基于狀態空間的Buck型變換器數字電壓控制

李 峰

（中國電子科技集團公司20所，西安710068）

0 引 言

利用經典控制理論進行Buck型變換器的數字控制器設計時，需要先完成控制器的連續域（s域）設計，然后再將其轉換成離散域（z域）的差分方程以實施數字控制［1］，這導致數字控制系數與系統設計指標之間不存在直接的對應關系［2］。當數字反饋控制不能滿足系統設計要求時，無法判斷哪個控制系數需要調節以及如何調節，只能返回連續域（s域）階段重新設計，甚至需要反復試探多次才能達到設計要求。

針對上述問題，基于狀態空間理論和離散等效技術［3］，本文提出了Buck型變換器的數字電壓控制及其設計流程，可一次性完成數字控制器的設計工作，避免了經典控制理論固有的反復試探性。

1 被控對象的跟蹤控制模型

Buck型變換器的控制環路中，由功率級電路、數字脈沖寬度調制器（DPWM）和模／數轉換器（ADC）構成了被控對象，如圖1所示［4］。其中vG、vO、vref、iL、uU、eE和dD分別是Buck型變換器的輸入電壓、輸出電壓、參考電壓、功率級電感電流、數字占空比、數字誤差電壓和模擬占空比。

圖1 Buck型變換器的被控對象結構

選擇電感電流和輸出電壓作為狀態變量，得到功率級電路、DPWM和ADC的交流量狀態方程分別為［5－6］：

式中：L、C和R分別為功率級的濾波電感、濾波電容和負載電阻；VG和D分別為輸入電壓和模擬占空比的穩態直流量；il（t）、vo（t）、vg（t）和d（t）為對應的交流量；KDPWM和KADC分別為DPWM和ADC的傳遞函數；u（t）、e（t）和vref（t）分別為數字占空比、數字誤差電壓和參考電壓的交流量。

式（1）和式（2）說明Buck型功率級電路的核心是LC濾波電路，式（3）和式（4）說明DPWM 和ADC可等效成常數傳遞函數的比例環節，所以圖1所示的被控對象屬于二階諧振系統。為實現Buck型變換器的跟蹤控制，需要在模／數轉換器后面串行加入一個積分環節（復頻域模型1／s），使得原被控對象由二階系統升至三階系統。設q是積分輸出交流量，則存在下面關系式：

選擇積分輸出交流量作為第3個狀態變量，合并式（1）、式（2）、式（3）和式（5），得狀態方程模型：

式中：A為狀態矩陣；B為輸入矩陣。

輸出方程為：

式中：C為輸出矩陣；D為直接轉移矩陣。

模型式（9）中包含了積分環節，便于實現Buck型變換器的跟蹤控制，所以稱該模型為被控對象的跟蹤控制模型。

2 跟蹤控制模型的可控性和可觀性

系統可控矩陣是行滿秩矩陣，則系統完全可控；系統可觀矩陣是列滿秩矩陣，則系統完全可觀［1］，針對上述跟蹤控制模型，分別得出對應的可控矩陣和可觀矩陣為：

可控矩陣MC和可觀矩陣MO的秩均等于3，分別是行滿秩矩陣和列滿秩矩陣，說明Buck型變換器的被控對象完全可控且完全可觀，利用輸入信號控制被控對象有意義，利用輸出信號進行反饋控制可行。

3 數字電壓控制

3.1 數字控制器結構

以跟蹤控制模型的輸出電壓vO和積分輸出量qQ作為反饋源，由比例環節F1和積分環節構成積分反饋支路，由F2構成電壓反饋支路，形成Buck型變換器的電壓反饋控制，如圖2（a）所示。用Ts表示Buck型變換器的開關周期，采用數字濾波技術將積分環節轉換成差分形式并作如下定義［3］：

得到如圖2（b）中虛框所示的數字控制電路，它由2個乘法器和3個兩輸入加法器構成。

圖2 電壓反饋控制的Buck型變換器

3.2 控制系數計算公式

根據圖2（a），Buck型變換器在數字電壓控制下，閉環系統的狀態空間模型和特征方程分別為：

式中：Asys為狀態矩陣；Bsys為輸入矩陣。

控制理論對一階系統和二階欠阻尼系統進行了深入研究，并根據極點之間的相對位置，將三階系統近似等效成二階欠阻尼系統或一階系統進行分析。不妨給出便于系統設計的三階特征方程：

式中：ζ、ωn和ζωn分別為阻尼系數、無阻尼振蕩頻率和衰減系數；p為復平面中的實極點距原點的距離。

當Buck型變換器被設計成近似二階欠阻尼系統時，根據式（18）和式（19），得出控制系數計算公式為：

當Buck型變換器被設計成近似一階系統時，控制系數計算公式為：

3.3 瞬態性能分析

控制系數F1對Buck型變換器瞬態性能的影響在參考文獻［7］中進行了系統論述，本文僅對控制系數F2進行分析。根據圖2（a），當F2＜0時（b＞0），電壓反饋支路形成正反饋，導致Buck型變換器振蕩；當F2＝0時（b＝0），電壓反饋支路的作用消失，系統僅由積分反饋支路控制；當F2＞0時（b＜0），電壓反饋支路屬于負反饋，削弱了積分反饋支路對系統瞬態性能的影響，F2越大（｜b｜越大），削弱作用越強。因此，控制系數F2對瞬態性能的影響與控制系數F1的作用相反，如表1所示（F1＞0，F2＞0；↗：增大，↘：減小）。

表1 控制系數的影響

4 數字電壓控制設計流程

基于上述分析，得到Buck型變換器數字電壓控制的設計流程如下：

（1）確定Buck型變換器的系統階數。根據應用環境及瞬態響應的要求，確定Buck型變換器為近似二階欠阻尼系統或近似一階系統。

（2）計算控制系數F1和F2。根據選定的系統階數，利用式（20）或式（21）計算控制系數。

（3）設計驗證。利用仿真或測試等方法驗證由F1和F2所確定的數字控制器是否滿足Buck型變換器的設計指標。若滿足，設計結束；若不滿足，繼續（4）。

（4）微調控制系數F1和F2。判斷當前Buck型變換器的瞬態性能與設計指標的差距，并根據表1總結的規律，對控制系數進行微調，微調后返回（3）。

上述流程如圖3所示。

5 仿真與測試

控制系數F1的驗證見參考文獻［7］，本文只驗證控制系數F2對Buck型變換器瞬態性能的影響。利用Matlab／Simulink建立Buck型變換器模型，其系統參數為：fs＝200kHz，Ts＝5μs，L＝22.0μH，C＝22.0μF，R＝1.8Ω，VG＝5.0V，VO＝1.8V，KDPWM＝1／211，KADC＝210／5。

圖3 數字電壓控制的設計流程

針對負載電流發生0.2A的上跳變，固定a（F1·Ts）＝0.225，從0～2.7之間等步長地變化｜b｜（F2／KADC），并分別進行瞬態仿真，其結果統計在圖4中。當｜b｜＝0時，電壓反饋支路無效，積分反饋支路配置變換器為近似二階欠阻尼系統；隨著｜b｜增大（F2增大），電壓反饋支路對積分反饋支路的削弱作用開始增強，促使變換器由近似二階欠阻尼系統向近似一階系統轉換，過渡時間和超調量均逐漸減小；當｜b｜增大至2.1時，超調量減小至零，標志著Buck型變換器過渡至近似一階系統；之后，過渡時間又隨著｜b｜的增大而增加。在當前仿真環境下，過渡時間的最小值為130μs。上述仿真結果與表1所示的理論分析結果一致。

圖4 控制系數F2對超調量和過渡時間的影響

為了進一步驗證本文結論，保證系統參數與仿真模型一致的前提下，設計了基于FPGA的數字Buck型變換器，并在其上實施所提的數字電壓控制，測試曲線如圖5所示。測試結果表明：數字電壓控制實現了Buck型變換器的穩態跟蹤控制；隨著控制系數｜b｜的增大，變換器由近似二階系統向近似一階系統過渡，驗證了數字電壓控制的理論分析和仿真結果的正確性。

圖5 電壓反饋控制的輸出電壓測試曲線

6 結束語

基于狀態空間理論，提出了Buck型變換器的數字電壓控制，針對系統超調量和過渡時間2個指標，分析了控制參數對變換器瞬態性能的影響，給出了數字電壓控制的設計流程，用以指導數字控制器的一次性設計工作，有效地避免了經典控制理論固有的反復試探性。仿真與測試結果驗證了所提數字電壓控制的有效性及理論分析的正確性。

［1］胡壽松.自動控制原理（第5版）［M］.北京：科學出版社，2007.

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