一類非線性奇異三階三點邊值問題正解的存在性

曹 珂

三階微分方程起源于應用數學和物理學的各種不同領域中，例如，帶有固定或變化橫截面的屈曲梁的撓度、三層梁、電磁波、地球引力吹積的漲潮等[1]。近年來，由于三階微分方程在不同學科領域有著重要的應用價值，所以對非線性三階微分方程邊值問題的研究引起了數學工作者的極大興趣，并取得了一些成果。隨著對三階兩點邊值問題的研究，數學工作者對于三階多點邊值問題也產生了濃厚的興趣。其中，Anderson[2]通過運用著名的Guo-Krasnoselskii不動點定理和Leggett-Williams不動點定理得到了邊值問題

正解的若干存在性和多重性結果。文[3]通過運用Leggett-Williams不動點定理，考慮了如下三階三點邊值問題至少三個非減正解的存在性結果。

受以上文獻的啟發，本文運用單調迭代法考慮邊值問題(2)正解的存在性，其中且a(t)在t=1時可能奇異。值得說明的是，通過運用迭代，我們不僅能說明正解的存在性，更重要的是能給出正解的兩個迭代序列，這是一般的不動點定理不易滿足的。

為了得到所需結果，全文需要下述假設：

一、預備引理

引理 1設 αη≠1，則對于任意給定的 h∈C(0，1)，邊值問題有唯一解其中

證明：如果s=0或s=1，由引理2可知結論成立，因此假設則

二、主要結果

在本文的后續部分，我們記E=C(0，1)，定義其中的范數為

令 K=｛u∈E｜u(t)≥0，t∈[0，1]｝，易知 K 為 E 中的正規錐，而(E，K)為半序Banach空間.

定理2假設f(0)＞0且存在常數R＞0使得

其中v0(t)=0,w0(t)=Rt,t∈[0，1].則序列分別收斂于的不動點v，w∈C[0，1],這兩個不動點即為邊值問題(2)的解,并且滿足

0＜v(t)≤R，t∈(0，1]且 0 ＜w(t)≤R，t∈(0，1]

這說明T:K→KR.

接下來我們證明如果序列v0｛}∞n=0 在 C[0，1]中收斂于 v，則其必為邊值問題(2)的正解，且滿足

由v0∈KR且T:K→KR，從而vn∈KR，n=1，2，….故有界，又因為T是全連續算子，因此vn｛}∞n=1是相對緊集.我們首先證明是單調的.由引理2，有

由(4)可知 v1-v0∈K,這表明 v1≤v0.假設 vk-1≤vk，由引理 2及(3)可知

由(5)可知 vk+1-vk∈K,即就是 vk≤vk+1,這就表明 vn≤vn+1，n=1，2….

因此存在v∈KR,使得‖vn-v‖→0(n→∞).由T的連續性及vn+1=Tvn,n=1，2，3，…易知 v=Tv.又f(0)＞0，我們可知零函數不是邊值問題(2)的解，故有‖v‖＞0 從而

[1]GREGUSM.Third order linear differential equations [M].Dordrecht：Reidel， 1987

[2]D.R.Anderson.Green's function for athird-order generalized right focal Problem[J].Math.Anal.Appl.,2003，（288）：1-14

[3]J.P.Sun,L.J.Guo,J.G.Peng.Multiple nondecreasing positive solution for a singular third-order three-point boundary value problem[J].Communications in Applied Analysis,2008,（12）：91-100 責任編輯：姚 旺