運用縱橫二維框架比較中新教科書中“勾股定理”

章健楠，葉立軍

目前，新加坡已經逐步形成穩定的、具有自身特色的數學課程體系，[1]對于同處于東亞地區、與其文化背景極為相似的中國來說，比較、研究中新兩國數學教材，有利于取長補短，同時也能夠為數學教育打開新思路。本文選用Charalambos Y.Charalambous等在文[2]中建立的縱橫二維研究框架，對人民教育出版社的《數學》（以下簡稱人教版教材），[3]以及新加坡Multimedia Communications Press出版社出版的New Express Mathematics（以下簡稱NEM教材）[4]中的“勾股定理”進行比較研究。

一、研究背景

（一）選取“勾股定理”的理由

勾股定理作為幾何學中的一顆明珠，是整個平面幾何的基礎，在現實生活中也被廣泛應用。在教材編排中，勾股定理被安排在初中八年級教材中。此時正值學生由具體思維向形式化思維轉變的時期。而在“勾股定理”這一章中，學生通過學習勾股定理及其逆定理的發現、證明與應用等內容，將接觸到數形結合、轉化等多種數學思想方法，為之后形成良好的形式化思維打下基礎。

（二）所選取的研究重點

在本文所比較的兩本教材中，都淡化了勾股定理的證明過程。兩本教材中關于“勾股定理的應用”部分的內容均占據了相當大的比重，NEM教材更是將“運用兩個定理解決實際問題”單獨列為一個小節的內容。因此本文將研究重點放在了本章中的應用部分（即習題、范例）上，而非對每個知識點及證明方法的具體分析。

（三）所研究的問題

根據所選取的研究重點，本文將運用縱橫二維研究框架建立編碼系統，通過分析、比較習題、范例、知識點編排順序等內容，來研究兩本教材對于“勾股定理”這一章節的內容呈現方式上有何異同點，以及教材對學生的期望分別是什么。此外，基于問題的所得出的結論，作者還將對兩國教材的編寫做一些思考。

二、研究框架及編碼

（一）研究框架

Charalambos Y.Charalambous等將目前國際上常用的兩種教材分析方法---橫向比較與縱向比較結合在一起，建立起一種新的二維研究框架。在這一結構中，橫向包括背景信息和整體結構2個部分，縱向包括與學生交流、對學生的要求、聯系3個部分。[5]

（二）編碼系統

1.橫向維度（見表格 1）

表1

2.縱向維度（見表格 2）

表2

縱向維度建模思維·數形結合思想·轉化思想·方程思想對學生的要求認知要求·記憶型(任務需要對之前學過的知識，如等邊三角形性質、等腰三角形性質、三角形的面積計算公式作簡單回憶，不需要理解)·有聯系型程序（任務集中在選擇解決問題的程序上，與概念理解相關）·做數學（任務并未暗示可以預期的解題途徑，需要將具體現象上升為本質聯系，進行復雜的思考，設計方案解決問題。如勾股定理在實際生活中的應用）作答類型·只要求一個答案（數值或數值表達式）·答案或數學陳述·推理論證

（三）指標的度量

1.橫向維度指標的度量

圖1 主要內容與順序統計

表3 背景信息統計

2.縱向維度指標的度量

說明：對于縱向維度中的其余各部分的統計結果，將在下文“研究結果”部分直接給出，此處不再以表格形式呈現。

三、研究結果

（一）教材呈現方式

表4 不同概念結構（針對任務）統計

通過比較教材主要內容與順序（見圖表1），能夠發現兩本教材在內容選擇上基本一致，但是在順序編排上有所差異。人教版教材在證明了勾股定理之后，所設置的課后習題大部分為實際應用問題，解題難度較大。而在NEM教材中，7.2小節“勾股定理”與7.3小節“勾股逆定理”的課后習題都是簡單、直觀的邊長計算。“用勾股定理解決實際問題”被單獨列為本章的最后一個小節。作者認為NEM教材的編排順序更為合理。

（二）教材對學生的期望

在NEM教材中，涉及數形結合思想、方程思想、轉化思想等數學思想的任務占總數的百分比為82%，人教版教材為68%。如此高的比例可見培養學生數學思維在初中階段越來越被重視。從認知要求的角度來看，兩本教材都屬于高認知要求。教材中的低水平任務（即記憶型任務）所占的百分比較低（NEM教材15%，人教版教材11%）。兩本教材中都只有21%的任務只要求學生給出一個答案，其余都需要進行數學陳述。另外，人教版教材還引入了“逆命題”這一概念，并在任務中包含了部分需要推理論證的題目，對學生提出了更高的要求。基于以上比較結果，作者認為人教版教材對學生的期望要略高于NEM教材。

四、啟示

（一）“高期望”是否等于“高質量”

在上面文中作者得出了“人教版教材對學生的期望更高”的結論，但事實上在教學評估中新加坡的教學質量總是高于中國，可見教材對學生的要求高并不一定能使得學生的知識水平高。中國學生的自主探究能力還不能達到教材要求的水平，這使得更多的時候需要教師去引導學生完成探究，學生的主體性反而減弱。

（二）教材所傳遞的新理念

兩本教材都淡化了勾股定理的證明，增加了實際應用問題的數量。這一特點向我們傳達一個訊息：如何將所學知識更好地運用于生活，提高學生的實際應用能力在數學教學中越來越受到關注。另外，NEM教材在本章節中多次使用了圖形軟件來進行教學。將信息技術與數學課程進行整合可以說是數學教育發展的必然趨勢，但是在中國的教科書中還不常見。

（三）對所用研究框架的評價

Charalambos Y.Charalambous等在建立研究框架時設置了縱橫兩個維度，很好地彌補了之前單一維度框架的缺陷，既能研究教材細節又能從總體上把握教材內容，并能夠研究不同教材對學生的不同期望，在教材比較中值得被借鑒。但也存在一些缺陷，如在縱向維度中所包括的“學生的態度”、“教材與課堂之間的聯系”等指標。因此，作者認為該研究框架的縱向維度上可以再設計一些理論性的指標。

[1]張維忠,李芳奇.新加坡與中國數學教材的特色比較[J].外國中小學教育,2009，(02):32-36

[2]Charalambos Y.Charalambous,Sean Delaney,Hui-Yu Hsu and Vilma Mesa.A Comparative Analysis of the Addition and Subtraction of Fractions in Textbooks from Three Countries[J].Mathematical Thinking and Learning,2010,(12):117-151

[3]義務教育課程標準實驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2008

[4]Lee,P.Y.&Fan,L.(Eds.)New Express Mathematics.Singapore,Multimedia Communications Press,2007

[5][6]袁思情，陳月蘭.一篇值得推薦的數學教材分析框架文章[J].數學教學，2011，（04）：21-24