色噪聲激勵的時滯非線性系統瞬態響應研究

戚魯媛，徐 偉，高維廷

QI Luyuan1,XU Wei1,GAO Weiting2

1.西北工業大學 理學院應用數學系，西安 710129

2.西北工業大學，電子信息學院，西安 710129

◎博士論壇◎

色噪聲激勵的時滯非線性系統瞬態響應研究

戚魯媛1，徐 偉1，高維廷2

QI Luyuan1,XU Wei1,GAO Weiting2

1.西北工業大學 理學院應用數學系，西安 710129

2.西北工業大學，電子信息學院，西安 710129

建立了色噪聲與時滯聯合作用的非線性系統模型，提出求解其瞬態概率密度的高效近似算法。利用等價變換將時滯系統簡化為非時滯系統；通過線性化方法和隨機平均原理得到原系統振幅過程的平均It?隨機微分方程和相應的Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程。基于退化線性系統導出一組正交基，在該基空間內進行Galerkin變分得到近似瞬態概率密度。將該方法應用到受色噪聲激勵的雙時滯Duffing-Van Der Pol振子得到理論解，采用蒙特卡羅模擬（MCS）驗證理論解的正確性。分析了色噪聲參數和時滯參數對瞬態響應的影響。研究結果表明：所提理論方法可有效求解受色噪聲激勵的時滯非線性系統的瞬態概率密度；算法求解效率高于MCS；色噪聲和時滯均明顯影響了系統瞬態響應。

時滯；色噪聲；FPK方程；瞬態概率密度；Galerkin算法

1 引言

不確定因素廣泛存在于圖像處理、自動化、移動通信、地球物理等研究領域[1-3]。理論上對不確定因素的描述主要分為兩類：一是將系統描述為不確定參數系統；二是利用各種噪聲對系統進行擾動。研究證明幾乎所有的機械（結構）系統都具有一定程度的非線性性態，非線性隨機系統的響應預測已然成為理論研究和工程實踐的熱點問題[4]。眾多學者經過長期努力，發展了一系列預測系統響應的理論方法，其中Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程方法是擴散過程理論的主要方法。通過求解FPK方程得到穩（瞬）態轉移概率密度，可用以分析系統控制[5]、信息熵[6]等實際問題。由于FPK方程的復雜性，其瞬態精確解只能對少數一階系統得到[7]，一般意義的非線性系統的瞬態解只能結合理論分析與數值計算進行近似求解。

隨機平均原理是擴散理論與確定性非線性振動理論相結合的產物，是研究隨機非線性系統響應問題的重要理論方法之一。利用隨機平均原理可有效避免非白噪聲帶來的FPK方程擴維現象，并可降低FPK方程維數，簡化了理論分析和數值計算。Galerkin法是一種求解微分方程的變分法，1968年，Bhandari和Sherrer首次將Galerkin法應用到求解FPK方程中，得到了穩態概率密度[8]。繼而Wen應用其求解了FPK方程的瞬態概率密度[9]。2007年，Spanos結合隨機平均理論和Galerkin法研究了白噪聲激勵的非線性系統的瞬態概率密度，且求解過程不牽扯攝動原理，適用于含有較大非線性參數的系統[10]。

時滯現象廣泛存在于計算機、控制等工程實際領域[11-13]。研究時滯作用對瞬態概率密度的影響具有重要的理論及應用價值，并已經引起相關學者的注意。文獻[14]將隨機平均原理和Galerkin法兩者結合分析了白噪聲作用的非線性時滯系統的瞬態概率密度。正如很多學者指出的，實際中存在的噪聲是具有一定相關時間的有色噪聲，故而研究色噪聲對瞬態概率密度的影響是研究此領域不可缺少的一部分。總結前人工作發現，對色噪聲激勵的非線性系統瞬態概率密度的研究工作較少[15]，研究時滯與色噪聲共同作用的非線性系統的瞬態概率密度仍處于空白階段。

綜上所述，本文將等價線性化原理、隨機平均理論和Galerkin算法三者結合，求解色噪聲與時滯聯合作用的非線性振子的瞬態概率密度；系統地分析了該算法的有效性，并研究了色噪聲和時滯對系統瞬態概率密度的影響。

2 模型構造

建立色噪聲激勵的時滯非線性系統模型如下：

ζk(t)為零均值，強度為hk，譜密度函數為Sk(τ)的相互獨立的有色噪聲。假設存在一個δ小量且H和F是δ階小量，hk為δ1/2階小量。

3 理論求解過程

3.1 隨機平均原理

對式（1）應用隨機平均原理，引入如下變換：

其中，A(t)、Φ(t)、Θ(t)均為隨機過程；A(t)和Θ(t)是慢變過程，Φ(t)是快變過程。在小時滯假設下將 Xτi、X˙τi近似展開為如下形式：

利用式（4）、（5）可將 Xτi和 X˙τi轉化為非時滯情形，故而系統（1）等價為如下非時滯系統：

由等價線性化原理，將式（6）變形為如下形式：

由式（3）可得：

由式（3）、（7）、（9）可得：

對式（10）應用隨機平均原理[16]，得到A(t)的It?隨機微分方程為：

其中，W(t)為單位維納過程，式（11）對應的FPK方程為：

初值問題式（13）、（14）的理論精確解難以得到，下面通過Galerkin算法進行近似求解。

3.2 Galerkin算法原理

首先考慮式（1）的退化線性方程，如下：

在式（13）中令ξe(a)=0得與式（15）對應的FPK方程：

利用變量分離法[17]，得式（16）的特征值與特征函數：

其中，λn表示特征值，An表示正交基函數，σs表示系統（15）中X(t)的平穩方差，Ln(˙)表示n階Laguerre多項式。

方程（13）的解可近似寫成如下形式：

其中，cn(t)是待求解項，p0(a，t)是式（16）的解。表示 p(a，t)相對于 p0(a，t)的偏移程度，此偏移由非線性項和時滯項引起。實際計算中，級數求和形式需進行適當截斷(n=0，1，…，N)。

將式（20）代入式（13），并結合FPK方程特征函數定義，得如下誤差參量：

以Aj(a)A0(a)為權函數，基于Galerkin方法，令誤差參量滿足下列條件：

根據Laguerre多項式的性質，推得如下化簡關系式：

將式（23）代入式（24）并按式（25）進行化簡，得到關于cj(t)的方程組，如下：

由式（14）和式（20）可得式（26）的初始條件為：cj(t)=0。將式（26）的解代入式（20）即得瞬態響應概率密度。

4 算例分析

選如下復雜色模型為例進行分析。此模型稱為白噪聲二階濾過過程[18]，其數學表達為：其中，常數?k和 βk是噪聲參數，影響噪聲帶寬，?k和 βk增大代表帶寬變寬。Wk(t)是強度為2Dk的高斯白噪聲，此過程有如下譜密度：

算例中取非線性項和時滯項為如下形式：

其中，ω0和ξ0與（1）中相同，a1、a2、β0和ε均為常數。算例中取一個色噪聲激勵的情況(h1=1)。

4.1 理論分析

將式（29）、（30）代入式（1）即得色噪聲激勵的雙時滯Duffing-Van Der Pol振子。

將式（29）、（30）代入式（8）并結合式（4）、（5）可得：

將式（32）代入式（13）得與式（31）相應的FPK方程為：

由式（17）～（19）得特征值和基底函數為：

將式（32）代入式（23）得誤差參量為：

由式（18）并結合Laguerre多項式性質得化簡關系式：

由式（32）代入式（26）并利用式（39）、（40）化簡，最終得到關于cj的方程組如下：

式（41）中，cj(t)下標為負時認為不存在；式（43）中δj，n為Kronecker Delta符號。

4.2 數值分析

本文4.1節已舉例對第3章建立的算法進行了理論分析，為說明色噪聲參數和時滯參數對 p(a，t)的影響，本節選不同參數值進行數值計算，同時對式（31）進行MCS，將理論解和MCS解對比來驗證算法可行性。

圖1給出了方程（41）的解(N=8)。系統參數取值為：ω0=1，ξ0=0.02，ε=5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，τ1=τ2=0.5；噪聲參數取值為 D1=1，?1=3，β1=0.5。從圖中可直觀看出，隨時間增加，cj(t)將趨向于一系列穩定值，穩定時間約為100 s。

圖1 cj(t)的時間演變情況

圖2顯示了不同時刻振幅概率密度函數 p(a,t) (N=20)，其參數取值與圖1中的參數相同。采用Euler算法進行MCS。可以看出，由本文建立的算法得到的理論解和MCS解吻合程度好，這證明了本文建立的算法是有效的。由于系統在100 s后達平穩狀態，故該方法在一定程度上刻畫了穩態響應，為求解穩態概率密度提供了新途徑。

圖3為振幅概率密度 p(a，t)(N=20)，?1=3.5，其余參數與圖2中的參數相同。可以看出，理論近似解和MCS解擬合程度非常好。比較圖2和圖3易知，?1對 p(a，t)產生了顯著影響，隨著?1增大，p(a，t)有一個向左的偏移，在較小幅值處達到峰值。從概率論角度解釋為：系統將以更大的概率在更小的幅值運動，增大?1可降低系統響應程度。

圖2 p(a，t)(ω0=1，ξ0=0.02，ε=5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，τ1=τ2=0.5，D1=1，=3，β1=0.5)

圖3 p(a，t)(ω0=1，ξ0=0.02，ε=5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，τ1=τ2=0.5，D1=1，=3.5，β1=0.5)

圖4為令 β1=1.0其余參數與圖2中相同時，p(a，t)圖像。比較圖2和圖4發現，參數β1對 p(a，t)的影響是顯著的。增大 β1使 p(a，t)向左偏移，在較小幅值處達到峰值。從概率角度可得如下結論：增大β1可降低系統響應程度。

圖4 p(a，t)(ω0=1，ξ0=0.02，ε=5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，τ1=τ2=0.5，D1=1，=3，β1=1)

圖5～圖7分析了時滯參數對 p(a，t)的影響。參數取值為：ω0=1，ξ0=0.01，ε=2.5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，D1=1，?1=3，β1=0.5。圖5中τ1=τ2=0.5，圖6中τ1=τ2=1.5，圖7中τ1=τ2=4.7。

圖5～圖7表明以下兩點：（1）理論解和MCS解吻合相當一致，證明了本文算法的有效性；（2）對比圖5～圖7發現，時滯對 p(a，t)產生了影響，影響較為顯著。

圖5 p(a，t)(ω0=1，ξ0=0.01，ε=2.5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，D1=1，=3，β1=0.5,τ1=τ2=0.5)

圖6 p(a，t)(ω0=1，ξ0=0.01，ε=2.5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，D1=1，=3，β1=0.5,τ1=τ2=1.5)

圖7 p(a，t)(ω0=1，ξ0=0.01，ε=2.5，β0=0.5，α1=0.01，α2=0，D1=1，=3，β1=0.5,τ1=τ2=4.7)

綜合圖2～圖6分析，色噪聲和時滯均對系統瞬態概率密度 p(a，t)產生了影響，故在研究非線性系統瞬態概率密度時考慮色噪聲和時滯的聯合作用是非常必要的。數值計算過程中發現，本文算法不但可以有效求解此類方程，且求解效率相對MCS是極高的。以N=15為例，利用本文算法所需計算時間與MCS相比縮減1/12；當N=25時，本文算法耗時為MCS的1/3。

5 結論

建立了色噪聲激勵的時滯非線性系統模型，并對此模型建立了求解瞬態響應的相關算法。該算法包括三方面：

（1）將時滯方程簡化為非時滯方程；

（2）利用等價線性化和隨機平均法得到系統振幅的平均It?隨機微分方程和平均FPK方程；

（3）由FPK方程本征函數法得到正交基，進行Galerkin變分并求解相應的常微分方程組得到與時間相關的系數，進而得到瞬態概率密度函數。

以白噪聲二階過濾過程為色噪聲模型，以Duffing-Van Der Pol振子為算例實現本文建立的算法。利用MCS對原系統進行模擬，模擬解和理論解對比發現擬合程度非常好，證明本文的近似算法是有效的。通過對色噪聲參數和時滯參數的研究發現色噪聲和時滯對瞬態概率密度具有顯著影響，研究瞬態概率密度時考慮色噪聲和時滯的作用是非常必要的。

本文算法可通過觀察與時間相關的系數的解，直觀看出系統是否具有穩態解，并可估計系統到達穩態的時間，使得利用MCS計算穩態響應時能大大減少盲目運算時間，克服了使用MCS計算穩態響應時耗費時間的問題。該算法是研究隨機非線性振動系統瞬態概率密度的一種簡便方法，對理論研究及工程應用具有重要意義。

[1]Mohamed W，Hamza A B.Medical image registration using stochastic optimization[J].Opt and Lasers Eng，2010，48：1213-1223.

[2]Liu J，Liu X Z，Xie W C，et al.Stochastic consensus seeking with communication delays[J].Automatic，2011，47：2689-2696.

[3]Repperger D W，Farris K A.Stochastic resonance—a nonlinear control theory interpretation[J].Int J Syst Sci，2010，41：897-907.

[4]Lin Y K，Cai G Q.Probabilistic structural dynamics[M].New York：Mc Graw Hill，2004.

[5]Zhu W Q，Deng M L.Optimal bounded control for minimizing the response of quasi-integraable Hamiltonian systems[J].Non-Lin Mech，2004，39：1535-1546.

[6]Guo P R，Xu W，Liu D.Upper bound for the time derivative of entropy for a stochastic dynamical system with double singularitied driven by non-Gaussian noise[J].Chinese Phys B，2010，19：1-6.

[7]朱位秋.隨機振動[M].北京：科學出版社，1992：223-308.

[8]Bhandari R G，Sherrer R E.Random vibrations in discrete nonlinear dynamic systems[J].J Mech Eng Sci，1968，10：168-174.

[9]Wen Y K.Approximate methods for nonlinear random vibration[J].J Eng Mech Div，1975，101：389-401.

[10]Spanos P D，Sofi A，Di Paola M.Nonstationary response envelope probability densities of nonlinear oscillators[J].J of Appl Mech，2007，74：315-324.

[11]Hetel L，Daafouz J，Jungers M.Delay-dependent sampled-data control based on delay estimates[J].Systemsand Control Letters，2011，60：146-150.

[12]Maccari A.Time delay control for two van der pol oscillators[J].J Comput Nonlin Dyn，2011，6：11-16.

[13]Luan B L，Keiji K，Naoyuki H.Design and experimental verification of multiple delay feedback control for time-delay nonlinear oscillators[J].Nonlinear Dynam，2012，67：1407-1418.

[14]Jin X L，Huang Z L.Nonstationary probability densities of strongly nonlinear single-degree-of-freedom oscillators with time delay[J].Nonlinear Dynam，2010，59：195-206.

[15]Qi L Y，Wu W，Gu X D.Nonstationary probability densities of a class of nonlinear system excited by external colored noise[J].Sci China-Phys Mech Astron，2012，55：477-482.

[16]Stratonovich R L.Topics in the theory of random noise，Vols 2[M].New York：Gordon and Breach，1986：170-305.

[17]Gardiner C W.Handbook of stochastic methods for physics，chemistry and the natural science[M].Berlin：Springer-Velarge，1983：154-170.

[18]Feng C S，Wu Y J，Zhu W Q.Response of duffing system with delayed feedback control under combined harmonic and real noise excitations[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2009，14：2542-2550.

1.Department of Applied Mathematics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710129,China

2.School of Electronic Information,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710129,China

An effective approach to calculate the transient probability densities of the multi-delayed nonlinear system driven by colored noise excitations is developed.The system with time delay is simplified to an equivalent system without time delay.The linearization technique and the stochastic averaging method are adopted to obtain the averaged It? stochastic differential equation and the corresponding FPK（Fokker-Planck-Kolmogorov）equation for the amplitude process.A set of orthogonal base functions is obtained from the degenerated linear system.The Galerkin method is applied in the orthogonal base space to obtain the approximate probability densities.The proposed procedure is applied to the Duffing-Van Der Pol oscillator with two time delays and an external colored noise.The reliability of the theoretical results is verified by MCS（Monte Carlo simulation）.Effects of the colored noise and the time delay are also discussed.The results show that the proposed method is effective at studying the transient probability densities of the time-delayed nonlinear system driven by colored noises;the theoretical calculation efficiency is higher than that of MCS;both of the colored noises and time delay affect the transient responses.

time delay;colored noise;FPK（Fokker-Planck-Kolmogorov）equation;transient probability density;Galerkin method

A

TP301.5

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0061

QI Luyuan,XU Wei,GAO Weiting.Study on transient probability densities of delayed nonlinear system excited by colored noises.Computer Engineering and Applications,2013,49（7）：1-5.

國家自然科學基金（No.11172233，No.10932009，No.61171155）；陜西省自然科學基金（No.2012JM8010）；西北工業大學博士論文創新基金（No.CX201215）。

戚魯媛（1986—），女，博士研究生，研究領域為應用數學，非線性隨機振動；徐偉（1957—），男，博士，教授，博士生導師，研究方向為應用數學；高維廷（1984—），男，博士研究生，研究方向為通信信號處理。E-mail：qiluyuan@gmail.com

2012-10-09

2012-12-18

1002-8331（2013）07-0001-05

CNKI出版日期：2012-12-26 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121226.1120.001.html