基于最小二乘方法的單機測向定位算法

何青益，趙 地

（中國電子科技集團公司54所，石家莊050081）

0 引 言

測向定位是利用對同一目標的示向線進行交叉定位來確定目標的位置。機載測向定位分為多機測向交叉定位和單機測向交叉定位，其中單機測向交叉定位由于具有設(shè)備簡單和系統(tǒng)相對獨立等優(yōu)點，得到了廣泛研究。利用單機在不同時刻測量的多條示向線直接交叉定位算法簡單，但是定位結(jié)果不是最優(yōu)［1］；基于擴展卡爾曼濾波（EKF）及其推廣的定位算法在濾波初始值估計不準或者測量值有突變時容易發(fā)散，性能不穩(wěn)定［2］；本文引入的基于最小二乘方法的測向交叉定位算法，結(jié)合了直接交叉定位算法和非線性最小二乘算法，直接交叉定位獲取目標的估計初值，通過最小二乘方法迭代得到更高精度的定位結(jié)果。基于最小二乘方法的測向交叉定位算法定位精度高，對測向數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，可以實時更新目標的位置信息，是一種穩(wěn)定性好、定位精度高的定位算法。

1 測向交叉定位原理

兩站交叉定位是一種基本的交叉定位方式。如圖1所示，兩測向站的大地經(jīng)緯度坐標分別為A1（x1，y1）、A2（x2，y2），輻射源到兩測向站A1、A2的來波方位角分別為θ1、θ2，則輻射源所處的地理位置即是2條示向線的交叉點B，設(shè)其坐標記為（xm，ym）。

圖1 兩站測向交叉定位示意圖

根據(jù)球面三角形的正弦定理和余弦定理，有：

由于待求參數(shù) （xm，ym）包含在多重三角關(guān)系中，上面給出的聯(lián)立方程組沒有解析解，只能用迭代方法求出目標的位置，求解信號輻射源坐標的過程分為3步［3］：

第1步：球面基本三角形

測向基礎(chǔ)的球面基本三角形由測向站的2條子午線和通過這2個點的大圓構(gòu)成。在這個基本三角形中，未知數(shù)是2個測向站相互的方位角和它們之間的距離。

從A1看A2的方位角θAz1為：

由另一測向站出發(fā)計算方位角更簡單，應(yīng)用正弦定理：

其中的一個角度可能大于180°，必須加以修正。然后計算2個測向站之間的距離z：

第2步：定位三角形

定位三角形是由測向站基線和2條測向線組成，2條測向線相交于所求的位置點，但從三角形還不能得到該點的坐標。第2步的計算只是為下一步計算提供輔助量，該輔助量是測向站到輻射源的距離，計算出其中一個距離即可：

第3步：球面定位基本三角形

此時可利用前面求出的結(jié)果計算信號輻射源的經(jīng)緯度：

從原理上說，直接測向交叉定位算法既簡單又容易實現(xiàn)，但其定位誤差較大，主要因為測向站測向誤差較大，其中包含系統(tǒng)誤差、隨機誤差2個部分［4］。

2 基于最小二乘方法的定位算法

在飛機運動軌跡上利用測向系統(tǒng)順序地獲取1組輻射源的方位測量值，然后將這些測向數(shù)據(jù)結(jié)合起來估計輻射源的位置［5］，見圖2。當不存在噪聲和干擾時，對于同一輻射源，方位線精確地相交于一點，該點就是輻射源的位置。但測量誤差或干擾總是存在的，同一輻射源2條以上的方位線一般來說不可能確定唯一的交點。因此，為了確定輻射源的位置，就必須對測量值進行一定的處理，獲得最優(yōu)的位置估計。

圖2 觀測站沿運動軌跡形成的方位線

設(shè)飛機在N個坐標已知的位置對同一輻射源B（xm，ym）測向，設(shè)飛機第i個位置的坐標為 （xi，yi），測向方位角θi的測量噪聲是零均值高斯白噪聲，則各偵察位置關(guān)于輻射源的觀測參量θi與輻射源實際位置B（xm，ym）的關(guān)系可寫成：

hi（xm，ym）對 （xm，ym）來說是一非線性函數(shù)，它可通過在M（xm，ym）的一個初始估計點M0（xm0，ym0）用泰勒級數(shù)展開而線性化，保留其前兩項可得到公式（7）的線性化表達式：

因此式（8）可改寫為：

那么，N個觀測點的觀測方程為：

這樣，可以求得W最小二乘估計：

用迭代法可以得到最小二乘估計［6］：

為了開始迭代過程，必須要有一個初始估計值，即k＝0的值。N個位置坐標已知的測向點對同一輻射源進行測向，可獲得N條方位線，這N條方位線相交可得到L個交點，L≤N（N－1）／2，對L個交點進行野值剔除、算術(shù)平均等處理即可確定精度較高的迭代初始值。

3 算法仿真

設(shè)定目標經(jīng)緯度坐標為（N 38.0°，E 120.0°），飛機航跡的起始點（N 39.347 5°，E 120.000 0°），飛機航跡終點（N 39.030 4°，E 121.109 8°），飛機從起始點沿圓弧朝著航跡終點飛行，在航跡上按經(jīng)緯度等間隔取120個測量點，飛機航跡上的測量點距離目標的距離150km，飛機繞目標飛過的示向線夾角約40°，測向誤差取3°的高斯白噪聲。

飛機航跡與目標之間的幾何位置關(guān)系如圖3所示，點代表經(jīng)過預(yù)處理的多個定位結(jié)果，＊為直接交叉定位結(jié)果，下三角形是基于非線性最小二乘方法的測向交叉定位算法計算結(jié)果，五角星為目標的真實位置。

圖3 飛機航跡和目標的幾何位置關(guān)系

通過對飛機多次測量的示向線進行直接測向交叉定位得到目標的估計值（N 38.069 7°，E 120.040 1°），該估計值到目標真實值的絕對定位誤差是8.52km，相對定位誤差5.68%R（R為輻射源目標到定位站之間的距離）。把直接測向交叉定位結(jié)果當作最小二乘的迭代初始值，進行最小二乘迭代運算，得到目標的估計值（N 38.004 4°，E 120.009 5°），該估計值到目標真實值的絕對定位誤差是0.96km，相對定位誤差0.64%R。由該仿真結(jié)果可見，基于最小二乘方法的單機測向定位算法可以大幅提高測向定位精度。

4 結(jié)束語

基于最小二乘方法的單機測向定位算法，是在多次觀測的基礎(chǔ)上尋找能使各次測量數(shù)據(jù)的誤差平方和達到最小的無源定位算法。仿真結(jié)果表明，與直接測向交叉定位相比，該算法可以大幅提高輻射源目標的定位精度。綜上所述，本文引入的基于最小二乘方法的單機測向定位算法是一種定位精度高、穩(wěn)定性好、適合工程應(yīng)用的定位算法。

［1］Wilson Jon.Precision location and identification：a revolution in threat warning and situational awareness［J］.Journal of Electronic Defense，1999，22 （11）：43－48.

［2］Taff L G.Target localization from bearing－only observations［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic systems，1997，33 （1）：2－10.

［3］孫仲康，周一宇，何黎星.單多基地有源無源定位技術(shù)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1996.

［4］王銘三.通信對抗原理［M］.北京：解放軍出版社，1999.

［5］何青益，胡東，李艷斌.一種單機對固定目標的無源定位方法［J］.無線電工程，2006，36（10）：33－35.

［6］徐濟仁.測向定位中若干問題的探討［J］.無線電工程，2001（S1）：122－123.