基于Crank-Nicolson格式的輸運方程的數(shù)值求解方法

魏丙濤

（文山學院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

輸運方程是數(shù)學物理方程中比較重要的方程之一，能夠描述一些輸運的物理過程，比如：制作半導體器件就常用到擴散法，把含有所需雜質(zhì)的物質(zhì)涂敷在硅片表面，把硅片放在擴散爐里，雜質(zhì)就向硅片里面擴散，擴散運動的方向基本上是垂直于硅片表面而指向硅片深處[1]，這種只沿某一方向進行的擴散就可以用一個一維的輸運方程來描述這一物理過程.輸運方程的解法很多，一般的輸運方程是可以用解析的解法求解的，對于復雜的方程、邊界條件及初始條件，解析解就變的比較困難了，于是需要尋求數(shù)值解法.對于偏微分方程，數(shù)值解法一般采用有限差分法，在此介紹一種基于Crank-Nicolson格式的差分方法的數(shù)值求解.

本文第一部分將對Crank-Nicolson格式做個簡單的介紹，第二部分將給出數(shù)值結果，第三部分則是本文的結論.

1 Crank-Nicolson格式簡介

考慮如下的定解問題：

上述方程是一個輸運方程，該方程的最基本差分格式為向前差分和向后差分格式，向前差分格式可以寫為[2]：

可以將這個差分格式改寫為：

向后差分的的格式可以寫為[3]：

在（4）式的等式左右兩邊同乘θ，在（3）式的兩邊同乘(1-θ)，并將兩式相加得到[4]：

上式為加權隱格式的差分格式，在上面的式子中，λ表示時間步長，h表示空間步長，θ是一個大于0小于1的數(shù)，當θ=0時上式成為向前差分格式，當θ=1時上式變成向后差分格式.

這個格式一般稱作Crank-Nicolson格式，這個差分格式是無條件穩(wěn)定的，這會給數(shù)值解法帶來很多方便.

2 數(shù)值結果

定解問題（1）能夠給出解析解，在此取a=1，其解析解為：

圖1 t=0.5時Crank-Nicolson格式下的數(shù)值解

圖2 t=0.5時定解問題的解析解的函數(shù)圖像

圖3 t=0.5時Crank-Nicolson格式的數(shù)值解與解析解之間的差別，虛線是解析解的函數(shù)圖像，實線為Crank-Nicolson格式下的數(shù)值解

圖1給出了t=0.5定解問題的數(shù)值解，圖2給出了t=0.5時的解析解的函數(shù)圖像，圖3給出了t=0.5兩種解法之間的比較，圖4給出了函數(shù)值u隨時間t及坐標x變化的函數(shù)關系圖.從圖中可以出，數(shù)值解與解析解之間的誤差很小，數(shù)值解也是穩(wěn)定的，并且Crank-Nicolson格式是絕對穩(wěn)定的，這對于數(shù)值解是很有用的.

圖4 函數(shù)值u隨時間t及坐標x變化的函數(shù)關系圖

3 結論與討論

通過上面的計算可知，Crank-Nicolson格式是一個覺得穩(wěn)定的格式，并且這種算法的精度比較高，在實際的數(shù)值求解過程中非常有用.這個差分格式適用于輸運方程的數(shù)值求解中，雖然有很多輸運方程很容易得到解析解，但數(shù)值解法在很多時候很多方面是具有優(yōu)越性和適用價值的.

〔1〕梁昆淼.數(shù)學物理方法[M].北京：高等教育出版社，1998.

〔2〕Ames W F.Numerical Metheds for Partial Differential Equations.2nd ed.New York:Academ ic Press,1977.

〔3〕徐長發(fā),李紅.偏微分方程數(shù)值解法[M].武漢:華中科技大學出版社,2000.

〔4〕陸金甫,關治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:清華大學出版社,2004.