)方法對(duì)其進(jìn)行處理。用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行指標(biāo)權(quán)重計(jì)算時(shí)，首先進(jìn)行層次單排序，然后依次沿遞階層次結(jié)構(gòu)由上而下地逐層計(jì)算得到層次總排序。

3.1 層次單排序

層次單排序用于計(jì)算子系統(tǒng)中時(shí)，某層次因素相對(duì)于上一層次中某一因素的相對(duì)重要性程度為權(quán)值。用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法對(duì)某層因素進(jìn)行層次單排序的步驟如下:

1)組織專家確定待評(píng)價(jià)的指標(biāo)相對(duì)于某一評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的序關(guān)系。

2)依據(jù)指數(shù)標(biāo)度設(shè)定的重要性程度之比的賦值參考，對(duì)專家給出的序關(guān)系中相鄰兩評(píng)價(jià)指標(biāo)間的相對(duì)重要性程度的比較判斷進(jìn)行量化。為減少評(píng)價(jià)專家主觀因素的影響，提高評(píng)價(jià)結(jié)果的準(zhǔn)確度和可靠性，可同時(shí)組織多名專家分別對(duì)同一排序問(wèn)題中評(píng)價(jià)指標(biāo)的重要性程度進(jìn)行比較判斷，并借助區(qū)間賦值進(jìn)行指標(biāo)間重要程度的賦值。

假設(shè)L位專家對(duì)于評(píng)價(jià)指標(biāo) x1，x2，…，xm建立了相同的序關(guān)系，不妨設(shè)為x1?x2?…?xm，專家j對(duì)指標(biāo)xk－1與指標(biāo)xk間的相對(duì)重要性程度之比 rk的賦值記為［rkj1，rkj2］，其中 j=1，2，…，L，k=m，m －1，…，2，則

3)根據(jù)rk的值，由式(5)、(6)計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)ωk。

3.2 層次總排序

要得到最低層次的指標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)的排序權(quán)重，需要在得出各指標(biāo)相對(duì)于上一層元素的相對(duì)權(quán)重的基礎(chǔ)上按照由上而下的順序?qū)⑵溥M(jìn)行層次總排序。

假設(shè)指標(biāo)集 X={x1，x2，…，xm}相對(duì)于其上一層指標(biāo)集 B={b1，b2，…，bn}中各元素 bl的權(quán)重為{ωl1，ωl2，…，ωlm}，l=1，2，…，n，其中不受指標(biāo) bl支配的元素 xi的權(quán)重 ωli為 0［8］。指標(biāo)集{b1，b2，…，bn}中各元素相對(duì)于總目標(biāo)的權(quán)重已求得，設(shè)為 β1，β2，…，βn，則指標(biāo) xi相對(duì)于總目標(biāo)的權(quán)重為

4 基于指數(shù)標(biāo)度的G1法的應(yīng)用

公安消防部組織相關(guān)部門(mén)和專家建立了城市消防安全評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，該指標(biāo)體系由“公共消防基礎(chǔ)設(shè)施”“公共消防管理保障”“消防宣傳教育培訓(xùn)”“滅火救援應(yīng)急聯(lián)動(dòng)”和“火災(zāi)預(yù)警防控”共5個(gè)方面的17個(gè)二級(jí)子系統(tǒng)和30個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)構(gòu)成［9－10］。

要實(shí)現(xiàn)對(duì)城市消防安全的評(píng)價(jià)，各評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重的確定是其重要步驟。用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法確定評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中5個(gè)一級(jí)指標(biāo)的權(quán)重。

首先，由專家討論確定了5個(gè)指標(biāo)之間的序關(guān)系為:公共消防基礎(chǔ)設(shè)施(A1)?公共消防管理保障(A2)?消防宣傳教育培訓(xùn)(A3)?火災(zāi)預(yù)警防控(A4)?滅火救援應(yīng)急聯(lián)動(dòng)(A5)。

其次，由專家分別給出相鄰指標(biāo)間的相對(duì)重要性程度的比較判斷，并借助指數(shù)標(biāo)度將其量化得到其賦值區(qū)間，根據(jù)式(7)計(jì)算rk，整理得:

由式(5)、(6)計(jì)算得公共消防基礎(chǔ)設(shè)施、公共消防管理保障、消防宣傳教育培訓(xùn)、火災(zāi)預(yù)警防控和滅火救援應(yīng)急聯(lián)動(dòng)的權(quán)重分別為0.290 4、0.225 8、0.196 8、0.156 6、0.130 4。

用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法對(duì)城市消防安全評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中各層的指標(biāo)進(jìn)行了層次單排序之后，按照由上而下的順序進(jìn)行層次總排序，從而得到各指標(biāo)相對(duì)于總目標(biāo)的權(quán)重。其中“公共消防基礎(chǔ)設(shè)施”子系統(tǒng)中各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重見(jiàn)表3。

表3 “公共消防基礎(chǔ)設(shè)施”子系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)G1法指標(biāo)間相對(duì)重要性程度賦值參考標(biāo)度存在的問(wèn)題，引入了指數(shù)標(biāo)度對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。在用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法確定評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重的過(guò)程中，由于指數(shù)標(biāo)度的優(yōu)良性質(zhì)使得各評(píng)價(jià)指標(biāo)間的重要性程度通過(guò)人們的主觀感覺(jué)得以定量表示，且無(wú)需構(gòu)造比較判斷矩陣，因而與層次分析法相比計(jì)算量大幅減少。在城市消防安全評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中各指標(biāo)權(quán)重的計(jì)算是城市消防安全評(píng)價(jià)的重要步驟，本文提出的方法對(duì)此類問(wèn)題的解決有一定的參考價(jià)值。確定指標(biāo)間相對(duì)重要性程度之比時(shí)采用區(qū)間賦值及多專家群組判斷的實(shí)現(xiàn)還需進(jìn)一步研究。

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